АННОТАЦИЯ

Настоящее пособие знакомит с основными условиями оптимальности и методами решения задач вариационного исчисления и оптимального управления. Будет полезно для подготовки и проведения практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также при выполнении домашних заданий по этой теме студентами.

Учебное пособие является электронной версией книги:
Оптимальное управление в примерах и задачах. Сотсков А.И., Колесник Г.В. - М.: Российская экономическая школа, 2002 - 58 с.

Предисловие

1. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера
Примеры
Упражнения

2. Задача оптимального управления. Принцип максимума
Примеры
Упражнения

3. Фазовые ограничения в задаче оптимального управления
Примеры
Упражнения

4. Динамическое программирование и уравнение Беллмана
Примеры
Упражнения

Литература

Предисловие

Теория оптимального управления является одним из разделов курса "Математика для экономистов", читаемого в Российской экономической школе.
Опыт преподавания показывает, что данный раздел - один из наиболее сложных для освоения. Это прежде всего связано с концептуальными отличиями изучаемых в нем задач оптимального управления от задач конечномерной оптимизации, и, как следствие, с существенным усложнением используемых в них условий оптимальности.
В связи с этим представляется полезным дать наглядную иллюстрацию применения данных условий оптимальности к решению задач различных типов. Настоящее пособие и является попыткой дать такую иллюстрацию. В нем содержатся примеры и задачи по четырем темам:
. вариационному исчислению;
. принципу максимума в задачах без ограничений;
. принципу максимума при наличии фазовых ограничений;
. динамическому программированию.
Каждый раздел состоит из теоретической части, описывающей базовые понятия и результаты, используемые при решении соответствующих задач, примеров с решениями, а также задач для самостоятельной работы студентов.
Следует подчеркнуть, что данное пособие ни в коем случае не является теоретическим курсом, а ориентировано прежде всего на практическое применение методов оптимального управления. В качестве теоретического пособия по данному разделу можно порекомендовать, например, книгу.
По мнению авторов, данное пособие будет полезным преподавателям при подготовке и проведении практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также студентам при выполнении домашних заданий по этой теме.

Электронная версия книги : [Скачать, PDF, 633.8 КБ ].

Для просмотра книги в формате PDF требуется программа Adobe Acrobat Reader, новую версию которой можно бесплатно скачать с сайта компании Adobe.

Под оптимальной САУ понимается наилучшая в некотором смысле система. Критерии оптимальности могут быть различны и зависят от решаемой задачи. Наиболее часто встречаются такие критерии оптимальности:

1) Точность САУ при изменяющемся воздействии,

2) Время переходного процесса,

3) Экономичность;

Производительность;

Интегральные критерии.

К настоящему времени наибольшее развитие получили 2 направления в теории оптимальности систем:

1) Теория оптимального управления движением систем с полной информацией об объекте и возмущениях;

Теории оптимального управления при случайных возмущениях.

Для реализации оптимального управления необходимо:

Определить цель управления. Цель выражается либо целевой функцией, либо критерием оптимизации.

Целевая функция или критерий оптимизации позволяют найти количественный эффект любого решения.

Выбрать модель для анализа и определения эффективности принятого решения.

Изучить все состояния среды функционирования объекта, влияющие на прошлое, настоящее и будущее процесса управления.

При решении задачи оптимального управления используются методы вариационного исчисления, принципы максимума, а также динамическое и математическое программирование.

Задачу оптимального управления в общем случае можно сформировать следующим образом:

1)Цель управления, представленная математически в виде некоторого функционалаили критерия управления

2)Уравнения системы - они обычно задаются в виде уравнений состояний

3)Система граничных уравнений в начальный и конечный момент времени.

4)Система ограни­чений, которым должны удовлетворять переменные состояния и уравнения.

Требуется найти:

Вектор управления, при котором критерий цели управления имеет экстремум (max или min).

Необходимо отметить, что оптимальное управление в ряде случаев может не существовать, и об этом нельзя судить не решая задачу. Решение задачи нахождения оптимального управления является неоднозначным, т.е. каждое найденное решение дает локальный оптимум. Если найдены все локальные оптимумы, то в этом случае может быть выделен глобальный оптимум. Найденный глобальный оптимум является решением задачи оптимального управления.

Интегральные критерии качества:

Оптимальное Быстродействие

Функционал имеет вид

Оптимальная Производительность

Критерием оптимальности явл-ся угол поворота  за определенное время t и функционал имеет вид

Оптимальная экономичность

Критерием оптимальности явл-ся расход энергии за определенное время и функционал имеет вид

28. Аналитическое конструирование регуляторов. Постановка задачи.

При исследовании качества переходных в линейных САУ вводились разлитые интегральные критерии качества, с помощью которых оценивался переходной процесс на бесконечном интервале времени. При рассмотрении интегральных критериев качества мы убедились в том, что эти критерии позволяют определить параметры регулятора, если задана его структура. Можно поставить более общую задачу: найти закон регулирования - аналитическую функцию, связывающую управляющую координату и управляющее воздействие при этом доставляющее min интегральному критерию качества. Такое оптимальное конструирование дифференциального уравнения регулятора получило название аналитического конструирования регуляторов. По методам решения и постановке задачи эта задача сродни задачам оптимального регулирования.

Это вариационная задача, где в качестве экстремали ищется функция связывающая Х и U.

При аналитическом конструировании задача состоит в том, что бы найти закон регулирования который с учетом уравнений объекта и граничных условий доставлял бы min интегралу, характеризующему квадратичную ошибку системы и гарантирующему ее устойчивость.

Постановка задачи оптимального конструирования регуляторов.

Объект регулирования задан с помощью дифуравнений, что в операторной форме соответствует заданию передаточной функции Wор(S) (или W(S))

Считают что на систему не действуют внешние возмущения, а переходной процесс происходит при изменении начальных условий.

X = y 0 – y - рассогласование

Вустойчивой линейной САУ в результате переходного процесса все функции координат должны стремиться к 0. х 1 () = х 2 () = … х n () = U() = 0 (2)

В качестве критерия оптимальности выберем интеграл вида

(3), где V- положительно определённая квадратичная форма.

Т.е. если подставитьV в  (3) то это будет квадратичная ошибка системы.

Член U 2 в (4) характеризует стоимость процесса управления, т.е. затраты энергии на нагрев. U 2 гарантирует отсутствие нереализуемых в линейных регуляторах законов, он гарантирует отсутствие управляющих воздействий, при которых скорость превращается в бесконечность.

Само существование (3) гарантирует устойчивость системы. При аналитическом конструирование задание состоит в том чтобы найти в аналитической форме функцию Ф(U,U,x 1 …x k) = 0 (5) – который с учётом уравнений объекта и приграничных условий (1) и (2) доставлял бы минимум интегралу (3).

Оптимальные САУ – это системы в которых управление осуществляется таким образом что требуемый критерий оптимальности имеет экстремальное значение. Граничные условия определяющие начальное и требуемое конечное состояния системы технологическая цель системы. tн Её ставят в тех случаях когда особый интерес представляет среднее отклонение в течение определённого интервала времени и задача системы управления – обеспечить минимум этого интеграла...

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Оптимальное управление

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. – 519с. С. 477 – 491.

Оптимальные САУ – это системы, в которых управление осуществляется таким образом, что требуемый критерий оптимальности имеет экстремальное значение.

Примеры оптимального управления объектами:

1. Управление движением ракеты с целью достижения ею заданной высоты или дальности при минимальном расходе горючего;
2. Управление перемещением приводимого двигателем механизма, при котором минимизировались бы затраты энергии;
3. Управление атомным реактором, при котором максимальна производительность.

Задача оптимального управления формулируется следующим образом:

“Найти такой закон изменения во времени управления u (t ), при котором система при заданных ограничениях перейдёт из одного заданного состояния в другое оптимальным образом в том смысле,что функционал I , выражающий качество процесса, получит при найденном управлении экстремальное значение “.

Чтобы решить задачу оптимального управления, необходимо знать:

1.Математическое описание объекта и среды, связывающее значения всех координат исследуемого процесса,управляющих и возмущающих воздействий;

2.Ограничения физического характера на координаты и закон управления, выраженные математически;

3. Граничные условия, определяющие начальное и требуемое конечное состояния системы

(технологическая цель системы);

4.Целевую функцию (функционал качества –

математическая цель).

Математически критерий оптимальности чаще всего представляют в виде:

t к

I =∫ f o [ y (t ), u (t ), f (t ), t ] dt + φ [ y (t к ), t к ], (1)

t н

где первое слагаемое характеризует качество управления на всём интервале (t н , t н ) и называется

интегральной составляющей, второе слагаемое

характеризует точность в конечный (терминальный) момент времени t к .

Выражение (1) называется функционалом, так как I зависит от выбора функции u (t ) и получающегося при этом y (t ).

Задача Лагранжа. В ней минимизируется функционал

t к

I=∫f o dt.

t н

Её ставят в тех случаях, когда особый интерес представляет среднее отклонение в течение

определённого интервала времени, и задача системы управления – обеспечить минимум этого интеграла (ухудшение качества продукции, убыток и т.п.).

Примеры функционалов:

I =∫ (t ) dt – критерий минимальной ошибки в установившемся режиме, где x (t ) –

1. отклонение управляемого параметра от заданного значения;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min – критерий максимального быстродействия САУ;

I =∫ dt = > min – критерий оптимальной экономичности.

Задача Майера. В этом случае минимизируемым является функционал, определяемый только терминальной частью, т.е.

I = φ =>min.

Например, для системы управления ЛА, описываемым уравнением

F o (x , u , t ),

можно поставить следующую задачу: определить управление u (t ), t н ≤ t ≤ t к так, чтобы за

заданное время полёта достичь максимальной дальности при условии, что в конечный момент времени t к ЛА совершит посадку, т.е. x (t к ) =0.

Задача Больца сводится к задаче минимизации критерия (1).

Базовыми методами решения задач оптимального управления являются:

1.Классическое вариационное исчисление – теорема и уравнение Эйлера;

2.Принцип максимума Л.С. Понтрягина;

3.Динамическое программирование Р. Беллмана.

УРАВНЕНИЕ И ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Пусть задан функционал:

t к

I =∫ f o dt ,

t н

где – некоторые дважды дифференцируемые функции, среди которых необходимо найти такие функции (t ) или экстремали , которые удовлетворяют заданным граничным условиям x i (t н ), x i (t к ) и минимизируют функционал.

Экстремали отыскиваются среди решений уравнения Эйлера

I = .

Для установления факта минимизации функционала необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия Лагранжа:

аналогичные требованиям положительности второй производной в точке минимума функции.

Теорема Эйлера: “Если экстремум функционала I существует и достигается среди гладких кривых, то он может достигаться только на экстремалях”.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л.С.ПОНТРЯГИНА

Школа Л.С.Понтрягина сформулировала теорему о необходимом условии оптимальности, сущность которой в следующем.

Допустим, что дифференциальное уравнение объекта вместе с неизменяемой частью управляющего устройства заданы в общей форме:

На управление u j могут накладываться ограничения, например, в виде неравенств:

, .

Цель управления состоит в переводе объекта из начального состояния (t н ) в конечное состояние (t к ). Момент окончания процесса t к может быть фиксированным или свободным.

Критерием оптимальности пусть будет минимум функционала

I = dt .

Введём вспомогательные переменные и образуем функцию

Fo ()+ f () f ()+

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т.е. для получения минимума функционала, необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций, удовлетворяющих уравнению

Что при любом t , находящемся в заданном диапазоне t н≤ t ≤ t к , величина Н, как функция допустимого управления, достигает максимума.

Максимум функции Н определяется из условий:

если не достигает границ области, и как точная верхняя грань функции Н по в противном случае.

Динамическое программирование Р.Беллмана

Принцип оптимальности Р.Беллмана:

“ Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.”

Под “поведением” системы следует понимать движение этих систем, а термин “решение” относится к выбору закона изменения во времени управляющих сил.

В динамическом программировании процесс поиска экстремалей разбивается на n шагов, в то время как в классическом вариационном исчислении ведётся поиск экстремали целиком.

Процесс поиска экстремали базируется на следующих предпосылках принципа оптимальности Р.Беллмана:

1. Каждый отрезок оптимальной траектории является сам по себе оптимальной траекторией;
2. Оптимальный процесс на каждом участке не зависит от его предыстории;
3. Оптимальное управление (оптимальная траектория) ищется с помощью попятного движения [от y (T ) к y (T -∆) , где ∆ = Т/ N , N – число участков разбиения траектории, и т.д.].

Эвристически уравнения Беллмана для требуемых постановок задач выведены применительно к непрерывным и дискретным системам.

Адаптивное управление

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB . – СПб.: Наука, 1999. – 467с. Глава 12.

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. – 519с. С. 491 – 499.

Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352с. С. 328 – 340.

Необходимость в адаптивных системах управления возникает в связи со значительным усложнением решаемых задач управления, причем специфическая особенность такого усложнения заключается в отсутствии практической возможности для подробного изучения и описания процессов, протекающих в управляемом объекте.

Например, современные высокоскоростные летательные аппараты, точные априорные данные о характеристиках которых во всех условиях функционирования не могут быть получены из-за значительных разбросов параметров атмосферы, больших диапазонов изменения скоростей полета, дальностей и высот, а также из-за наличия широкого спектра параметрических и внешних возмущений.

Некоторые объекты управления (самолеты и ракеты, технологические процессы и энергетические установки) отличаются тем, что их статические и динамические характеристики изменяются в широких пределах непредвиденным заранее образом. Оптимальное управление такими объектами возможно с помощью систем, в которых недостающая информация автоматически пополняется самой системой в процессе работы.

Адаптивными (лат.” adaptio ” – приспособление) называются такие системы, которые при изменении параметров объектов или характеристик внешних воздействий в процессе эксплуатации самостоятельно, без участия человека изменяют параметры регулятора, его структуру, настройку или регулирующие воздействия для поддержания оптимального режима работы объекта.

Создание адаптивных систем управления осуществляется в принципиально иных условиях, т.е. адаптивные методы должны способствовать достижению высокого качества управления при отсутствии достаточной полноты априорной информации о характеристиках управляемого процесса или в условиях неопределенности.

Классификация адаптивных систем :

Самоприспосабливающиеся

(адаптивные)

Системы управления

Самонастраивающиеся Самообучающиеся Системы с адаптацией

Системы системы в особых фазовых

Состояниях

Поисковые Беспоиско- Обучающие- Обучающие- Релейные Адаптивные

(экстремаль- вые (анали- ся с поощре- ся без автоколеба- системы с

Ные) тические) нием поощрения тельные переменной

Системы системы системы структурой

Структурная схема классификации АС (по характеру процесса адаптации)

Самонастраивающиеся системы (СНС) представляют собой системы, в которых адаптация при изменении условий работы осуществляется путем изменения параметров и управляющих воздействий.

Самоорганизующимися называются системы, в которых адаптация осуществляется за счет изменения не только параметров и управляющих воздействий, но и структуры.

Самообучающаяся – это система автоматического управления, в которой оптимальный режим работы управляемого объекта определяется с помощью управляющего устройства, алгоритм которого автоматически целенаправленно совершенствуется в процессе обучения путем автоматического поиска. Поиск производится с помощью второго управляющего устройства, являющегося органической частью самообучающейся системы.

В поисковых системах изменение параметров управляющего устройства или управляющего воздействия осуществляется в результате поиска условий экстремума показателей качества. Поиск условий экстремума в системах этого типа осуществляется с помощью пробных воздействий и оценки полученных результатов.

В беспоисковых системах определение параметров управляющего устройства или управляющих воздействий производится на основе аналитического определения условий, обеспечивающих заданное качество управления без применения специальных поисковых сигналов.

Системы с адаптацией в особых фазовых состояниях используют особые режимы или свойства нелинейных систем (режимы автоколебаний, скользящие режимы) для организации контролируемых изменений динамических свойств системы управления. Специально организованные особые режимы в таких системах либо служат дополнительным источником рабочей информации об изменяющихся условиях функционирования системы, либо наделяют системы управления новыми свойствами, за счет которых динамические характеристики управляемого процесса поддерживаются в желаемых пределах независимо от характера возникающих при функционировании изменений.

При применении адаптивных систем решаются следующие основные задачи:

1 . В процессе функционирования системы управления при изменении параметров, структуры и внешних воздействий обеспечивают такое управление, при котором сохраняются заданные динамические и статические свойства системы;

2 . В процессе проектирования и наладки при начальном отсутствии полной информации о параметрах, структуре объекта управления и внешних воздействиях производят автоматическую настройку системы в соответствии с заданными динамическими и статическими свойствами.

Пример 1 . Адаптивная система стабилизации углового положения ЛА.

f 1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

Д1 Д2 Д3

ВУ1 ВУ2 ВУ3 f (t ) f 1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

u (t ) W 1 (p ) W 0 (p ) y (t )

+ -

Рис. 1.

Приспосабливающаяся система стабилизации ЛА

При изменении условий полета меняется передаточная функция W 0 (p ) ЛА, а, следовательно, и динамическая характеристика всей системы стабилизации:

. (1)

Возмущения со стороны внешней среды f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) , приводящие к контролируемым изменениям параметров системы, приложены к различным точкам объекта.

Возмущающее воздействие f (t ) , приложенное непосредственно к входу объекта управления, в отличие от f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) не меняет его параметров. Поэтому в процессе работы системы измеряют только f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ).

В соответствии с принципом обратной связи и выражением (1) неконтролируемые изменения характеристики W 0 (p ) из-за возмущений и помех вызывают сравнительно небольшие изменения параметров Ф(p ) .

Если поставить задачу более полной компенсации контролируемых изменений, чтобы передаточная функция Ф(р) системы стабилизации ЛА оставалась практически неизменной, то следует надлежащим образом изменить характеристику регулятора W 1 (p ). Это и осуществляется в приспосабливающейся САУ, выполненной по схеме рис.1. Параметры внешней среды, характеризуемые сигналами f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ), например давление скоростного напора P H (t ) , температура окружающего воздуха T 0 (t ) и скорость полёта υ(t ) , непрерывно измеряются датчиками Д 1 , Д 2 , Д 3 , и текущие значения параметров поступают в вычислительные устройства В 1, В 2 ,В 3 , вырабатывающие сигналы, с помощью которых подстраивается характеристика W 1 (p ), чтобы компенсировать изменения характеристики W 0 (p ).

Однако, в АСАУ данного типа (с разомкнутым циклом настройки) отсутствует самоанализ эффективности осуществляемых ею контролируемых изменений.

Пример 2. Экстремальная система управления скоростью полета ЛА.

Z Возмущающее

Воздействие

X 3 = X 0 - X 2

Устройство авто- X 0 Усилительно- X 4 Исполнительное X 5 Регулируемый X 1

Матического по- преобразователь- устройство объект

Иска экстремума + - ное устройство

Измерительное

Устройство

Рис.2.Функциональная схема экстремальной системы управления скоростью полета ЛА

Экстремальная система определяет наивыгоднейшую программу, т.е. то значение X 1 (требуемая скорость движения ЛА), которое нужно в данный момент выдерживать, чтобы производился минимум расхода горючего на единицу длины пути.

Z - характеристика объекта; X 0 - управляющее воздействие на систему.

(величина расхода горючего)

y(0)

y(T)

Самоорганизующиеся системы

В этих нормах отдельно нормируется каждый компонент микроклимата в рабочей зоне производственного помещения: температура относительная влажность скорость движения воздуха в зависимости от способности организма человека к акклиматизации в разное время года характера одежды интенсивности производимой работы и характера тепловыделений в рабочем помещении. Перепады температуры воздуха по высоте и по горизонтали а также изменения температуры воздуха в течение смены при обеспечении оптимальных величин микроклимата на рабочих местах не должны... Управление: понятие признаки система и принципы Органы государственного управления: понятие виды и функции. По содержанию административное право является государственно-управленческим правом реализующим правовой интерес большинства граждан для чего субъекты управления наделяются юридически властными полномочиями представительскими функциями государства. Следовательно объектом действия юридических норм являются специфические управленческие общественные отношения возникающие между субъектом управления управляющим и объектами... Государственное регулирование социально-экономического развития регионов. Местные бюджеты как финансовая основа социально-экономического развития региона. Разные территории Украины имеют свои особенности и отличия как относительно экономического развития так и в социальном историческом языковом и ментальном аспектах. Из таких проблем нужно прежде всего назвать несовершенство отраслевой структуры большинства региональных хозяйственных комплексов их низкую экономическую эффективность; значительные отличия между регионами в уровнях...

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А.Самарский

«____»_______________2004 г.

П Р О Г Р А М М А

по курсу: ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

по направлению 511600

факультет ФУПМ

кафедра математических основ управления

курс IV

семестр 7, 8

лекции – 50 час. Экзамен – 8 семестр

семинары – 50 час. Зачет – 7 семестр

лабораторные занятия – нет

Самостоятельная работа – 2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ 100

Программу и задание составил: д.ф.-м.н., профессор Жадан В.Г.

Заведующий кафедрой С.А. Гуз

1. Основная задача оптимального управления. Принцип максимума Л.С. Понтрягина (принцип минимума). Каноническая форма записи. Принцип максимума для систем, содержащих управляющие параметры.

2. Задачи с подвижным правым концом. Условия трансверсальности. Задачи Лагранжа и Больца. Задачи Майера и Лагранжа с нефиксированным временем окончания процесса. Задача на быстродействие. Задача с подвижным левым концом.

3. Доказательство принципа максимума Л.С. Понтрягина для задачи Майера. Понятие игольчатой вариации. ЛеммаГронуолла–Беллмана. Учет оптимизации по управляющему параметру.

4. Связь принципа максимума с вариационным исчислением. Уравнение Эйлера. Первые интегралы уравнения Эйлера. Условия Веерштрасса, Лежандра и Якоби. Уравнение Якоби. Условия Веерштрасса–Эрдмана.

5. Линейные системы. Принцип максимума для линейных систем. Теорема о конечном числе точек переключений.

6. Множество достижимости для линейных систем. Экстремальное управление и экстремальный принцип.

7. Точечная управляемость для линейных систем. Критерий точечной управляемости. Теорема Калмана о точечной управляемости. Полная управляемость линейных систем. Теорема Калмана о полной управляемости автономных систем.

8. Проблема наблюдаемости. Критерий наблюдаемости для линейной системы. Наблюдение начального состояния. Связь между наблюдаемостью и управляемостью. Критерий полной наблюдаемости стационарной системы.

9. Формализм Лагранжа и его использование для решения задач оптимального управления. Проблема синтеза оптимального управления.

10. Проблема идентификации. Критерий идентифицируемости. Критерий полной идентифицируемости стационарной системы.

11. Системы с разрывными правыми частями. Условие скачка импульсов.

12. Понятие инвариантных систем. Свойства динамических систем. Опорное поле импульсов. Необходимые и достаточные условия инвариантности. Корректирующая функция.

13. Достаточные условия оптимальности. Поле экстремалей. Связь с достаточными условиями Веерштрасса для классической задачи вариационного исчисления.

14. Элементы теории динамического программирования. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности. Уравнение Беллмана. Вывод принципа максимума из динамического программирования. Связь с вариационным исчислением.

15. Методы решения краевых задач. Применение метода Ньютона. Перенос граничных условий. Метод прогонки для нелинейных задач.

16. Численные методы, основанные на последовательном анализе вариантов. Метод «киевского веника», метод блуждающей трубки, метод локальных вариаций.

17. Численные методы, основанные на редукции к задачам нелинейного программирования. Вычисление производных по компонентам вектора управлений в случае дискретных процессов. Метод штрафов, метод нагруженного функционала.

18. Дискретный принцип минимума. Вариационные неравенства. Применение метода условного градиента для решения задач оптимального управления. Принцип квазиминимума.

19. Достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова для непрерывных и дискретных процессов. Применение формализма В.Ф. Кротова для решения линейных задач.

20. Особые управления. Определение особых управлений с помощью скобок Пуассона. Условия Келли и Коппа–Мойера.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1971.

2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. – М.: Наука, 1982.

3. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1987.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе З.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Физматгиз, 1961.

5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1988.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.

7. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. – М.: Мир, 1978.

8. Основы теории оптимального управления /Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990.

9. Ли Э.Б., Маркус П. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

10. ГабасовР., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.: Наука, 1973.

Задание можно посмотреть

Оптимальное управление в последние годы начали применять как в технических системах для повышения эффективности производственных процессов, так и в системах организационного управления для совершенствования деятельности предприятий, организаций, отраслей народного хозяйства.

В организационных системах обычно интересуются конечным, установившимся результатом команды, не исследуя

эффективность во время переходного процесса между отдачей команды и получением окончательного результата Объясняется это тем, что обычно в таких системах потери в переходном процессе достаточно малы и влияют несущественно на общую величину выигрыша в установившемся режиме, поскольку сам установившийся режим значительно более длителен, чем переходный процесс. Но иногда динамика не исследуется из-за математических трудностей. Методам оптимизации конечных состояний в организационных и экономических системах посвящены курсы методов. оптимизации и исследования операций.

В управлении динамическими техническими системами оптимизация часто существенна именно для переходных процессов, в которых показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат (как в экстремальном управлении), но и от характера изменения в прошлом, настоящем и будущем, и выражается некоторым функционалом от координат, их производных и, может быть, времени.

В качестве примера можно привести управление бегом спортсмена на дистанции. Так как его запас энергии ограничен физиологическими факторами, а расходование запаса зависит от характера бега, спортсмен уже не может в каждый момент отдавать максимум возможной мощности, чтобы не израсходовать запас энергии преждевременно и не выдохнуться на дистанции, а должен искать оптимальный для своих особенностей режим бега.

Нахождение оптимального управления в подобных динамических задачах требует решения в процессе управления достаточно сложной математической задачи методами вариационного исчисления или математического программирования в зависимости от вида математического описания (математической модели) системы. Таким образом, органической составной частью системы оптимального управления становится счетно-решающее устройство или вычислительная машина. Принцип поясняется на рис. 1.10. На вход вычислительного устройства (машины) ВМ поступает информация о текущих значениях координат х с выхода объекта О, об управлениях и с его входа, о внешних воздействиях z на объект, а также задание извне различных условий: значение критерия оптимальности граничных условий информация о допустимых значениях Вычислительное