Bu dərsdə biz funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq texnikasına baxacağıq və izahlı nümunələr verəcəyik.
Mövzu: Təkrar
Dərs: Funksiya qrafikinin eskizinin çəkilməsi (kəsr-kvadrat funksiya nümunəsindən istifadə etməklə)
Məqsədimiz kəsrli kvadrat funksiyanın qrafikini çəkməkdir. Məsələn, artıq tanış olduğumuz funksiyanı götürək:
Kəsr funksiyası verilmişdir ki, onun payı və məxrəci kvadrat funksiyaları ehtiva edir.
Eskiz texnikası belədir:
1. Sabit işarəli intervalları seçin və hər birində funksiyanın işarəsini təyin edin (Şəkil 1)
Biz ətraflı araşdırdıq və müəyyən etdik ki, ODZ-də fasiləsiz olan funksiya yalnız arqument ODZ-nin köklərindən və qırılma nöqtələrindən keçdikdə işarəni dəyişə bilər.
Verilmiş y funksiyası ODZ-də davamlıdır, ODZ-ni göstərək;
Kökləri tapaq:
İşarənin sabitlik intervallarını qeyd edək. Biz funksiyanın köklərini və tərif sahəsinin qırılma nöqtələrini - məxrəcin köklərini tapdıq. Qeyd etmək vacibdir ki, hər bir intervalda funksiya öz işarəsini qoruyur.
düyü. 1. Funksiyanın sabit işarəsinin intervalları
Hər bir interval üzrə funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün intervala aid olan istənilən nöqtəni götürüb, onu funksiyaya əvəz edib işarəsini təyin etmək olar. Məsələn:
İntervalda funksiyanın artı işarəsi var
İntervalda funksiyanın mənfi işarəsi var.
Bu, interval metodunun üstünlüyüdür: biz bir sınaq nöqtəsində işarəni təyin edirik və funksiyanın bütün seçilmiş intervalda eyni işarəyə sahib olacağı qənaətinə gəlirik.
Bununla belə, siz funksiya qiymətlərini hesablamadan işarələri avtomatik olaraq təyin edə bilərsiniz, bunun üçün ifrat intervalda işarəni təyin edin və sonra işarələri dəyişdirin.
1. Hər bir kökün yaxınlığında bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın kökləri və:
düyü. 2. Köklərin yaxınlığındakı qrafik
Bir nöqtədə funksiyanın işarəsi artıdan mənfiyə dəyişdiyindən əyri əvvəlcə oxun üstündədir, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun altında yerləşir. Bu nöqtədə əksinədir.
2. Hər bir ODZ kəsilməzliyinə yaxın bir qrafik quraq. Xatırladaq ki, bu funksiyanın məxrəcinin kökləri və:
düyü. 3. ODZ-nin kəsilmə nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın qrafiki
Kəsirin məxrəci və ya məxrəci praktiki olaraq sıfıra bərabər olduqda, bu o deməkdir ki, arqumentin qiyməti bu ədədlərə meyl etdikdə, kəsrin qiyməti sonsuzluğa meyllidir. Bu halda, arqument solda üçlüyə yaxınlaşdıqda, funksiya müsbətdir və üstəgəl sonsuzluğa meyl edir, sağda funksiya mənfi olur və mənfi sonsuzluqdan kənara çıxır. Təxminən dörddə, əksinə, solda funksiya mənfi sonsuzluğa meyl edir, sağda isə üstəgəl sonsuzluğu tərk edir.
Qurulmuş eskizə görə, bəzi intervallarda funksiyanın davranışının xarakterini təxmin edə bilərik.
düyü. 4. Funksiya qrafikinin eskizi
Aşağıdakı vacib vəzifəni nəzərdən keçirək - sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında bir funksiyanın qrafikinin eskizini qurmaq, yəni. arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meyl etdikdə. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:
Bəzən bu faktın bu qeydini tapa bilərsiniz:
düyü. 5. Sonsuzluqda nöqtələrin yaxınlığında funksiyanın qrafikinin eskizi
Biz funksiyanın təxmini davranışını onun bütün tərif sahəsi üzrə əldə etdik, sonra törəmədən istifadə edərək konstruksiyanı dəqiqləşdirməliyik;
Misal 1 - funksiyanın qrafikini çəkin:
Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi üç nöqtəmiz var.
Hər bir interval üzrə funksiyanın işarələrini təyin edirik. Həddindən artıq sağ intervalda bir artıya sahibik, sonra işarələr bir-birini əvəz edir, çünki bütün köklər birinci dərəcəyə malikdir.
ODZ-nin kökləri və qırılma nöqtələri yaxınlığında qrafikin eskizini qururuq. Bizdə var: bir nöqtədə funksiyanın işarəsi artıdan mənfiyə dəyişdiyi üçün əyri əvvəlcə oxun üstündədir, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun altında yerləşir. Kəsirin məxrəci və ya məxrəci praktiki olaraq sıfıra bərabər olduqda, bu o deməkdir ki, arqumentin qiyməti bu ədədlərə meyl etdikdə, kəsrin qiyməti sonsuzluğa meyllidir. Bu halda, arqument solda mənfi ikiyə yaxınlaşdıqda, funksiya mənfi olur və mənfi sonsuzluğa meyl edir, sağda funksiya müsbətdir və plus sonsuzluğu tərk edir. Təxminən ikisi eynidir.
Funksiyanın törəməsini tapaq:
Aydındır ki, törəmə həmişədir sıfırdan azdır, buna görə də bütün bölmələrdə funksiya azalır. Beləliklə, mənfi sonsuzluqdan mənfi ikiyə qədər olan hissədə funksiya sıfırdan mənfi sonsuzluğa qədər azalır; mənfi ikidən sıfıra qədər olan hissədə funksiya üstəgəl sonsuzluqdan sıfıra enir; sıfırdan ikiyə qədər olan hissədə funksiya sıfırdan mənfi sonsuzluğa qədər azalır; ikidən üstəgəl sonsuzluğa qədər olan hissədə funksiya üstəgəl sonsuzdan sıfıra enir.
Gəlin təsvir edək:
düyü. 6. Məsələn 1 funksiyasının qrafikinin eskizi
Misal 2 - funksiyanın qrafikini çəkin:
Törəmə istifadə etmədən funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq.
Əvvəlcə verilmiş funksiyanı nəzərdən keçirək:
Arqument keçdikdə funksiyanın işarəni dəyişə biləcəyi bir nöqtəmiz var.
Qeyd edək ki, verilmiş funksiya təkdir.
Hər bir interval üzrə funksiyanın işarələrini təyin edirik. Həddindən artıq sağ intervalda bir artı var, sonra işarə dəyişir, çünki kök birinci dərəcəyə malikdir.
Kökün yaxınlığında qrafikin eskizini qururuq. Bizdə var: bir nöqtədə funksiyanın işarəsi mənfidən artıya dəyişdiyinə görə əyri əvvəlcə oxun altında olur, sonra sıfırdan keçir və sonra x oxunun üstündə yerləşir.
İndi biz sonsuzluq nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq, yəni. arqument artı və ya mənfi sonsuzluğa meyl etdikdə. Bu vəziyyətdə sabit şərtləri laqeyd etmək olar. Bizdə:
Yuxarıdakı addımları yerinə yetirdikdən sonra biz artıq funksiyanın qrafikini təsəvvür edirik, lakin törəmədən istifadə edərək onu aydınlaşdırmalıyıq.
Funksiyanın törəməsini tapaq:
Törəmə sabit işarəli intervalları seçirik: at . ODZ burada. Beləliklə, bizdə törəmənin sabit işarəsinin üç intervalı və ilkin funksiyanın monotonluğunun üç bölməsi var. Hər bir interval üzrə törəmənin əlamətlərini müəyyən edək. Nə vaxt 
törəmə müsbətdir, funksiya artır; törəmə mənfi olduqda, funksiya azalır. Bu halda - minimum nöqtə, çünki törəmə işarəsi mənfidən artıya dəyişir; əksinə, maksimum nöqtə.
Quraşdırma funksiyası
Diqqətinizə bütün hüquqları şirkətə məxsus olan onlayn funksiya qrafiklərinin qurulması xidmətini təklif edirik Desmos. Funksiyaları daxil etmək üçün sol sütundan istifadə edin. Onu əl ilə və ya istifadə edərək daxil edə bilərsiniz virtual klaviatura pəncərənin altındakı. Pəncərəni qrafiklə böyütmək üçün həm sol sütunu, həm də virtual klaviaturanı gizlədə bilərsiniz.
Onlayn diaqramın üstünlükləri
- Daxil edilmiş funksiyaların vizual göstərilməsi
- Çox mürəkkəb qrafiklərin qurulması
- Dolayı şəkildə göstərilən qrafiklərin qurulması (məsələn, ellips x^2/9+y^2/16=1)
- Diaqramları saxlamaq və İnternetdə hər kəs üçün əlçatan olan onlara keçid almaq imkanı
- Şkala, xətt rənginə nəzarət
- Qrafiklərin nöqtələr üzrə çəkilməsi, sabitlərdən istifadə etmək imkanı
- Bir neçə funksiya qrafikinin eyni vaxtda çəkilməsi
- Qütb koordinatlarında qrafiklər (r və θ(\theta) istifadə edin)
Bizimlə onlayn olaraq müxtəlif mürəkkəblikdə qrafiklər qurmaq asandır. Tikinti dərhal həyata keçirilir. Xidmət funksiyaların kəsişmə nöqtələrini tapmaq, onların sonrakı hərəkəti üçün qrafikləri təsvir etmək üçün tələb olunur. Word sənədi problemləri həll edərkən illüstrasiyalar kimi, funksiya qrafiklərinin davranış xüsusiyyətlərini təhlil etmək. Saytın bu səhifəsində qrafiklərlə işləmək üçün optimal brauzerdir Google Chrome. Digər brauzerlərdən istifadə edərkən düzgün işləməyə zəmanət verilmir.
Gəlin müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi seçək və arqumentin qiymətlərini absis oxunda qrafasına salaq. X, və ordinatda - funksiyanın dəyərləri y = f(x).
Funksiya qrafiki y = f(x) absisləri funksiyanın təyini sahəsinə aid olan və ordinatları funksiyanın müvafiq qiymətlərinə bərabər olan bütün nöqtələrin çoxluğudur.
Başqa sözlə, y = f (x) funksiyasının qrafiki müstəvinin bütün nöqtələrinin, koordinatlarının çoxluğudur. X, saat münasibəti təmin edən y = f(x).
Şəkildə. 45 və 46 funksiyaların qrafiklərini göstərir y = 2x + 1 Və y = x 2 - 2x.
Düzünü desək, bir funksiyanın qrafiki (dəqiq riyazi tərifi yuxarıda verilmişdir) və həmişə qrafikin yalnız az və ya çox dəqiq eskizini verən (və hətta bir qayda olaraq) çəkilmiş əyrini ayırd etmək lazımdır. bütün qrafiki deyil, yalnız onun təyyarənin son hissələrində yerləşən hissəsi). Ancaq bundan sonra biz ümumiyyətlə "qrafik eskiz" deyil, "qrafik" deyəcəyik.
Qrafikdən istifadə edərək, bir nöqtədə funksiyanın dəyərini tapa bilərsiniz. Məhz, əgər nöqtə x = a funksiyanın təyini sahəsinə aiddir y = f(x), sonra nömrəni tapmaq üçün f(a)(yəni nöqtədəki funksiya dəyərləri x = a) bunu etməlisən. Bu, absis nöqtəsi vasitəsilə lazımdır x = a ordinat oxuna paralel düz xətt çəkmək; bu xətt funksiyanın qrafiki ilə kəsişir y = f(x) bir nöqtədə; bu nöqtənin ordinatı qrafikin tərifinə görə bərabər olacaqdır f(a)(Şəkil 47).
Məsələn, funksiya üçün f(x) = x 2 - 2x qrafikdən (şəkil 46) istifadə edərək f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 və s.
Funksiya qrafiki funksiyanın davranışını və xassələrini aydın şəkildə göstərir. Məsələn, Şek. 46 funksiyası olduğu aydındır y = x 2 - 2x zaman müsbət dəyərlər alır X< 0 və at x > 2, mənfi - 0-da< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x qəbul edir x = 1.
Bir funksiyanın qrafikini çəkmək üçün f(x) təyyarənin bütün nöqtələrini, koordinatlarını tapmaq lazımdır X,saat tənliyi təmin edən y = f(x). Əksər hallarda bunu etmək mümkün deyil, çünki sonsuz sayda belə nöqtələr var. Buna görə də, funksiyanın qrafiki təxminən təsvir edilmişdir - daha çox və ya daha az dəqiqliklə. Ən sadəsi bir neçə nöqtədən istifadə edərək qrafiki tərtib etmək üsuludur. Bu, arqumentin olmasından ibarətdir X sonlu sayda dəyərlər verin - deyək ki, x 1, x 2, x 3,..., x k və seçilmiş funksiya dəyərlərini ehtiva edən bir cədvəl yaradın.
Cədvəl belə görünür:
Belə bir cədvəl tərtib edərək, funksiyanın qrafikində bir neçə nöqtəni qeyd edə bilərik y = f(x). Sonra bu nöqtələri hamar bir xəttlə birləşdirərək, funksiyanın qrafikinin təxmini görünüşünü alırıq y = f(x).
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, çox nöqtəli qrafik metodu çox etibarsızdır. Əslində, qrafikin nəzərdə tutulan nöqtələr arasındakı davranışı və alınan ekstremal nöqtələr arasındakı seqmentdən kənar davranışı naməlum olaraq qalır.
Misal 1. Bir funksiyanın qrafikini çəkmək üçün y = f(x) kimsə arqument və funksiya dəyərləri cədvəlini tərtib etdi:
Müvafiq beş nöqtə Şəkildə göstərilmişdir. 48.
Bu nöqtələrin yerləşdiyi yerə əsaslanaraq, o, belə nəticəyə gəldi ki, funksiyanın qrafiki düz xəttdir (şəkil 48-də nöqtəli xəttlə göstərilmişdir). Bu qənaəti etibarlı hesab etmək olarmı? Bu qənaəti dəstəkləmək üçün əlavə mülahizələr olmasa, onu etibarlı hesab etmək mümkün deyil. etibarlı.
İfadəmizi əsaslandırmaq üçün funksiyanı nəzərdən keçirək
.
Hesablamalar göstərir ki, bu funksiyanın -2, -1, 0, 1, 2 nöqtələrindəki dəyərləri yuxarıdakı cədvəldə dəqiq təsvir edilmişdir. Lakin bu funksiyanın qrafiki heç də düz xətt deyil (şəkil 49-da göstərilmişdir). Başqa bir nümunə funksiya ola bilər y = x + l + sinπx; onun mənaları da yuxarıdakı cədvəldə təsvir edilmişdir.
Bu misallar göstərir ki, bir neçə nöqtədən istifadə etməklə qrafiki tərtib etmək metodu “təmiz” formada etibarsızdır. Buna görə də, verilmiş funksiyanın qrafikini çəkmək üçün adətən aşağıdakı kimi hərəkət edilir. Əvvəlcə bu funksiyanın xassələrini öyrənirik, onun köməyi ilə qrafikin eskizini qura bilərik. Sonra bir neçə nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayaraq (seçimi funksiyanın müəyyən edilmiş xassələrindən asılıdır) qrafikin müvafiq nöqtələri tapılır. Və nəhayət, bu funksiyanın xassələrindən istifadə edərək qurulmuş nöqtələr vasitəsilə əyri çəkilir.
Qrafik eskizini tapmaq üçün istifadə olunan funksiyaların bəzi (ən sadə və ən çox istifadə olunan) xassələrinə daha sonra baxacağıq, lakin indi biz qrafiklərin qurulması üçün bir neçə ümumi istifadə olunan üsullara baxacağıq.
y = |f(x)| funksiyasının qrafiki.
Çox vaxt funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır y = |f(x)|, harada f(x) - verilmiş funksiya. Bunun necə edildiyini sizə xatırladaq. Ədədin mütləq qiymətini təyin etməklə biz yaza bilərik
Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki y =|f(x)| qrafikdən, funksiyadan əldə etmək olar y = f(x) aşağıdakı kimi: funksiyanın qrafikindəki bütün nöqtələr y = f(x), ordinatları mənfi olmayan, dəyişməz qalmalıdır; daha sonra funksiyanın qrafikinin nöqtələrinin yerinə y = f(x) mənfi koordinatlara malik olduqda, funksiyanın qrafikində müvafiq nöqtələri qurmalısınız y = -f(x)(yəni funksiyanın qrafikinin bir hissəsi
y = f(x), oxun altında yerləşir X, ox ətrafında simmetrik şəkildə əks olunmalıdır X).
Misal 2. Funksiyanın qrafikini çəkin y = |x|.
Gəlin funksiyanın qrafikini götürək y = x(Şəkil 50, a) və bu qrafikin bir hissəsi at X< 0 (oxun altında uzanır X) oxuna nisbətən simmetrik əks olunur X. Nəticədə funksiyanın qrafikini alırıq y = |x|(Şəkil 50, b).
Misal 3. Funksiyanın qrafikini çəkin y = |x 2 - 2x|.
Əvvəlcə funksiyanın qrafikini çəkək y = x 2 - 2x. Bu funksiyanın qrafiki paraboldur, budaqları yuxarı istiqamətlənmiş, parabolanın təpəsinin koordinatları (1; -1), qrafiki x oxunu 0 və 2 nöqtələrində kəsir. (0) intervalında; 2) funksiya mənfi qiymətlər alır, ona görə də qrafikin bu hissəsi absis oxuna nisbətən simmetrik şəkildə əks olunur. Şəkil 51-də funksiyanın qrafiki göstərilir y = |x 2 -2x|, funksiyanın qrafiki əsasında y = x 2 - 2x
y = f(x) + g(x) funksiyasının qrafiki
Funksiya qrafikinin qurulması məsələsini nəzərdən keçirək y = f(x) + g(x). funksiya qrafikləri verilirsə y = f(x) Və y = g(x).
Qeyd edək ki, y = |f(x) + g(x)| funksiyasının təyin olunma oblastı y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının hər ikisinin təyin olunduğu x-in bütün qiymətlərinin məcmusudur, yəni bu tərif sahəsi tərif sahələrinin, f(x) funksiyalarının kəsişməsidir. və g(x).
Qoy xallar (x 0, y 1) Və (x 0, y 2) müvafiq olaraq funksiyaların qrafiklərinə aiddir y = f(x) Və y = g(x), yəni y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Onda (x0;. y1 + y2) nöqtəsi funksiyanın qrafikinə aiddir y = f(x) + g(x)(üçün f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. və funksiyanın qrafikinin istənilən nöqtəsi y = f(x) + g(x) bu yolla əldə etmək olar. Beləliklə, funksiyanın qrafiki y = f(x) + g(x) funksiya qrafiklərindən əldə etmək olar y = f(x). Və y = g(x) hər bir nöqtənin dəyişdirilməsi ( x n, y 1) funksional qrafika y = f(x) nöqtə (x n, y 1 + y 2), Harada y 2 = g(x n), yəni hər bir nöqtəni dəyişdirməklə ( x n, y 1) funksiya qrafiki y = f(x) ox boyunca saat məbləğinə görə y 1 = g(x n). Bu halda yalnız belə məqamlar nəzərə alınır X hər iki funksiyanın müəyyən edildiyi n y = f(x) Və y = g(x).
Bu funksiyanın qrafikini tərtib etmək üsulu y = f(x) + g(x) funksiyaların qrafiklərinin toplanması adlanır y = f(x) Və y = g(x)
Misal 4. Şəkildə, qrafiklərin əlavə edilməsi üsulu ilə funksiyanın qrafiki qurulmuşdur
y = x + sinx.
Bir funksiyanın qrafikini qurarkən y = x + sinx belə düşünürdük f(x) = x, A g(x) = sinx. Funksiya qrafikini çəkmək üçün absis -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 olan nöqtələri seçirik. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Seçilmiş nöqtələrdə hesablayaq və nəticələri cədvəldə yerləşdirək.
Yüklənir...
