Ev
Gözləmə ilə tək kanallı növbə sistemini nəzərdən keçirək.
Biz güman edəcəyik ki, xidmət üçün daxil olan sorğu axını λ intensivliyi ilə ən sadə axındır.
Xidmət axınının intensivliyi μ-dir. Xidmət müddəti eksponensial paylanma qanununa tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Xidmət axını hadisələrin ən sadə Puasson axınıdır. Kanal məşğul olduqda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir. Güman edirik ki, növbə ölçüsü məhduddur və daha çox yer tuta bilməz m tətbiqlər, yəni. CMO-ya gəldiyi anda özünü tapan bir tətbiq m +1 sorğu (m
növbə gözləyir və biri xidmət göstərir) QMİ-dən çıxır.
(0‑1)
Bu sistemdəki prosesi təsvir edən tənliklər sisteminin həlli var:
Birinci ifadənin məxrəci birinci həddi 1 və məxrəci ρ olan həndəsi irəliləyişdir, buradan alırıq ρ
(0‑8)
= 1 birbaşa hesablamaya müraciət edə bilərsiniz
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı.
(0‑9)
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayından bərixidmətdə olan tətbiqlərin orta sayı haradadır, sonra onu tapmaq qalır. Çünki yalnız bir kanal var, onda xidmət edilən sorğuların sayı ehtimallarla 0 və ya 1 ola bilər P 0 və P 1=1- P 0
(0‑10)
uyğun olaraq, haradan
(0‑11)
və sistemdəki tətbiqlərin orta sayıdır.
Növbədə olan proqram üçün orta gözləmə müddəti
yəni növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti növbədəki ərizələrin orta sayının ərizə axınının intensivliyinə bölünməsinə bərabərdir.
Tətbiqin sistemdə qalma müddəti proqramın növbədə gözləmə müddəti və xidmət müddətinin cəmidir. Sistem yükü 100% olarsa, =1/μ, əks halda = q/μ. Buradan
(0‑13)
Əsərin məzmunu.
Eksperimental alətlərin hazırlanması .
Ümumi qaydalara uyğun olaraq eyni şəkildə həyata keçirilir.
Analitik modeldən istifadə edərək hesablama.
1. Microsoft Excel proqramında aşağıdakı cədvəli hazırlayın.
2. Cədvəlin QS parametrləri üçün sütunlarda qaydaya uyğun olaraq müəyyən edilmiş ilkin məlumatları yazın:
m=1,2,3
(maksimum növbə uzunluğu).
Hər bir dəyər üçün Kanal məşğul olduqda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir. Güman edirik ki, növbə ölçüsü məhduddur və daha çox yer tuta bilməz aşağıdakı qiymət cütləri üçün QS göstəricilərinin nəzəri və eksperimental dəyərlərini tapmaq lazımdır:
= <порядковый номер в списке группы>
3. Analitik model göstəriciləri ilə sütunlara müvafiq düsturları daxil edin.
Simulyasiya modeli üzərində təcrübə.
1. Müvafiq parametrin dəyərini 1-ə təyin edərək, eksponent olaraq paylanmış xidmət vaxtı ilə işə salma rejimini təyin edin.
2. Hər kombinasiya üçün Kanal məşğul olduqda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir. Güman edirik ki, növbə ölçüsü məhduddur və daha çox yer tuta bilməz , və modeli işə salın.
3. Qaçışların nəticələrini cədvələ daxil edin.
4. Cədvəlin müvafiq sütunlarında göstəricinin orta qiymətini hesablamaq üçün düsturları daxil edin P açıq, q və A.
Nəticələrin təhlili .
1. Nəticələri bir-biri ilə müqayisə edərək nəzəri və eksperimental üsullarla əldə edilən nəticələri təhlil edin.
2. m=3 üçün asılılıqları bir diaqram üzərində qurun P açın nəzəri və təcrübi yolla əldə edilmiş məlumatlardan.
QS parametrlərinin optimallaşdırılması .
Növbədəki yerlərin sayının ölçüsünü optimallaşdırmaq problemini həll edin Kanal məşğul olduqda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir. Güman edirik ki, növbə ölçüsü məhduddur və daha çox yer tuta bilməz orta xidmət müddəti olan bir cihaz üçün = maksimum mənfəət əldə etmək baxımından. Problemin şərtləri olaraq götürün:
- 80 USD/saata bərabər bir ərizəyə xidmətdən əldə edilən gəlir,
- bir cihazın saxlanmasının dəyəri 1 kub/saata bərabərdir.
1. Hesablamalar üçün bir cədvəl yaratmaq məsləhətdir:
Birinci sütun təbii sıradakı ədədlərin qiymətləri ilə doldurulur (1,2,3...).
İkinci və üçüncü sütunlardakı bütün xanalar və qiymətlərlə doldurulur.
0-cı bölmədə cədvəlin sütunları üçün düsturlar dördüncüdən doqquzuncuya qədər olan sütunların xanalarına köçürülür.
Gəlir, Xərc, Mənfəət bölmələrinin ilkin məlumatları olan sütunlara dəyərləri daxil edin (yuxarıya baxın).
Gəlir, Xərc, Mənfəət bölmələrinin hesablanmış dəyərləri olan sütunlarda hesablama düsturlarını yazın:
- vaxt vahidi üçün müraciətlərin sayı
N r =A
- vaxt vahidi üzrə ümumi gəlir
I S = I r *N r
- vaxt vahidi üçün ümumi istehlak
E S =E s + E q *(n-1)
- vaxt vahidi üçün mənfəət
P = I S - E S
Harada
İr - bir tətbiqdən gəlir,
E s - bir cihazın istismar dəyəri,
eq - növbədə bir yerin istismarının dəyəri.
P üçün qrafiklər açıq,
- ən yaxşısını tapmaq üçün məlumatlar olan cədvəl m və m dəyəri opt,
- qarşı vaxt vahidi üzrə mənfəət qrafiki m.
Təhlükəsizlik sualları :
1) Tək kanallı məhdud növbəli QS modelinin qısa təsvirini verin.
2) Bir kanallı QS-nin nasazlıqlarla işləməsini hansı göstəricilər xarakterizə edir?
3) p ehtimalı necə hesablanır 0 ?
4) Ehtimallar p necə hesablanır mən?
5) Tətbiqə xidmət göstərməmək ehtimalını necə tapmaq olar?
6) Nisbi bant genişliyini necə tapmaq olar?
7) Mütləq ötürmə qabiliyyəti nədir?
8) Sistemdəki müraciətlərin orta sayı necə hesablanır?
9) Məhdud növbə ilə QS nümunələri verin.
Tapşırıqlar.
1) Limanda gəmilərin boşaldılması üçün bir yük körpüsü var. Axın sürəti gündə 0,5 ziyarətdir. Bir gəmi üçün orta boşaltma müddəti 2 gündür. Boşaltma növbəsində 3 gəmi varsa, o zaman gələn gəmi boşaldılmaq üçün başqa yanalma körpüsünə göndərilir. Yanacağın performans göstəricilərini tapın.
2) Dəmiryol vağzalının məlumat masası saatda 80 sorğu intensivliyi ilə telefon sorğularını qəbul edir. Yardım masasının operatoru daxil olan zəngə orta hesabla 0,7 dəqiqəyə cavab verir. Operator məşğuldursa, müştəri "Cavab gözləyin" mesajını alır, sorğu uzunluğu 4 sorğudan çox olmayan növbəyə qoyulur; Yardım masasının işinə qiymət verin və onun yenidən təşkili variantını verin
Rusiya Federasiyasının Təhsil üzrə Federal Agentliyi
FGOU SPO "Perevozsky İnşaat Kolleci"
Kurs işi
“Riyazi üsullar” fənni üzrə
mövzusunda “Məhdud gözləmə vaxtı ilə SMO. Qapalı QS"
Giriş................................................................. ....... ................................................. ............. ....... 2
1. Növbə nəzəriyyəsinin əsasları...................................... ...... ...... 3
1.1 Təsadüfi proses anlayışı........................................... ......... ................... 3
1.2 Markov təsadüfi prosesi................................................. ...................... 4
1.3 Hadisə axını................................................................ ................................................................ ............. 6
1.4 Dövlət ehtimalları üçün Kolmoqorov tənlikləri. Dövlətlərin son ehtimalları................................................. .... ................................................. ............ ........ 9
1.5 Növbə nəzəriyyəsinin problemləri...................................... ....... .. 13
1.6 Növbə sistemlərinin təsnifatı................................................. ..... 15
2. Gözləmə ilə növbə sistemləri...................................... ...... 16
2.1 Gözləmə ilə tək kanallı QS...................................................... ......... ......... 16
2.2 Gözləmə ilə çoxkanallı QS...................................... ......... ......... 25
3. Qapalı QS............................................. ...... ................................................. ... 37
Problemin həlli.............................................. ..................................................... 45
Nəticə................................................................. ................................................................ ...... .50
İstinadlar................................................. ....... ................................................. 51
Bu kursda biz müxtəlif növbə sistemlərinə (QS) və növbə şəbəkələrinə (Queuing) baxacağıq.
Növbə sistemi (QS) sistem resurslarına qoyulan məhdudiyyətlər altında sorğu axınına (xidmət tələblərinə) səmərəli xidmət göstərmək üçün nəzərdə tutulmuş dinamik sistem kimi başa düşülür.
QS modelləri müasir hesablama sistemlərinin ayrı-ayrı alt sistemlərini təsvir etmək üçün əlverişlidir, məsələn, prosessor alt sistemi - əsas yaddaş, giriş-çıxış kanalı və s. Bütövlükdə hesablama sistemi qarşılıqlı əlaqəsi ehtimal olunan bir-biri ilə əlaqəli alt sistemlərin məcmusudur. Hesablama sisteminə daxil olan müəyyən bir problemin həlli üçün ərizə sayma, xarici yaddaş qurğularına və giriş-çıxış cihazlarına daxil olmaq üçün ardıcıl mərhələlərdən keçir. Sayı və müddəti proqramın mürəkkəbliyindən asılı olan belə mərhələlərin müəyyən ardıcıllığını tamamladıqdan sonra sorğuya xidmət edilmiş sayılır və kompüter sistemindən çıxır. Beləliklə, hesablama sistemi bütövlükdə hər biri fərdi cihazın və ya sistemin bir hissəsi olan oxşar qurğular qrupunun işləmə prosesini əks etdirən QS dəsti ilə təmsil oluna bilər.
Bir-biri ilə əlaqəli QS-lər dəsti növbə şəbəkəsi (stokastik şəbəkə) adlanır.
Başlamaq üçün biz QS nəzəriyyəsinin əsaslarına baxacağıq, sonra gözlənti və qapalı QS ilə QS ilə ətraflı məzmunda tanış olmağa davam edəcəyik. Kursa praktiki hissə də daxildir, burada nəzəriyyəni praktikada necə tətbiq edəcəyimizi ətraflı öyrənəcəyik.
Növbə nəzəriyyəsi ehtimal nəzəriyyəsinin qollarından biridir. Bu nəzəriyyə hesab edir ehtimala əsaslanan problemlər və riyazi modellər (bundan əvvəl biz deterministik riyazi modelləri nəzərdən keçirdik). Nəzərinizə çatdıraq ki:
Deterministik riyazi model perspektivdən obyektin (sistemin, prosesin) davranışını əks etdirir tam əminlik indi və gələcəkdə.
Ehtimallı riyazi model obyektin (sistemin, prosesin) davranışına təsadüfi amillərin təsirini nəzərə alır və buna görə də gələcəyi müəyyən hadisələrin baş vermə ehtimalı nöqteyi-nəzərindən qiymətləndirir.
Bunlar. burada, məsələn, oyun nəzəriyyəsində problemlər nəzərdən keçirilir şəraitdə qeyri-müəyyənlik .
Əvvəlcə problemə daxil edilən qeyri-müəyyən amillər təsadüfi dəyişənlər (və ya təsadüfi funksiyalar) olduqda, ehtimal xüsusiyyətləri məlum olan və ya təcrübədən əldə edilə bilən “stokastik qeyri-müəyyənliyi” xarakterizə edən bəzi anlayışları nəzərdən keçirək. Belə qeyri-müəyyənliyə “əlverişli”, “yaxşı” da deyilir.
Düzünü desək, təsadüfi pozuntular istənilən prosesə xasdır. Təsadüfi prosesə nümunələr vermək “təsadüfi olmayan” prosesdən daha asandır. Hətta, məsələn, bir saatın işləmə prosesi (ciddi kalibrlənmiş bir iş kimi görünür - "saat kimi işləyir") təsadüfi dəyişikliklərə məruz qalır (irəli hərəkət, geriləmə, dayanma). Amma nə qədər ki, bu pozulmalar əhəmiyyətsizdir və bizi maraqlandıran parametrlərə az təsir edir, biz onları laqeyd qoyub prosesi deterministik, qeyri-təsadüfi hesab edə bilərik.
Bir sistem olsun S(texniki qurğu, belə qurğular qrupu, texnoloji sistem - maşın, sahə, sex, müəssisə, sənaye və s.). Sistemdə S sızmalar təsadüfi proses, zaman keçdikcə vəziyyətini dəyişirsə (bir vəziyyətdən digərinə keçir), üstəlik, əvvəllər məlum olmayan təsadüfi şəkildə.
Nümunələr:
1. Sistem S– texnoloji sistem (maşın bölməsi). Maşınlar vaxtaşırı xarab olur və təmir olunur. Bu sistemdə baş verən proses təsadüfi xarakter daşıyır.
2. Sistem S- müəyyən bir marşrut üzrə verilmiş yüksəklikdə uçan təyyarə. Narahatedici amillər - hava şəraiti, ekipaj səhvləri və s., nəticələr - kələ-kötürlük, uçuş cədvəlinin pozulması və s.
Sistemdə baş verən təsadüfi proses deyilir Markovski, əgər hər hansı bir an üçün t 0 Gələcəkdə prosesin ehtimal xüsusiyyətləri yalnız onun indiki vəziyyətindən asılıdır t 0 və sistemin bu vəziyyətə nə vaxt və necə çatmasından asılı deyil.
Sistem t 0 anında müəyyən vəziyyətdə olsun S 0 . Biz sistemin indiki vəziyyətinin xüsusiyyətlərini və bu dövrdə baş verən hər şeyi bilirik t <t 0 (proses tarixçəsi). Gələcəyi proqnozlaşdırmaq (proqnozlaşdırmaq) mümkündürmü, yəni. nə vaxt olacaq t >t 0 ? Dəqiq deyil, amma prosesin bəzi ehtimal xüsusiyyətlərini gələcəkdə tapmaq olar. Məsələn, bir müddət sonra sistemin işləmə ehtimalı S bacaracaq S 1 və ya vəziyyətdə qalacaq S 0 və s.
Misal. Sistem S- hava döyüşlərində iştirak edən təyyarələr qrupu. Qoy x- "qırmızı" təyyarələrin sayı, y– “mavi” təyyarələrin sayı. Zamanla t 0 sağ qalan (vurulmuş) təyyarələrin sayı, müvafiq olaraq x 0 , y 0 . Bizi bir anda say üstünlüyünün “qırmızılar”ın tərəfində olacağı ehtimalı maraqlandırır. Bu ehtimal o zaman sistemin hansı vəziyyətdə olmasından asılıdır t 0 və vurulanların nə vaxt və hansı ardıcıllıqla öldüyü ana qədər deyil t 0 təyyarə.
Təcrübədə təmiz formada Markov proseslərinə adətən rast gəlinmir. Amma elə proseslər var ki, onlar üçün “tarixdən əvvəlki” təsiri laqeyd etmək olar. Və bu cür prosesləri öyrənərkən Markov modellərindən istifadə edilə bilər (növbə nəzəriyyəsi Markov növbə sistemlərini nəzərə almır, lakin onları təsvir edən riyazi aparat daha mürəkkəbdir).
Əməliyyatların tədqiqində diskret vəziyyətlərə və fasiləsiz vaxta malik Markov təsadüfi prosesləri böyük əhəmiyyət kəsb edir.
Proses adlanır diskret dövlət prosesi, əgər onun mümkün dövlətləri S 1 , S 2, ... əvvəlcədən müəyyən edilə bilər və sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi "sıçrayışda", demək olar ki, dərhal baş verir.
Proses adlanır davamlı zaman prosesi, əgər vəziyyətdən vəziyyətə mümkün keçid anları əvvəlcədən müəyyən edilməyibsə, qeyri-müəyyən, təsadüfi və hər an baş verə bilərsə.
Misal. Texnoloji sistem (bölmə) S iki maşından ibarətdir, onların hər biri təsadüfi bir anda sıradan çıxa bilər (uğursuzdur), bundan sonra qurğunun təmiri dərhal başlayır, bu da naməlum, təsadüfi vaxt ərzində davam edir. Aşağıdakı sistem vəziyyətləri mümkündür:
S 0 - hər iki maşın işləyir;
S 1 - birinci maşın təmir olunur, ikincisi işləyir;
S 2 - ikinci maşın təmir olunur, birincisi işləyir;
S 3 - hər iki maşın təmir olunur.
Sistem keçidləri S vəziyyətdən vəziyyətə demək olar ki, dərhal, müəyyən bir maşın uğursuz olduqda və ya təmir tamamlandıqda təsadüfi anlarda baş verir.
Diskret vəziyyətlərlə təsadüfi prosesləri təhlil edərkən həndəsi sxemdən istifadə etmək rahatdır - dövlət qrafiki. Qrafikin təpələri sistemin vəziyyətləridir. Qrafikin qövsləri vəziyyətdən vəziyyətə mümkün keçidlərdir. Nümunəmiz üçün vəziyyət qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 1.
düyü. 1. Sistem vəziyyəti qrafiki
Qeyd. Dövlətdən keçid S 0 in SŞəkildə 3 göstərilməyib, çünki maşınların bir-birindən asılı olmayaraq sıradan çıxdığı güman edilir. Hər iki maşının eyni vaxtda sıradan çıxma ehtimalını laqeyd edirik.
Hadisə axını– zamanın bəzi təsadüfi anlarında bir-birinin ardınca gələn homogen hadisələrin ardıcıllığı.
Əvvəlki nümunədə bu, uğursuzluqlar və bərpalar axınıdır. Digər misallar: telefon stansiyasında zəng axını, mağazada müştərilərin axını və s.
Hadisələrin axını vizual olaraq zaman oxundakı bir sıra nöqtələrlə təmsil oluna bilər O t- düyü. 2.
düyü. 2. Hadisələrin zaman oxunda cərəyanının təsviri
Hər bir nöqtənin mövqeyi təsadüfidir və burada axının yalnız bir həyata keçirilməsi təsvir edilmişdir.
Hadisə axınının intensivliyi ( ) zaman vahidi başına hadisələrin orta sayıdır.
Hadisə axınlarının bəzi xassələrinə (növlərinə) baxaq.
Hadisələrin axını deyilir stasionar, əgər onun ehtimal xüsusiyyətləri zamandan asılı deyilsə.
Xüsusilə, stasionar axının intensivliyi sabitdir. Hadisələrin axınında istər-istəməz kondensasiya və ya seyrəkləşmələr olur, lakin onlar müntəzəm xarakter daşımır və zaman vahidinə düşən hadisələrin orta sayı sabitdir və zamandan asılı deyildir.
Hadisələrin axını deyilir nəticəsiz axır, əgər hər hansı iki üst-üstə düşməyən zaman bölməsi üçün və (şək. 2-ə bax) onlardan birinə düşən hadisələrin sayı digərinə nə qədər hadisə düşməsindən asılı deyilsə. Başqa sözlə desək, bu, axını meydana gətirən hadisələrin müəyyən zaman nöqtələrində meydana çıxması deməkdir bir-birindən asılı olmayaraq və hər biri öz səbəblərindən qaynaqlanır.
Hadisələrin axını deyilir adi, hadisələr bir anda bir neçə qrup halında deyil, bir-bir görünsə.
Hadisələrin axını deyilir ən sadə (və ya stasionar Puasson), eyni anda üç xassə varsa:
1) stasionar;
2) adi;
3) heç bir nəticəsi yoxdur.
Ən sadə axın ən sadə riyazi təsvirə malikdir. Normal paylanma qanununun digər paylanma qanunları arasında olduğu kimi axınlar arasında da xüsusi rol oynayır. Məhz, kifayət qədər çox sayda müstəqil, stasionar və adi axınları (intensivlik baxımından bir-biri ilə müqayisə edilə bilən) üst-üstə qoyarkən ən sadəinə yaxın bir axın əldə edilir.
İntensivlik intervalı ilə ən sadə axın üçün T Qonşu hadisələr arasında sözdə var eksponensial paylanma sıxlığı ilə:
eksponensial qanunun parametri haradadır.
Təsadüfi dəyişən üçün T eksponensial paylanmaya malik olan riyazi gözlənti parametrin əksidir və standart kənarlaşma riyazi gözləntiyə bərabərdir:
Diskret hallara və fasiləsiz zamana malik Markov proseslərini nəzərə alaraq, sistemin bütün keçidlərinin S vəziyyətdən vəziyyətə sadə hadisə axınlarının (çağırış axınları, uğursuzluq axınları, bərpa axınları və s.) təsiri altında baş verir. Bütün hadisə axını sistemə köçürsə S Vəziyyətdən vəziyyətə ən sadə, sonra sistemdə meydana gələn proses Markovian olacaq.
Deməli, vəziyyətdə olan bir sistem hadisələrin sadə axınından təsirlənir. Bu axının ilk hadisəsi görünən kimi sistem bir vəziyyətdən vəziyyətə "atılır" (ox boyunca dövlət qrafikində).
Aydınlıq üçün sistemin vəziyyəti qrafikində hər bir qövs üçün sistemi bu qövs (ox) boyunca hərəkət etdirən hadisələrin axınının intensivliyi göstərilir. - sistemi vəziyyətdən vəziyyətə keçirən hadisələrin axınının intensivliyi. Belə bir qrafik deyilir işarələnmişdir. Nümunəmiz üçün etiketli qrafik Şek. 3.
düyü. 3. İşarəli sistem vəziyyəti qrafiki
Bu rəqəmdə - uğursuzluq axınının intensivliyi; - bərpa axınının intensivliyi.
Biz hesab edirik ki, bir maşının təmiri üçün orta vaxt bir maşının və ya hər ikisinin eyni vaxtda təmir olunmasından asılı deyil. Bunlar. Hər bir maşın ayrıca mütəxəssis tərəfindən təmir olunur.
Qoy sistem dövlətdə olsun S 0 . Vəziyyətdə S 1 ilk maşının uğursuzluq axını ilə tərcümə olunur. Onun intensivliyi bərabərdir:
birinci maşının orta nasazlıqsız işləmə müddəti haradadır.
Dövlətdən S 1 in S 0 sistem ilk maşının "təmir tamamlamaları" axını ilə ötürülür. Onun intensivliyi bərabərdir:
birinci maşın üçün orta təmir müddəti haradadır.
Qrafikin bütün qövsləri boyunca sistemi köçürən hadisə axınlarının intensivliyi oxşar şəkildə hesablanır. Sistem vəziyyətlərinin etiketli qrafikini ixtiyarımızda saxlayaraq qururuq riyazi model bu prosesin.
Nəzərə alınan sistemə icazə verin S-mümkün vəziyyətlərə malikdir. Vəziyyətin ehtimalı zaman anında sistemin vəziyyətdə olması ehtimalıdır. Aydındır ki, istənilən an üçün bütün vəziyyət ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:
Zamanın funksiyaları kimi halların bütün ehtimallarını tapmaq, tərtib etmək və həll etmək Kolmoqorov tənlikləri– naməlum funksiyaların vəziyyətlərin ehtimalları olduğu xüsusi bir tənlik növü. Bu tənliklərin qurulması qaydası burada sübut olmadan təqdim olunur. Ancaq onu təqdim etməzdən əvvəl konsepsiyanı izah edək vəziyyətin son ehtimalı .
Dövlətin ehtimalları nə olacaq? Onlar hər hansı bir məhdudiyyət üçün səy göstərəcəklərmi? Əgər bu məhdudiyyətlər mövcuddursa və sistemin ilkin vəziyyətindən asılı deyilsə, o zaman çağırılır son vəziyyət ehtimalları .
sistem hallarının sonlu sayı haradadır.
Yekun vəziyyət ehtimalları– bunlar artıq dəyişən kəmiyyətlər (zamanın funksiyaları) deyil, sabit ədədlərdir. Aydındır ki:
Yekun vəziyyət ehtimalı mahiyyətcə sistemin bu vəziyyətdə qaldığı orta nisbi vaxtdır.
Məsələn, sistem Süç dövlətə malikdir S 1 , S 2 və S 3. Onların yekun ehtimalları müvafiq olaraq 0,2-dir; 0,3 və 0,5. Bu o deməkdir ki, məhdudlaşdırıcı stasionar vəziyyətdə olan sistem öz vaxtının orta hesabla 2/10 hissəsini dövlətdə keçirir S 1, 3/10 – bacarır S 2 və 5/10 - bacarır S 3 .
Kolmoqorov tənliklər sisteminin tərtibi qaydası: sistemin hər bir tənliyində sol tərəfdə verilmiş vəziyyətin son ehtimalı bütün axınların ümumi intensivliyinə vurulur, bu dövlətdən irəli gəlir, A onun sağında hissələri- bütün axınların intensivliklərinin məhsullarının cəmi, daxil -ci dövlət, bu axınların gəldiyi dövlətlərin ehtimalları haqqında.
Bu qaydadan istifadə edərək tənliklər sistemini yazırıq nümunəmiz üçün :
.
Dörd naməlum olan dörd tənlik sistemi, deyəsən, tamamilə həll edilə bilər. Lakin bu tənliklər homojendir (sərbəst termini yoxdur) və buna görə də naməlumları yalnız ixtiyari faktora qədər təyin edirlər. Bununla belə, normallaşdırma şərtindən istifadə edə bilərsiniz: 
və sistemi həll etmək üçün istifadə edin. Bu halda, tənliklərdən biri (hər hansı) ləğv edilə bilər (digərlərinin nəticəsi kimi).
Nümunənin davamı. Axın intensivlikləri bərabər olsun: .
Dördüncü tənliyi ləğv edirik və yerinə normallaşdırma şərti əlavə edirik:
.
Bunlar. məhdudlaşdırıcı, stasionar rejimdə sistem S zamanın orta hesabla 40%-i bir vəziyyətdə keçəcək S 0 (hər iki maşın işləkdir), 20% - yaxşı vəziyyətdədir S 1 (birinci maşın təmirdədir, ikinci işləyir), 27% - vəziyyətdədir S 2 (ikinci maşın təmirdədir, birinci işləyir), 13% - vəziyyətdədir S 3 (hər iki maşın təmirdədir). Bu son ehtimalları bilmək sistemin orta səmərəliliyini və təmir orqanlarının iş yükünü qiymətləndirməyə kömək edə bilər.
Sistem olsun S bacarır S 0 (tam işlək) vaxt vahidi başına 8 şərti vahid gəlir gətirir, bacarır S 1 – gəlir 3 şərti vahid, bacarır S 2 – gəlir 5 şərti vahid, bacarır S 3 – gəlir gətirmir. Sonra məhdudlaşdırıcı, stasionar rejimdə vaxt vahidinə düşən orta gəlir bərabər olacaq: şərti vahidlər.
Maşın 1-ə bərabər vaxtın bir hissəsində təmir edilir: . Maşın 2 bərabər vaxtın bir hissəsində təmir edilir: . Oyanır optimallaşdırma problemi. Birinci və ya ikinci maşının (və ya hər ikisinin) orta təmir müddətini azalda bilsək də, bu, bizə müəyyən məbləğə başa gələcək. Sual olunur, daha sürətli təmirlə bağlı artan gəlir artan təmir xərclərini ödəyəcəkmi? Dörd naməlum olan dörd tənlik sistemini həll etməli olacaqsınız.
Növbə sistemlərinə (QS) nümunələr: telefon stansiyaları, təmir sexləri, bilet kassaları, məlumat masaları, dəzgahlar və digər texnoloji sistemlər, çevik istehsal sistemlərinin idarəetmə sistemləri və s.
Hər bir QS müəyyən sayda xidmət bölməsindən ibarətdir və onlar çağırılır xidmət kanalları(bunlar maşınlar, nəqliyyat arabaları, robotlar, rabitə xətləri, kassirlər, satıcılar və s.). Hər QS bir növ xidmət üçün nəzərdə tutulmuşdur tətbiqlərin axını(tələblər) zamanın bəzi təsadüfi anlarında gəlməsi.
Sorğunun xidməti bir müddət, ümumiyyətlə, təsadüfi vaxt ərzində davam edir, bundan sonra kanal sərbəst buraxılır və növbəti sorğunu qəbul etməyə hazırdır. Tətbiq axınının və xidmət müddətinin təsadüfi təbiəti ona gətirib çıxarır ki, bəzi dövrlərdə QS-nin girişində həddindən artıq çox sayda ərizə toplanır (onlar ya növbəyə dururlar, ya da QS-ni xidmətsiz qoyurlar). Digər dövrlərdə sistem az yüklə işləyəcək və ya tamamilə boş vəziyyətdə olacaq.
QS əməliyyat prosesi diskret vəziyyətlərə və davamlı vaxta malik təsadüfi bir prosesdir. QS-nin vəziyyəti müəyyən hadisələr baş verdikdə (yeni tətbiqin gəlməsi, xidmətin başa çatması, gözləməkdən yorulan tətbiqin növbəni tərk etdiyi an) kəskin şəkildə dəyişir.
Növbə nəzəriyyəsinin mövzusu– QS-nin verilmiş iş şəraitini (kanalların sayı, onların məhsuldarlığı, işləmə qaydaları, sorğu axınının xarakteri) bizi maraqlandıran xüsusiyyətlərlə birləşdirən riyazi modellərin qurulması - QS-nin effektivliyinin göstəriciləri. Bu göstəricilər CMO-nun ərizə axınının öhdəsindən gəlmək qabiliyyətini təsvir edir. Onlar aşağıdakılar ola bilər: vaxt vahidi üçün QS tərəfindən xidmət edilən proqramların orta sayı; məşğul kanalların orta sayı; növbədə olan müraciətlərin orta sayı; xidmət üçün orta gözləmə müddəti və s.
QS-nin işinin riyazi təhlili, bu işin prosesi Markovian olarsa, çox asanlaşdırılır, yəni. sistemi ştatdan ştata köçürən hadisələr axınları ən sadədir. Əks halda, prosesin riyazi təsviri çox mürəkkəbləşir və onu xüsusi analitik asılılıqlara çatdırmaq nadir hallarda mümkün olur. Praktikada qeyri-Markov prosesləri yaxınlaşma ilə Markov proseslərinə endirilir. Aşağıdakı riyazi aparat Markov proseslərini təsvir edir.
Birinci bölmə (növbələrin mövcudluğuna görə):
1. Uğursuzluqlarla QS;
2. Növbə ilə növbə.
QS-də uğursuzluqlarla bütün kanalların məşğul olduğu bir vaxtda alınan ərizə rədd edilir, QS-dən çıxır və gələcəkdə xidmət göstərilmir.
Növbə ilə SMO-da bütün kanalların məşğul olduğu bir vaxtda gələn proqram çıxmır, növbəyə girir və xidmət göstərilməsini gözləyir.
Növbələri olan QS bölünür növbənin necə təşkil olunduğundan asılı olaraq müxtəlif növlərə - məhdud və ya qeyri-məhdud. Məhdudiyyətlər həm növbənin uzunluğuna, həm də gözləmə müddətinə, “xidmət intizamına” aid ola bilər.
Beləliklə, məsələn, aşağıdakı QS-lər nəzərə alınır:
· Səbirsiz tələblərlə CMO (növbə uzunluğu və xidmət müddəti məhduddur);
· Prioritet xidməti ilə QS, yəni. bəzi müraciətlər növbəsiz işlənir və s.
Bundan əlavə, QS-lər açıq QS-lərə və qapalı QS-lərə bölünür.
Açıq QS-də sorğu axınının xüsusiyyətləri QS-nin özünün vəziyyətindən (neçə kanalın tutulmasından) asılı deyil. Qapalı QS-də- asılı. Məsələn, bir işçi vaxtaşırı tənzimləmə tələb edən maşınlar qrupuna xidmət göstərirsə, o zaman maşınlardan “tələblərin” axınının intensivliyi onların neçəsinin artıq işlək olmasından və düzəlişi gözləyənlərdən asılıdır.
SMO-nun təsnifatı yuxarıda göstərilən növlərlə məhdudlaşmaqdan uzaqdır, lakin bu kifayətdir.
Gözləmə ilə ən sadə QS-ni nəzərdən keçirək - intensivliklə sorğu axını qəbul edən bir kanallı sistem (n - 1); xidmət intensivliyi (yəni, orta hesabla, fasiləsiz məşğul olan kanal vahid (vaxt) başına xidmət edilən sorğular verəcəkdir. Kanalın məşğul olduğu bir vaxtda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir.
Məhdud növbə uzunluğuna malik sistem. Əvvəlcə fərz edək ki, növbədəki yerlərin sayı m sayı ilə məhdudlaşır, yəni. proqram artıq növbədə m-proqramların olduğu bir vaxtda gəlirsə, o, sistemi xidmətsiz qoyur. Gələcəkdə m-i sonsuzluğa yönəltməklə növbə uzunluğuna məhdudiyyət qoymadan birkanallı QS-nin xüsusiyyətlərini əldə edəcəyik.
QS vəziyyətlərini sistemdəki tətbiqlərin sayına görə nömrələyəcəyik (həm xidmət göstərilir, həm də xidmət gözləyir):
Kanal pulsuzdur;
Kanal məşğuldur, növbə yoxdur;
Kanal məşğuldur, bir sorğu növbədədir;
Kanal məşğuldur, k-1 proqramları növbədədir;
Kanal məşğuldur, müraciətlər növbədədir.
GSP Şəkildə göstərilmişdir. 4. Soldan sağa oxlar boyunca sistemə daxil olan hadisə axınlarının bütün intensivliyi --ə, sağdan sola - bərabərdir. Həqiqətən, sorğu axını sistemi oxlar boyunca soldan sağa (sorğu gələn kimi sistem növbəti vəziyyətə keçir), sağdan sola - məşğul kanalın "buraxılışları" axını keçirir. intensivliyə malikdir (növbəti sorğuya xidmət edilən kimi kanal ya azad olacaq, ya da növbədəki proqramların sayını azaldacaq).
düyü. 4. Gözləmə ilə tək kanallı QS
Şəkildə göstərilmişdir. 4 diaqram çoxalma və ölüm diaqramıdır. Vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ifadələr yazaq:
(5)
və ya istifadə edərək::
(6)
(6)-nın sonuncu sətirində birinci hədd 1 və məxrəc p ilə həndəsi irəliləyiş var, ondan əldə edirik:
(7)
bununla əlaqədar olaraq məhdudlaşdırıcı ehtimallar aşağıdakı formanı alır:
(8).
İfadə (7) yalnız üçün etibarlıdır< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
QS-nin xüsusiyyətlərini müəyyən edək: uğursuzluq ehtimalı, nisbi ötürmə qabiliyyəti q, mütləq ötürmə qabiliyyəti A, növbənin orta uzunluğu, sistemlə əlaqəli tətbiqlərin orta sayı, növbədə orta gözləmə müddəti, QS-də tətbiqin sərf etdiyi orta vaxt .
Uğursuzluq ehtimalı. Aydındır ki, ərizə yalnız kanal məşğul olduqda və növbədə olan bütün t yerləri də məşğul olduqda rədd edilir:
(9).
Nisbi bant genişliyi:
(10).
Orta növbə uzunluğu. Növbədəki tətbiqlərin orta sayını diskret təsadüfi dəyişənin R-nin riyazi gözləntisi kimi tapaq, növbədəki tətbiqlərin sayı:
Ehtimalla növbədə bir proqram var, ehtimalla iki proqram var, ümumiyyətlə, ehtimalla növbədə k-1 tətbiqləri var və s., bunlardan:
(11).
Çünki (11)-dəki cəmi həndəsi irəliləmənin cəminin törəməsi kimi şərh edilə bilər:
Bu ifadəni (11) ilə əvəz edərək və (8)-dən istifadə edərək nəhayət əldə edirik:
(12).
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı. Sonra, sistemlə əlaqəli (həm növbədə duran, həm də xidmət göstərən) sorğuların orta sayı üçün düstur alırıq. Xidmətdə olan tətbiqlərin orta sayı haradadır və k məlum olduğundan, müəyyən etmək qalır. Yalnız bir kanal olduğundan, xidmət edilən sorğuların sayı 0 (ehtimalla ) və ya 1 (ehtimal 1 - ) ola bilər, bunlardan:
.
və QS ilə əlaqəli tətbiqlərin orta sayı:
(13).
Növbədə olan proqram üçün orta gözləmə müddəti. Onu işarə edək; sistemə müəyyən bir zamanda sorğu daxil olarsa, o zaman xidmət kanalı çox güman ki, məşğul olmayacaq və növbədə gözləməli olmayacaq (gözləmə müddəti sıfırdır). Çox güman ki, o, hansısa sorğu yerinə yetirilərkən sistemə daxil olacaq, lakin onun qarşısında növbə olmayacaq və sorğu müəyyən müddət ərzində xidmət göstərilməsinin başlanmasını gözləyəcək (bir xidmətin orta müddəti sorğu). Ehtimal var ki, müraciətə baxılana qədər növbədə başqa müraciət olacaq və orta gözləmə müddəti , və s.-ə bərabər olacaq.
Əgər k=m+1 olarsa, yəni. yeni gələn sorğu xidmət kanalını məşğul tapdıqda və növbədə m-sorğular olduqda (bunun ehtimalı), bu halda sorğu növbəyə durmur (və xidmət göstərilmir), ona görə də gözləmə müddəti sıfırdır. Orta gözləmə müddəti:
burada ehtimalları (8) ifadələrini əvəz etsək, alarıq:
(14).
Burada (11), (12) (həndəsi irəliləyişin törəməsi), həmçinin (8) əlaqələrindən istifadə edirik. Bu ifadəni (12) ilə müqayisə edərək qeyd edirik ki, başqa sözlə desək, orta gözləmə müddəti növbədəki müraciətlərin orta sayının ərizə axınının intensivliyinə bölünməsinə bərabərdir.
(15).
Tətbiqin sistemdə qalma müddəti. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini sorğunun QS-də qalma müddəti kimi işarə edək ki, bu da növbədə orta gözləmə vaxtı ilə orta xidmət vaxtının cəmidir. Sistem yükü 100% olarsa, əks halda:
.
Misal 1. Yanacaqdoldurma məntəqəsi (yanacaqdoldurma məntəqəsi) bir xidmət kanalı (bir nasos) olan xidmət stansiyasıdır.
Stansiyadakı sahə eyni vaxtda üçdən çox olmayan avtomobilin yanacaq doldurmaq üçün növbəyə çıxmasına imkan verir (m = 3). Əgər növbədə artıq üç maşın varsa, stansiyaya gələn növbəti avtomobil növbəyə qoşulmur. Yanacaq doldurmaq üçün gələn avtomobillərin axınının intensivliyi = 1 (dəqiqədə avtomobil). Yanacaq doldurma prosesi orta hesabla 1,25 dəqiqə davam edir.
Müəyyən edin:
uğursuzluq ehtimalı;
yanacaqdoldurma məntəqələrinin nisbi və mütləq tutumu;
yanacaq doldurmağı gözləyən avtomobillərin orta sayı;
yanacaqdoldurma məntəqəsindəki avtomobillərin orta sayı (xidmət göstərilənlər də daxil olmaqla);
növbədə bir avtomobil üçün orta gözləmə müddəti;
avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində keçirdiyi orta vaxt (xidmət daxil olmaqla).
Başqa sözlə, orta gözləmə müddəti növbədəki müraciətlərin orta sayının ərizə axınının intensivliyinə bölünməsinə bərabərdir.
Əvvəlcə tətbiqlər axınının azaldılmış intensivliyini tapırıq: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Düsturlara (8) görə:
Uğursuzluq ehtimalı 0,297-dir.
QS-nin nisbi tutumu: q=1-=0,703.
QS-nin mütləq ötürmə qabiliyyəti: A==0,703 maşın/dəqiqə.
Formula (12) istifadə edərək növbədəki avtomobillərin orta sayını tapırıq:
olanlar. Yanacaqdoldurma məntəqəsini doldurmaq üçün növbə gözləyən avtomobillərin orta sayı 1,56-dır.
Bu dəyərə xidmətdə olan avtomobillərin orta sayını əlavə etməklə:
yanacaqdoldurma məntəqəsi ilə əlaqəli avtomobillərin orta sayını alırıq.
Formula (15) uyğun olaraq növbədə olan avtomobilin orta gözləmə müddəti:
Bu dəyərə əlavə edərək, bir avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində keçirdiyi orta vaxtı alırıq:
Limitsiz gözləmə ilə sistemlər. Belə sistemlərdə m-in qiyməti məhdudlaşdırılmır və buna görə də əvvəllər alınmış ifadələrdə (5), (6) və s.-də həddinə keçməklə əsas xarakteristikaları əldə etmək olar.
Qeyd edək ki, sonuncu (6) düsturunda məxrəc həndəsi irəliləmənin sonsuz sayda hədlərinin cəmidir. Bu cəm irəliləyiş sonsuz azaldıqda yaxınlaşır, yəni. saat<1.
Bunu sübut etmək olar<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Əgər, onda münasibətlər (8) formasını alır:
(16).
Növbənin uzunluğu ilə bağlı heç bir məhdudiyyət yoxdursa, sistemə daxil olan hər bir tətbiqə xidmət göstəriləcək, buna görə də q=1, 
.
Növbədəki müraciətlərin orta sayını (12) aşağıdakı ünvandan əldə edirik:
Formula (13) uyğun olaraq sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
.
Orta gözləmə müddəti (14) düsturundan əldə edilir:
.
Nəhayət, tətbiqin QS-də qaldığı orta vaxt:
Məhdud növbə uzunluğuna malik sistem. Intensivliklə sorğu axını qəbul edən gözləməli QS kanalını nəzərdən keçirək; xidmət intensivliyi (bir kanal üçün); növbədəki yerlərin sayı.
Sistem vəziyyətləri sistemlə əlaqəli sorğuların sayına görə nömrələnir:
növbə yoxdur:
Bütün kanallar pulsuzdur;
Bir kanal işğal olunub, qalanları pulsuzdur;
-kanallar işğal olunub, qalanları yoxdur;
Bütün kanallar işğal olunub, pulsuz kanallar yoxdur;
növbə var:
Bütün n-kanallar işğal olunub; bir tətbiq növbədədir;
Növbədəki bütün n-kanallar, r-sorğular işğal olunub;
Növbədəki bütün n-kanallar, r-sorğular işğal olunub.
GSP Şəkildə göstərilmişdir. 17. Hər bir ox hadisə axınının müvafiq intensivliyi ilə qeyd olunur. Soldan sağa oxlar boyunca sistem həmişə intensivliyi ilə eyni sorğu axını ilə ötürülür.
düyü. 17. Gözləmə ilə çox kanallı QS
Qrafik, həlli əvvəllər əldə edilmiş çoxalma və ölüm prosesləri üçün xarakterikdir. Qeydlərdən istifadə edərək vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ifadələr yazaq: (burada məxrəcli həndəsi irəliləyişin cəmi ifadəsindən istifadə edirik).
Beləliklə, bütün dövlət ehtimalları tapıldı.
Sistemin səmərəliliyinin xüsusiyyətlərini müəyyən edək.
Uğursuzluq ehtimalı. Növbədəki bütün n-kanallar və bütün m-yerlər tutularsa, gələn sorğu rədd edilir:
(18)
Nisbi məhsuldarlıq uğursuzluq ehtimalını birinə tamamlayır:
QS-nin mütləq ötürmə qabiliyyəti:
(19)
Məşğul kanalların orta sayı. İmtina edilən QS üçün bu, sistemdəki müraciətlərin orta sayı ilə üst-üstə düşdü. Növbəsi olan QS üçün məşğul kanalların orta sayı sistemdəki tətbiqlərin orta sayı ilə üst-üstə düşmür: sonuncu dəyər birincidən növbədəki tətbiqlərin orta sayı ilə fərqlənir.
İşğal olunmuş kanalların orta sayını ilə işarə edək. Hər bir məşğul kanal vaxt vahidi üçün orta hesabla A-iddialarına xidmət edir və bütövlükdə QS zaman vahidi üçün orta A-iddialarına xidmət edir. Birini digərinə bölərək əldə edirik:
Növbədəki sorğuların orta sayı birbaşa diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi hesablana bilər:
(20)
Burada yenə də (mötərizədə ifadə) həndəsi irəliləmənin cəminin törəməsi baş verir (yuxarıya bax (11), (12) - (14)), bunun üçün əlaqədən istifadə edərək əldə edirik:
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
Növbədə olan proqram üçün orta gözləmə müddəti. Yeni gələn sorğunun sistemi tapacağı və xidmət üçün nə qədər gözləməli olacağı vəziyyətində fərqlənən bir sıra vəziyyətləri nəzərdən keçirək.
Əgər sorğu bütün kanalları məşğul tapmasa, o, ümumiyyətlə gözləməli olmayacaq (riyazi gözləntidə müvafiq şərtlər sıfıra bərabərdir). Əgər sorğu bütün n-kanalların məşğul olduğu və növbə olmadığı bir vaxtda daxil olarsa, o, orta hesabla bərabər vaxt gözləməli olacaq (çünki -kanalların “buraxılış axını” nın intensivliyinə malikdir). Əgər sorğu bütün kanalların məşğul olduğunu və onun qarşısında bir sorğunun növbədə olduğunu aşkar edərsə, o, orta hesabla müəyyən bir müddət (qabaqdakı hər sorğu üçün) və s. gözləməli olacaq. Əgər sorğu özünü növbədə taparsa - istəkləri üçün orta hesabla vaxt gözləmək məcburiyyətində qalacaq Əgər yeni gələn sorğu artıq növbədə olan m-sorğu tapırsa, o, heç gözləməyəcək (lakin təqdim edilməyəcək). Bu dəyərlərin hər birini müvafiq ehtimallara vuraraq orta gözləmə müddətini tapırıq:
(21)
Gözləmə ilə bir kanallı QS vəziyyətində olduğu kimi, qeyd edirik ki, bu ifadə orta növbə uzunluğu (20) üçün ifadədən yalnız faktorla fərqlənir, yəni.
.
Sistemdə sorğunun, eləcə də təkkanallı QS üçün orta qalma müddəti orta gözləmə müddətindən nisbi ötürmə qabiliyyətinə vurulan orta xidmət müddətinə görə fərqlənir:
.
Limitsiz növbə uzunluğuna malik sistemlər. Gözləməli QS kanalını nəzərdən keçirdik ki, eyni zamanda m-dən çox sorğu ola bilməz.
Əvvəllər olduğu kimi, məhdudiyyətsiz sistemləri təhlil edərkən, üçün əldə edilən əlaqələri nəzərə almaq lazımdır.
Düsturlardan həddi keçməklə vəziyyətlərin ehtimallarını alırıq ( at ). Qeyd edək ki, müvafiq həndəsi irəliləyişin cəmi >1-də yaxınlaşır və uzaqlaşır. Bunu fərz etsək<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Uğursuzluq ehtimalı, nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyəti. Hər bir sorğuya gec-tez xidmət göstəriləcəyi üçün QS ötürmə qabiliyyətinin xüsusiyyətləri belə olacaq:
Növbədəki müraciətlərin orta sayı (20) əldə edilir:
,
və orta gözləmə müddəti (21):
.
İşğal olunmuş kanalların orta sayı, əvvəlki kimi, mütləq ötürmə qabiliyyəti ilə müəyyən edilir:
.
QS ilə əlaqəli tətbiqlərin orta sayı növbədəki tətbiqlərin orta sayı və xidmətdə olan proqramların orta sayı (məşğul kanalların orta sayı) kimi müəyyən edilir:
Misal 2. İki nasoslu (n = 2) yanacaqdoldurma məntəqəsi =0,8 (dəqiqədə avtomobil) intensivliyi olan avtomobil axınına xidmət edir. Bir maşın üçün orta xidmət müddəti:
Ərazidə başqa yanacaqdoldurma məntəqəsi olmadığı üçün yanacaqdoldurma məntəqəsinin qarşısındakı avtomobillərin sırası demək olar ki, qeyri-məhdud şəkildə böyüyə bilər. QS-nin xüsusiyyətlərini tapın.
Çünki<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
və s.
QS A = = 0,8-in mütləq tutumunu xidmət intensivliyinə = 0,5 bölməklə məşğul kanalların orta sayını tapacağıq:
Yanacaqdoldurma məntəqəsində növbə olma ehtimalı:
Növbədə olan avtomobillərin orta sayı:
Yanacaqdoldurma məntəqələrində avtomobillərin orta sayı:
Növbədə orta gözləmə müddəti:
Bir avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində keçirdiyi orta vaxt:
Məhdud gözləmə vaxtı ilə QS. Əvvəllər biz gözləmə sistemlərini yalnız növbə uzunluğu ilə (növbədə eyni vaxtda m-sorğuların sayı) məhdudlaşdıran hesab edirdik. Belə bir QS-də növbədə böyüyən proqram xidmət gözləyincəyə qədər onu tərk etmir. Təcrübədə QS-nin digər növləri də mövcuddur ki, burada tətbiq bir müddət gözlədikdən sonra növbəni tərk edə bilər (“səbirsiz” tətbiqlər adlanır).
Gözləmə vaxtı məhdudiyyətinin təsadüfi dəyişən olduğunu fərz edərək, bu tip QS-ni nəzərdən keçirək.
Fərz edək ki, növbədəki yerlərin sayı qeyri-məhdud olan n-kanal gözləyən QS var, lakin sorğunun növbədə qalma müddəti orta dəyəri olan bəzi təsadüfi dəyişəndir, beləliklə, növbədəki hər sorğu intensivliklə bir növ Puasson "qayğı axınına" məruz qalır:
Əgər bu axın Puassondursa, QS-də baş verən proses Markovian olacaqdır. Bunun üçün dövlət ehtimallarını tapaq. Sistem vəziyyətlərinin nömrələnməsi sistemdəki tətbiqlərin sayı ilə əlaqələndirilir - həm xidmət edilən, həm də növbədə olan:
növbə yoxdur:
Bütün kanallar pulsuzdur;
Bir kanal məşğuldur;
İki kanal məşğuldur;
Bütün n-kanallar işğal olunub;
növbə var:
Bütün n-kanallar işğal olunub, bir sorğu növbədədir;
Bütün n-kanallar işğal olunub, r-sorğular növbədədir və s.
Sistemin vəziyyətlərinin və keçidlərinin qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 23.
düyü. 23. Məhdud gözləmə vaxtı ilə QS
Bu qrafiki əvvəlki kimi qeyd edək; soldan sağa gedən bütün oxlar proqram axınının intensivliyini göstərəcək. Növbəsi olmayan dövlətlər üçün onlardan sağdan sola gedən oxlar, əvvəlki kimi, bütün işğal olunmuş kanallara xidmət edən axının ümumi intensivliyini göstərəcək. Növbəli dövlətlərə gəldikdə, onlardan sağdan sola gedən oxlar bütün n-kanalların xidmət axınının ümumi intensivliyinə və növbədən gediş axınının müvafiq intensivliyinə malik olacaqdır. Növbədə r-tətbiqlər varsa, o zaman gediş axınının ümumi intensivliyi bərabər olacaq.
Qrafikdən göründüyü kimi, çoxalma və ölüm nümunəsi var; bu sxemdəki vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ümumi ifadələrdən istifadə edərək (qısaldılmış qeydlərdən istifadə edərək yazırıq:
(24)
“Xəstə” sorğuları ilə əvvəllər nəzərdən keçirilmiş QS ilə müqayisədə məhdud gözləmə ilə QS-nin bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.
Növbənin uzunluğu məhdud deyilsə və sorğular "səbirlidir"sə (növbədən çıxmayın), onda stasionar limit rejimi yalnız bu halda mövcuddur (müvafiq sonsuz həndəsi irəliləyişdə fiziki olaraq qeyri-məhdud böyüməyə uyğundur). növbədən).
Əksinə, “səbirsiz” sorğuların gec-tez növbəsini tərk etdiyi QS-də sorğu axınının intensivliyinin azaldılmasından asılı olmayaraq, müəyyən edilmiş xidmət rejimi həmişə əldə edilir. Bu, (24) düsturunun məxrəcindəki for seriyasının və hər hansı müsbət qiymətləri üçün yaxınlaşmasından irəli gəlir.
"Səbirsiz" istəkləri olan QS üçün "uğursuzluq ehtimalı" anlayışı mənasızdır - hər bir sorğu sıraya girir, lakin vaxtından əvvəl ayrılaraq xidməti gözləməyə bilər.
Nisbi ötürmə qabiliyyəti, növbədəki sorğuların orta sayı. Belə QS-nin nisbi tutumu q aşağıdakı kimi hesablana bilər. Aydındır ki, növbədən vaxtından əvvəl çıxanlar istisna olmaqla, bütün müraciətlərə xidmət göstəriləcək. Növbədən erkən çıxan ərizələrin orta sayını hesablayaq. Bunu etmək üçün növbədəki tətbiqlərin orta sayını hesablayırıq:
Bu proqramların hər biri intensivliyi ilə “gediş axınına” məruz qalır. Bu o deməkdir ki, növbədə olan -müraciətlərin orta sayından orta hesabla -müraciətlər xidmət gözləmədən yola düşəcək, -vahid vaxta və cəmi vaxt vahidinə, orta hesabla -müraciətlərə xidmət göstəriləcək. QS-nin nisbi tutumu:
Mütləq bant genişliyini A-ya bölməklə hələ də işğal olunmuş kanalların orta sayını əldə edirik:
(26)
Növbədə olan ərizələrin orta sayı. Münasibət (26) sonsuz seriyanı (25) cəmləmədən növbədəki tətbiqlərin orta sayını hesablamağa imkan verir. (26)-dan əldə edirik:
və bu düstura daxil edilmiş işğal olunmuş kanalların orta sayını ehtimallarla 0, 1, 2,..., n dəyərlərini alaraq Z təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi tapmaq olar:
Sonda qeyd edirik ki, düsturlarda (24) həddi aşsaq (və ya eynidir, ) onda düsturlar (22) alınacaq, yəni "səbirsiz" tətbiqlər "səbirli" olacaq.
İndiyə qədər daxil olan axının çıxan axını ilə heç bir şəkildə əlaqəli olmadığı sistemləri nəzərdən keçirdik. Belə sistemlərə açıq dövrə deyilir. Bəzi hallarda, xidmət göstərilən sorğular gecikmədən sonra yenidən girişdə qəbul edilir. Belə QS-lər qapalı adlanır. Müəyyən bir ərazidə xidmət göstərən klinika, bir qrup maşına təyin edilmiş işçilər qrupu qapalı sistemlərə misaldır.
Qapalı QS-də eyni məhdud sayda potensial tələblər dövr edir. Potensial tələb xidmət sorğusu kimi reallaşdırılana qədər o, gecikmə blokunda hesab olunur. Həyata keçirildiyi anda sistemin özünə daxil olur. Məsələn, işçilər bir qrup maşına qulluq edirlər. Hər bir maşın potensial tələbdir və qəza anında real birinə çevrilir. Maşın işləyərkən gecikmə blokunda, xarab olduğu andan təmir bitənə qədər isə sistemin özündədir. Hər bir işçi bir xidmət kanalıdır.
Qoy n- xidmət kanallarının sayı, s- potensial tətbiqlərin sayı, n <s , - hər bir potensial tələb üçün ərizə axınının intensivliyi, μ - xidmətin intensivliyi:
Sistemin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir
R
0
= 
.
Sistem vəziyyətlərinin son ehtimalları:
Pk= at k
İşğal olunmuş kanalların orta sayı bu ehtimallar vasitəsilə ifadə edilir
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) və ya
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-S n-1 ).
Bundan istifadə edərək sistemin mütləq ötürmə qabiliyyətini tapırıq:
eləcə də sistemdəki tətbiqlərin orta sayı
M=s- =s-.
Misal 1. Uğursuzluqları olan üç kanallı QS-nin girişi intensivliklə sorğu axını alır. =dəqiqədə 4 sorğu, bir kanal tərəfindən sorğuya xidmət vaxtı t obs =1/μ =0,5 dəq. QS tutumu nöqteyi-nəzərindən hər üç kanalı birdən xidmət sorğularına məcbur etmək sərfəlidirmi və orta xidmət müddəti üç dəfə azalır? Bu, ərizənin CMO-da keçirdiyi orta vaxta necə təsir edəcək?
Həll. Düsturdan istifadə edərək üç kanallı QS-nin dayanma vaxtı ehtimalını tapırıq
ρ = /μ =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Uğursuzluq ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
P açıq = P n ==
P açıq = 0.21.
Nisbi sistem ötürmə qabiliyyəti:
R obsl = 1-R aç 1-0,21=0,79.
Mütləq sistem ötürmə qabiliyyəti:
A= P obsl 3,16.
İşğal olunmuş kanalların orta sayı düsturla müəyyən edilir:
1.58, xidmət göstərən kanalların payı,
q = 0,53.
Tətbiqin QS-də qaldığı orta vaxt, ərizənin xidmət üçün qəbul edilməsi ehtimalının orta xidmət müddətinə vurulması kimi tapılır: t SMO 0.395 dəq.
Hər üç kanalı birinə birləşdirərək, parametrləri olan bir kanallı sistem əldə edirik μ= 6, ρ= 2/3. Tək kanallı sistem üçün dayanma ehtimalı:
R 0 = = =0,6,
uğursuzluq ehtimalı:
P açıq =ρ P 0 = = 0,4,
nisbi məhsuldarlıq:
R obsl = 1-R aç =0,6,
mütləq ötürmə qabiliyyəti:
A=P obs =2.4.
t SMO =P obsl= =0,1 dəq.
Kanalların bir yerdə birləşdirilməsi nəticəsində nasazlıq ehtimalı artdıqca sistemin ötürmə qabiliyyəti azalıb. Tətbiqin sistemdə keçirdiyi orta vaxt azalıb.
Misal 2. Limitsiz növbə ilə üç kanallı QS-nin girişi intensivliklə sorğu axını alır. =Saatda 4 proqram, bir tətbiqə xidmət üçün orta vaxt t=1/μ=0,5 h. Sistemin performans göstəricilərini tapın.
Nəzərdən keçirilən sistem üçün n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Düsturdan istifadə edərək növbədəki tətbiqlərin orta sayını tapırıq:
L
=
.
L = = .
Düsturdan istifadə edərək növbədə olan bir proqram üçün orta gözləmə müddətini hesablayırıq:
t= = 0,22 saat.
Proqramın sistemdə qalma müddəti:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
Misal 3. Bərbər salonunda 3 bərbər işləyir, gözləmə zalında isə 3 stul var. Müştəri axını intensivliyə malikdir = Saatda 12 müştəri. Orta xidmət müddəti t obsl =20 dəq. Sistemin nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyətini, işğal olunmuş stulların orta sayını, növbənin orta uzunluğunu, müştərinin bərbərdə keçirdiyi orta vaxtı müəyyənləşdirin.
Bu vəzifə üçün n =3, Kanal məşğul olduqda alınan sorğu növbəyə qoyulur və xidmət gözləyir. Güman edirik ki, növbə ölçüsü məhduddur və daha çox yer tuta bilməz =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. İşdən çıxma ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Xidmətdən imtina ehtimalı düsturla müəyyən edilir
P açıq =P n+m = .
P açıq =Pn + m 0,307.
Nisbi sistem tutumu, yəni. xidmət ehtimalı:
P obsl =1-P açın 1-0,307=0,693.
Mütləq ötürmə qabiliyyəti:
A= P obsl 12 .
Məşğul olan kanalların orta sayı:
.
Orta növbə uzunluğu düsturla müəyyən edilir:
L
=
L= 
1,56.
Növbədə xidmət üçün orta gözləmə müddəti:
t= h.
CMO-ya müraciətlərin orta sayı:
M=L + .
Tətbiqin CMO-da qalma müddəti:
T=M/ 0,36 saat
Misal 4. Bir işçi 4 maşın işlədir. Hər bir maşın intensivliklə uğursuz olur =saatda 0,5 nasazlıq, orta təmir vaxtı t rem=1/μ=0,8 h sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edin.
Bu problem qapalı QS hesab edir, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. İşçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
R
0
=
.
P
0
= 
.
İşçinin işə qəbulu ehtimalı R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = saatda 0,85μ maşın.
Tapşırıq:
Dörd maşından ibarət qrupda iki işçi işləyir. İşləyən maşının dayanması orta hesabla 30 dəqiqədən sonra baş verir. Orta quraşdırma vaxtı 15 dəqiqədir. Əməliyyat və quraşdırma vaxtı eksponensial qanuna uyğun olaraq bölüşdürülür.
Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payını və maşının orta iş vaxtını tapın.
Bir sistem üçün eyni xüsusiyyətləri tapın:
a) hər bir işçiyə iki maşın verilir;
b) iki işçi həmişə maşına birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət göstərir;
c) yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı daha bir nasaz maşın göründükdə, hər biri bir maşına xidmət edən ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (əvvəlcə sistemin iş prosesini təsvir edin. ölüm və doğum).
Həlli:
S sisteminin aşağıdakı halları mümkündür:
S 0 – bütün maşınlar işləyir;
S 1 – 1 dəzgah təmirdədir, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 2 – 2 dəzgah təmirdədir, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 3 – 3 dəzgahı təmirdədir, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 4 – 4 maşın təmirdədir, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 5 – (1, 2) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 6 – (1, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 7 – (1, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 8 – (2, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 9 – (2, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 10 – (3, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 11 – (1, 2, 3) dəzgahlar təmir olunur, 4 dəzgah işləyir;
S 12 – (1, 2, 4) dəzgahlar təmir olunur, 3 maşın işlək vəziyyətdədir;
S 13 – (1, 3, 4) maşınlar təmir olunur, 2-ci maşın işləyir;
S 14 – (2, 3, 4) dəzgahlar təmir olunur, 1 dəzgah işləyir;
S 15 – bütün maşınlar təmirlidir.
Sistem vəziyyəti qrafiki...
Bu S sistemi qapalı sistemə misaldır, çünki hər bir maşın pozulduğu anda real birinə çevrilən potensial tələbdir. Maşın işləyərkən gecikmə blokunda, xarab olduğu andan təmir bitənə qədər isə sistemin özündədir. Hər bir işçi bir xidmət kanalıdır.
Əgər işçi məşğuldursa, o, vaxt vahidi başına μ-maşınları, sistemin tutumu:
Cavab:
Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payı ≈ 0,09 təşkil edir.
Maşının orta işləmə müddəti ≈ 3,64.
a) Hər bir işçiyə iki maşın verilir.
İşçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
İşçinin işləmə ehtimalı:
Əgər işçi məşğuldursa, o, vaxt vahidi başına μ-maşınları, sistemin tutumu:
Cavab:
Hər bir işçi üçün orta boş vaxt payı ≈ 0,62 təşkil edir.
Maşının orta işləmə müddəti ≈ 1,52.
b) İki işçi həmişə maşına birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət göstərir.
c) Yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı daha bir nasaz maşın göründükdə, hər biri bir maşına xidmət edən ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (əvvəlcə sistemi aşağıdakı proseslər baxımından təsvir edin). ölüm və doğum).
5 cavabın müqayisəsi:
Maşınlarda işçiləri təşkil etməyin ən təsirli yolu tapşırığın ilkin versiyası olacaqdır.
Ən sadə növbə sistemlərinin (QS) nümunələri yuxarıda müzakirə edilmişdir. "Protozoa" termini "ibtidai" mənasını vermir. Bu sistemlərin riyazi modelləri tətbiq edilir və praktiki hesablamalarda uğurla istifadə olunur.
Növbə sistemlərində qərar nəzəriyyəsinin tətbiqi mümkünlüyü aşağıdakı amillərlə müəyyən edilir:
1. Sistemdəki tətbiqlərin sayı (bu QS hesab olunur) kifayət qədər böyük (kütləvi) olmalıdır.
2. QS-nin girişində qəbul edilən bütün müraciətlər eyni tipdə olmalıdır.
3. Düsturlardan istifadə edərək hesablamaq üçün ərizələrin qəbulunu və onların işlənməsinin intensivliyini müəyyən edən qanunları bilmək lazımdır. Üstəlik, sifariş axınları Poisson olmalıdır.
4. QS-nin strukturu, yəni. daxil olan tələblər toplusu və müraciətin işlənməsi ardıcıllığı ciddi şəkildə müəyyən edilməlidir.
5. Subyektləri sistemdən çıxarmaq və ya daimi emal intensivliyi olan tələblər kimi təsvir etmək lazımdır.
Yuxarıda sadalanan məhdudiyyətlərə daha birini əlavə edə bilərik ki, bu da riyazi modelin ölçüsünə və mürəkkəbliyinə güclü təsir göstərir.
6. İstifadə olunan prioritetlərin sayı minimal olmalıdır. Tətbiqlərin prioritetləri sabit olmalıdır, yəni. QS daxilində emal zamanı dəyişə bilməzlər.
İş zamanı əsas məqsədə nail olundu - akademik fənnin müəllimi tərəfindən qoyulmuş “Məhdud gözləmə müddəti olan QS” və “Qapalı QS” əsas materialı öyrənildi. Aldığımız biliklərin praktikada tətbiqi ilə də tanış olduq, yəni. əhatə olunan materialı birləşdirdi.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://inqilab..
5) Fomin G.P. Kommersiya fəaliyyətində riyazi metodlar və modellər. M: Maliyyə və Statistika, 2001.
6) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. M: Ali məktəb, 2001.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Sistemlərin modelləşdirilməsi. M: Ali məktəb, 1985.
8) Lifshits A.L. QS-nin statistik modelləşdirilməsi. M., 1978.
9) Ventzel E.S. Əməliyyat Tədqiqatı. M: Nauka, 1980.
10) Ventzel E.S., Ovçarov L.A. Ehtimal nəzəriyyəsi və onun mühəndislik tətbiqləri. M: Nauka, 1988.
Növbə sisteminin əməliyyatları və ya səmərəliliyi aşağıdakılardır.üçün Uğursuzluqlarla QS:
üçün Limitsiz gözləmə ilə SMO həm mütləq, həm də nisbi ötürmə qabiliyyəti öz mənasını itirir, çünki hər bir daxil olan sorğu gec-tez xidmət göstəriləcəkdir. Belə bir QS üçün mühüm göstəricilər bunlardır:
üçün Qarışıq tip QS hər iki göstərici qrupu istifadə olunur: həm nisbi, həm də mütləq ötürmə qabiliyyəti, və gözləmənin xüsusiyyətləri.
Növbəyə qoyulma əməliyyatının məqsədindən asılı olaraq, səmərəlilik meyarı kimi verilmiş göstəricilərdən (və ya göstəricilər toplusundan) hər hansı birini seçmək olar.
Analitik model QS, onun işləməsi zamanı sistemin vəziyyətlərinin ehtimallarını müəyyən etməyə və daxil olan axın və xidmət kanallarının məlum xüsusiyyətləri əsasında fəaliyyət göstəricilərini hesablamağa imkan verən tənliklər və ya düsturlar toplusudur.
İxtiyari QS üçün ümumi analitik model yoxdur. QS-nin məhdud sayda xüsusi halları üçün analitik modellər işlənib hazırlanmışdır. Həqiqi sistemləri az və ya çox dəqiq əks etdirən analitik modellər adətən mürəkkəbdir və vizuallaşdırmaq çətindir.
QS-də baş verən proseslər Markovian olarsa (sorğu axını sadədir, xidmət müddətləri eksponent olaraq paylanır) QS-nin analitik modelləşdirilməsi çox asanlaşdırılır. Bu halda QS-də bütün proseslər adi diferensial tənliklərlə, məhdudlaşdırıcı halda isə stasionar vəziyyətlər üçün xətti cəbri tənliklərlə təsvir oluna və onları həll edərək seçilmiş səmərəlilik göstəricilərini təyin etmək olar.
Bəzi QS nümunələrinə baxaq.
2.5.1. Uğursuzluqlarla çoxkanallı QS
Misal 2.5. Üç yol müfəttişi yük maşını sürücülərinin yol sənədlərini yoxlayır. Ən azı bir müfəttiş sərbəstdirsə, keçən yük maşını dayandırılır. Bütün müfəttişlər məşğuldursa, yük maşını dayanmadan keçir. Yük maşınlarının axını sadədir, yoxlama vaxtı eksponensial paylama ilə təsadüfi olur.
Bu vəziyyət uğursuzluqlarla (növbəsiz) üç kanallı QS ilə modelləşdirilə bilər. Sistem açıq dövrədir, homogen tələblərlə, bir fazalı, tamamilə etibarlı kanallarla.
Dövlətlərin təsviri:
Bütün müfəttişlər pulsuzdur;
Bir müfəttiş məşğuldur;
İki müfəttiş məşğuldur;
Üç müfəttiş məşğuldur.
Sistem vəziyyətinin qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 2.11.
düyü. 2.11.
Qrafikdə: - yük maşını axınının intensivliyi; - bir yol müfəttişi tərəfindən sənədlərin yoxlanılmasının intensivliyi.
Sınaqdan keçməyəcək avtomobillərin hissəsini müəyyən etmək üçün simulyasiya aparılır.
Həll
Ehtimalın tələb olunan hissəsi hər üç müfəttişin işə qəbul olma ehtimalıdır. Dövlət qrafiki tipik “ölüm və çoxalma” sxemini təmsil etdiyinə görə, biz asılılıqlardan istifadə edərək (2.2) tapacağıq.
Bu nəqliyyat müfəttişi postunun ötürmə qabiliyyətini xarakterizə etmək olar nisbi ötürmə qabiliyyəti:
Misal 2.6. Kəşfiyyat qrupundan hesabatların qəbulu və işlənməsi üçün birliyin kəşfiyyat şöbəsində üç nəfərdən ibarət zabit qrupu təyin edilib. Hesabat axınının gözlənilən intensivliyi saatda 15 hesabatdır. Bir məmur tərəfindən bir hesabatın işlənməsi üçün orta vaxt . Hər bir zabit istənilən kəşfiyyat qrupundan hesabat ala bilər. Sərbəst buraxılan məmur alınan hesabatların sonuncunu emal edir. Daxil olan hesabatlar ən azı 95% ehtimalla işlənməlidir.
Təyin olunmuş üç zabitdən ibarət komandanın tapşırığı yerinə yetirmək üçün kifayət edib-etmədiyini müəyyənləşdirin.
Həll
Bir qrup zabit üç kanaldan ibarət uğursuzluqlarla CMO kimi fəaliyyət göstərir.
Hesabatların intensivliyi ilə axını 
ən sadə hesab edilə bilər, çünki bu, bir neçə kəşfiyyat qrupunun cəmidir. Xidmət intensivliyi 
. Paylanma qanunu məlum deyil, lakin bu, əhəmiyyətsizdir, çünki nasazlıqları olan sistemlər üçün bu, özbaşına ola bilər.
QS-nin vəziyyətlərinin təsviri və vəziyyət qrafiki 2.5-ci misalda verilənlərə oxşar olacaq.
Dövlət qrafiki "ölüm və çoxalma" sxemi olduğundan, dövlətin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün onun üçün hazır ifadələr var:
münasibət deyilir tətbiqlər axınının intensivliyi nəzərə alınmaqla. Onun fiziki mənası belədir: dəyər bir sorğuya xidmət göstərilməsinin orta vaxtı ərzində QS-ə daxil olan sorğuların orta sayını təmsil edir.
Nümunədə 
.
Baxılan QS-də hər üç kanal məşğul olduqda uğursuzluq baş verir, yəni. Sonra:
Çünki uğursuzluq ehtimalı hesabatların işlənməsində 34% -dən çox (), o zaman qrupun şəxsi heyətini artırmaq lazımdır. Gəlin qrupun tərkibini iki qat artıraq, yəni CMO-nun indi altı kanalı olacaq və hesablayırıq:
Beləliklə, yalnız altı zabitdən ibarət qrup daxil olan hesabatları 95% ehtimalla emal edə biləcək.
2.5.2. Gözləmə ilə çox kanallı QS
Misal 2.7. Çayın kəsişməsində 15 analoji keçid qurğusu var. Keçidə gələn avadanlığın axını orta hesabla 1 vahid/dəq, bir avadanlığın keçməsi üçün orta vaxt 10 dəqiqə (keçid maşınının geri qayıtması daxil olmaqla) təşkil edir.
Keçidin əsas xüsusiyyətlərini, o cümlədən avadanlıq vahidi gəldikdən dərhal keçmə ehtimalını qiymətləndirin.
Həll
Mütləq ötürmə qabiliyyəti, yəni keçidə yaxınlaşan hər şey praktiki olaraq dərhal keçilir.
Fəaliyyət göstərən keçid qurğularının orta sayı:
Bərədən istifadə və dayanma müddətləri:
Məsələni həll etmək üçün proqram da hazırlanmışdır. Avadanlığın keçidə çatması üçün vaxt intervalları və kəsişmə vaxtının eksponensial qanuna uyğun olaraq paylandığı güman edilir.
50 qaçışdan sonra keçiddən istifadə nisbətləri demək olar ki, eynidir: 
.
Maksimum növbə uzunluğu 15 vahid, növbədə sərf olunan orta vaxt təxminən 10 dəqiqədir.
QS xidmətinin məqsədi. Onlayn kalkulyator bir kanallı QS-nin aşağıdakı göstəricilərini hesablamaq üçün nəzərdə tutulmuşdur:- kanalın sıradan çıxma ehtimalı, sərbəst kanal ehtimalı, mütləq ötürmə qabiliyyəti;
- nisbi ötürmə qabiliyyəti, orta xidmət müddəti, orta kanalın dayanma müddəti.
Təlimatlar. Bu cür problemləri onlayn həll etmək üçün QS modelini seçin. Müəyyən edin tələb axınının intensivliyi λ Və xidmət axınının intensivliyi μ. Məhdud növbə uzunluğuna malik bir kanallı QS üçün siz təyin edə bilərsiniz növbə uzunluğu m, və qeyri-məhdud növbə ilə bir kanallı QS üçün - növbədəki proqramların sayı (bu proqramların növbədə olma ehtimalını hesablamaq üçün). həll nümunəsinə baxın. . Nəticədə həll Word faylında saxlanılır.
Təkkanallı növbə sistemlərinin təsnifatı
Nümunə № 1. Avto yanacaqdoldurma məntəqəsi var bir yanacaqdoldurma məntəqəsi. Ehtimal olunur ki, ən sadə avtomobil axını λ=11 avtomobil/saat intensivliyi ilə stansiyaya daxil olur. Sorğuya xidmət müddəti μ=14 avtomobil/saat parametri ilə eksponensial qanuna tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Stansiyadakı avtomobillərin orta sayını müəyyənləşdirin.
Nümunə № 2. Bir yoxlama qrupu olan maşınların profilaktik yoxlanışının aparılması üçün bir nöqtə var. Hər bir maşındakı qüsurları yoxlamaq və müəyyən etmək üçün orta hesabla 0,4 saat vaxt lazımdır. Hər gün orta hesabla 328 avtomobil texniki baxışa qəbul edilir. Sorğu və xidmətlərin axınları ən sadədir. Baxış məntəqəsinə gələn avtomobil bir dənə də olsun kanalı boş tapmazsa, baxış məntəqəsini xidmətsiz qoyur. Profilaktik yoxlama məntəqəsinin şərtlərinin və texniki xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin.
Həll. Burada α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Bu məlumatlar kalkulyatora daxil edilməlidir.
Təcrübədə növbəli bir kanallı QS-lər (xəstələrə xidmət edən həkim, maşın əmrlərini yerinə yetirən prosessor) olduqca yaygındır. Buna görə növbə ilə tək kanallı QS-ni daha ətraflı nəzərdən keçirmək lazımdır.
Heç bir məhdudiyyət qoyulmayan (nə növbənin uzunluğuna, nə də gözləmə müddətinə) növbə ilə bir kanallı QS olsun. Bu QS intensivliyi l olan tətbiqlər axını alır; xidmət axını t haqqında orta sorğunun xidmət müddətinə m tərs intensivliyə malikdir. QS vəziyyətlərinin yekun ehtimallarını, eləcə də onun effektivliyinin xüsusiyyətlərini tapmaq tələb olunur:
L SİST– sistemdəki sorğuların orta sayı;
W SİST– sorğunun sistemdə qalma müddəti;
L ÇOX– növbədə olan müraciətlərin orta sayı;
W ÇOX– ərizənin növbədə qalma müddəti;
P ZAN- kanalın məşğul olma ehtimalı (kanalın yüklənmə dərəcəsi).
Mütləq ötürmə qabiliyyəti A və nisbi Q-ya gəldikdə, onları hesablamağa ehtiyac yoxdur: növbənin qeyri-məhdud olması səbəbindən, hər bir sorğu gec-tez xidmət göstəriləcəkdir, buna görə də eyni səbəbdən.
Həll. Sistemin vəziyyəti, əvvəlki kimi, QS-dəki müraciətlərin sayına görə nömrələnəcəkdir:
-S 0 – kanal pulsuzdur;
-S 1 – kanal məşğuldur (sorğuya xidmət edir), növbə yoxdur;
-S 2 – kanal məşğuldur, bir sorğu növbədədir;
-S k – kanal məşğuldur, k-1 müraciətlər növbədədir.
Nəzəri olaraq dövlətlərin sayı qeyri-məhduddur (sonsuz). Ölüm və çoxalma sxemində son ehtimallar üçün düsturlar yalnız sonlu sayda vəziyyətlər üçün alındı, lakin biz onlardan sonsuz sayda vəziyyət üçün istifadə edəcəyimizi fərz edəcəyik. Onda düsturdakı terminlərin sayı sonsuz olacaq. üçün ifadə alırıq p o:
(17) düsturudakı sıra həndəsi irəliləyişdir. Biz bilirik ki, sıra birləşir - bu, məxrəclə sonsuz azalan irəliləyişdir r. Sıra bir-birindən ayrıldıqda (bu, dolayısı ilə, lakin ciddi olmasa da, dövlətlərin son ehtimallarının p o, səh 1, …, p k,...yalnız ) olduqda mövcuddur. Sonra:
CMO-ya müraciətlərin orta sayını tapaq L SİST. Təsadüfi dəyişən Z - sistemdəki tətbiqlərin sayı - ehtimallarla 0, 1, 2, ..., k, ... mümkün dəyərlərə malikdir p o, səh 1, …, p k,... Onun riyazi gözləntisi bərabərdir:
Little düsturundan (9) istifadə edərək sorğunun sistemdə qalma müddətini tapırıq:
Növbədə olan ərizələrin orta sayını tapaq. Bunu belə əsaslandıracağıq: növbədəki tətbiqlərin sayı sistemdəki tətbiqlərin sayından xidmət altında olan proqramların sayına bərabərdir. Bu, (riyazi gözləntilərin əlavə edilməsi qaydasına uyğun olaraq) növbədəki tətbiqlərin orta sayı deməkdir. L ÇOX sistemdəki tətbiqlərin orta sayına bərabərdir L SİST xidmətdə olan tətbiqlərin orta sayı çıxılmaqla. Xidmət altında olan sorğuların sayı ya sıfır (kanal pulsuzdursa) və ya bir (məşğuldursa) ola bilər. Belə bir təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kanalın məşğul olması ehtimalına bərabərdir P ZAN. Aydındır ki:
Beləliklə, xidmətdə olan sorğuların orta sayı:
Little düsturundan (9) istifadə edərək, proqramın növbədə qalma müddətini tapırıq.
Yüklənir...
