U ovoj lekciji ćemo pogledati tehniku konstruiranja skice grafa funkcije i dati primjere koji objašnjavaju.
Tema: Ponavljanje
Lekcija: Skiciranje grafa funkcije (na primjeru frakcijsko-kvadratne funkcije)
Cilj nam je skicirati graf razlomljene kvadratne funkcije. Na primjer, uzmimo funkciju koja nam je već poznata:
Dana je razlomačka funkcija čiji brojnik i nazivnik sadrže kvadratne funkcije.
Tehnika crtanja je sljedeća:
1. Odaberite intervale konstantnog predznaka i na svakom odredite predznak funkcije (slika 1)
Detaljno smo ispitali i otkrili da funkcija koja je kontinuirana u ODZ-u može promijeniti predznak samo kada argument prolazi kroz korijene i lomne točke ODZ-a.
Zadana funkcija y je kontinuirana u svom ODZ-u;
Pronađimo korijene:
Istaknimo intervale konstantnosti predznaka. Pronašli smo korijene funkcije i lomne točke domene definicije - korijene nazivnika. Važno je napomenuti da unutar svakog intervala funkcija zadržava svoj predznak.
Riža. 1. Intervali konstantnog predznaka funkcije
Da biste odredili predznak funkcije na svakom intervalu, možete uzeti bilo koju točku koja pripada intervalu, zamijeniti je u funkciju i odrediti joj predznak. Na primjer:
Na intervalu funkcija ima znak plus
Na intervalu funkcija ima predznak minus.
To je prednost intervalne metode: određujemo predznak u jednoj probnoj točki i zaključujemo da će funkcija imati isti predznak u cijelom odabranom intervalu.
Međutim, možete postaviti predznake automatski, bez izračunavanja vrijednosti funkcije, da biste to učinili, odredite predznak u ekstremnom intervalu, a zatim izmjenite predznake.
1. Izgradimo graf u blizini svakog korijena. Podsjetimo se da su korijeni ove funkcije i :
Riža. 2. Graf u blizini korijena
Budući da se u nekoj točki predznak funkcije mijenja s plusa na minus, krivulja je prvo iznad osi, zatim prolazi kroz nulu i onda se nalazi ispod x osi. U trenutku je suprotno.
2. Konstruirajmo graf u blizini svakog ODZ diskontinuiteta. Prisjetimo se da su korijeni nazivnika ove funkcije i :
Riža. 3. Graf funkcije u blizini točaka diskontinuiteta ODZ
Kada je ili nazivnik razlomka praktički jednak nuli, to znači da kada vrijednost argumenta teži ovim brojevima, vrijednost razlomka teži beskonačnosti. U ovom slučaju, kada se argument približava trojki s lijeve strane, funkcija je pozitivna i teži plus beskonačno, s desne strane funkcija je negativna i ide dalje od minus beskonačnosti. Oko četiri, naprotiv, s lijeve strane funkcija teži minus beskonačno, a s desne strane ostavlja plus beskonačno.
Prema konstruiranoj skici možemo naslutiti prirodu ponašanja funkcije u nekim intervalima.
Riža. 4. Skica grafa funkcije
Razmotrimo sljedeći važan zadatak - konstruirati skicu grafa funkcije u blizini točaka u beskonačnosti, tj. kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju se konstantni termini mogu zanemariti. imamo:
Ponekad možete pronaći ovu snimku ove činjenice:
Riža. 5. Skica grafa funkcije u blizini beskonačno udaljenih točaka
Dobili smo približno ponašanje funkcije u njezinoj cijeloj domeni definicije; tada moramo poboljšati konstrukciju pomoću derivacije.
Primjer 1 - skicirajte graf funkcije:
Imamo tri točke kroz koje funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.
Na svakom intervalu odredimo predznake funkcije. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se znakovi izmjenjuju, budući da svi korijeni imaju prvi stupanj.
Konstruiramo skicu grafa u blizini korijena i lomnih točaka ODZ. Imamo: budući da se u nekoj točki predznak funkcije mijenja s plusa na minus, krivulja je prvo iznad osi, zatim prolazi kroz nulu i onda se nalazi ispod x osi. Kada je ili nazivnik razlomka praktički jednak nuli, to znači da kada vrijednost argumenta teži ovim brojevima, vrijednost razlomka teži beskonačnosti. U ovom slučaju, kada se argument približava minus dva s lijeve strane, funkcija je negativna i teži minus beskonačno, s desne strane funkcija je pozitivna i ostavlja plus beskonačno. Oko dva je isto.
Nađimo izvod funkcije:
Očito, izvod je uvijek manje od nule, stoga se funkcija smanjuje u svim odjeljcima. Dakle, u odsječku od minus beskonačno do minus dva funkcija opada od nule do minus beskonačno; u odsječku od minus dva do nule funkcija opada od plus beskonačno do nule; u odsječku od nula do dva funkcija opada od nule do minus beskonačnosti; u odsječku od dva do plus beskonačno, funkcija opada od plus beskonačno do nule.
Ilustrirajmo:
Riža. 6. Skica grafa funkcije za primjer 1
Primjer 2 - skicirajte graf funkcije:
Gradimo skicu grafa funkcije bez korištenja izvoda.
Prvo, ispitajmo zadanu funkciju:
Imamo jednu točku kroz koju funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.
Imajte na umu da je dana funkcija neparna.
Na svakom intervalu odredimo predznake funkcije. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se predznak mijenja, budući da korijen ima prvi stupanj.
Konstruiramo skicu grafa u blizini korijena. Imamo: budući da se u nekoj točki predznak funkcije mijenja s minusa na plus, krivulja je prvo ispod osi, zatim prolazi kroz nulu i onda se nalazi iznad x-osi.
Sada konstruiramo skicu grafa funkcije u blizini točaka u beskonačnosti, tj. kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju se konstantni termini mogu zanemariti. imamo:
Nakon što smo izvršili gore navedene korake, već smo zamislili graf funkcije, ali ga moramo razjasniti pomoću derivacije.
Nađimo izvod funkcije:
Biramo intervale konstantnog predznaka derivacije: pri . ODZ ovdje. Dakle, imamo tri intervala konstantnog predznaka derivacije i tri odsječka monotonosti izvorne funkcije. Odredimo predznake derivacije na svakom intervalu. Kada 
derivacija je pozitivna, funkcija raste; kada je derivacija negativna, funkcija je opadajuća. U ovom slučaju - minimalna točka, jer izvod mijenja predznak iz minusa u plus; naprotiv, maksimalna točka.
Funkcija izgradnje
Nudimo vašoj pozornosti uslugu konstruiranja funkcijskih grafikona na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete ga unijeti ručno ili pomoću virtualna tipkovnica na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja grafikona
- Vizualni prikaz unesenih funkcija
- Izgradnja vrlo složenih grafikona
- Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i primanja veze na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola mjerila, boja linije
- Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
- Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
- Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka sjecišta funkcija, za prikazivanje grafova za njihovo daljnje kretanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, analizirati značajke ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici web mjesta je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen kada koristite druge preglednike.
Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i na apscisnu os nanesemo vrijednosti argumenta X, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x).
Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih točaka čije apscise pripadaju domeni definiranosti funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka ravnine, koordinata X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).
Na sl. 45 i 46 prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.
Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je točna matematička definicija navedena gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (a i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio koji se nalazi u završnim dijelovima ravnine). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći "graf", a ne "skica grafikona".
Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u domenu definiranja funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebali biste to učiniti. Potrebno je kroz točku apscise x = a nacrtati ravnu crtu paralelnu s ordinatnom osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke će, prema definiciji grafa, biti jednaka fa)(Slika 47).
Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.
Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y = x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada X< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prihvaća na x = 1.
Nacrtati graf funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate X,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavniji je način crtanja grafa pomoću nekoliko točaka. Sastoji se u tome što argument X dati konačan broj vrijednosti - recimo, x 1, x 2, x 3,..., x k i izraditi tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.
Tablica izgleda ovako:
Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).
Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja s više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između željenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.
Primjer 1. Nacrtati graf funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:
Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.
Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.
Kako bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju
.
Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 točno opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.
Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka nepouzdana. Stoga, da bi se nacrtao graf dane funkcije, obično se postupa na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.
Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.
Graf funkcije y = |f(x)|.
Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo vas kako se to radi. Definiranjem apsolutne vrijednosti broja možemo pisati
To znači da graf funkcije y =|f(x)| može se dobiti iz grafikona, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x) s negativnim koordinatama, trebate konstruirati odgovarajuće točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os X).
Primjer 2. Grafički nacrtajte funkciju y = |x|.
Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na X< 0 (leži ispod osi X) simetrično reflektirana u odnosu na os X. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).
Primjer 3. Grafički nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.
Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-os u točkama 0 i 2. U intervalu (0; 2) funkcija uzima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafikona simetrično odražava u odnosu na os apscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x
Graf funkcije y = f(x) + g(x)
Razmotrimo problem konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafici funkcija y = f(x) I y = g(x).
Primijetimo da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcije f(x) i g(x).
Neka bodovi (x 0, y 1) I (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. g 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koje točke na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke X n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) I y = g(x).
Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)
Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.
Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za iscrtavanje grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim točkama i smjestimo rezultate u tablicu.
Učitavanje...
