Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona.
Pravilni poliedri
Koliko ima pravilnih poliedara? - Kako se određuju, kakva svojstva imaju? -Gdje se nalaze, imaju li praktičnu primjenu?
Konveksni poliedar naziva se pravilnim ako su mu sve plohe jednaki pravilni mnogokuti i isti broj bridova konvergira u svakom njegovom vrhu.
“hedra” - lice “tetra” - četiri hexes” - šest “octa” - osam “dodeca” - dvanaest “icosas” - dvadeset Nazivi ovih poliedara potječu iz antičke Grčke i u njima je naznačen broj lica.
Naziv pravilnog poliedra Vrsta plohe Broj vrhova bridova ploha ploha koje konvergiraju u jednom vrhu Tetraedar Pravilni trokut 4 6 4 3 Oktaedar Pravilni trokut 6 12 8 4 Ikozaedar Pravilni trokut 12 30 20 5 Kocka (heksaedar) Kvadrat 8 12 6 3 Dodekaedar Pravilni peterokut 20 30 12 3 Podaci o pravilnim poliedrima
Pitanje (problem): Koliko ima pravilnih poliedara? Kako odrediti njihov broj?
α n = (180 °(n -2)): n Na svakom vrhu poliedra postoje najmanje tri ravna kuta, a njihov zbroj mora biti manji od 360 °. Oblik ploha Broj ploha kod jednog vrha Zbroj ravninskih kutova pri vrhu poliedra Zaključak o postojanju poliedra α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3
L. Carroll
Veliki matematičari antike Arhimed Euklid Pitagora
Drevni grčki znanstvenik Platon detaljno je opisao svojstva pravilnih poliedara. Zato se pravilni poliedri nazivaju Platonova tijela
tetraedar - vatrena kocka - zemlja oktaedar - zrak ikozaedar - voda dodekaedar - svemir
Poliedri u znanostima o svemiru i zemlji
Johannes Kepler (1571-1630) – njemački astronom i matematičar. Jedan od utemeljitelja moderne astronomije - otkrio zakone gibanja planeta (Keplerovi zakoni)
Keplerov kup kozmički
"Ekozaedar - dodekaedarska struktura Zemlje"
Poliedri u umjetnosti i arhitekturi
Albrecht Durer (1471-1528) "Melankolija"
Salvador Dali "Posljednja večera"
Moderne arhitektonske strukture u obliku poliedra
Aleksandrijski svjetionik
Poliedar od opeke švicarskog arhitekta
Moderna zgrada u Engleskoj
Poliedri u prirodi FEODARIJA
Pirit (sumporni pirit) Monokristal kalijeve stipse Kristali crvene bakrene rude PRIRODNI KRISTALI
Kuhinjska sol se sastoji od kockastih kristala i kristalne rešetke u obliku kocke. Molekule vode imaju oblik tetraedra. Mineral kuprit stvara kristale u obliku oktaedra. Kristali pirita imaju oblik dodekaedra
Dijamant U obliku oktaedra kristaliziraju dijamant, natrijev klorid, fluorit, olivin i druge tvari.
Povijesno gledano, prvi rezni oblik koji se pojavio u 14. stoljeću bio je oktaedar. Diamond Shah Težina dijamanta 88,7 karata
Zadatak Engleska kraljica dala je upute da se dijamant izreže zlatnim koncem po rubovima. Ali rezanje nije obavljeno, jer draguljar nije mogao izračunati maksimalnu duljinu zlatne niti, a sam dijamant mu nije pokazan. Zlatar je obaviješten o sljedećim podacima: broj vrhova B = 54, broj stranica D = 48, duljina najvećeg ruba L = 4 mm. Pronađite najveću duljinu zlatne niti.
Pravilni poliedar Broj stranica Vrhovi Bridovi Tetraedar 4 4 6 Kocka 6 8 12 Oktaedar 8 6 12 Dodekaedar 12 20 30 Ikozaedar 20 12 30 Istraživački rad “Eulerova formula”
Eulerov teorem. Za svaki konveksni poliedar B + G - 2 = P gdje je B broj vrhova, G broj stranica, P broj bridova tog poliedra.
TJELESNA MINUTA!
Zadatak Odredite kut između dva brida pravilnog oktaedra koji imaju zajednički vrh, ali ne pripadaju istoj plohi.
Zadatak Odredite visinu pravilnog tetraedra s bridom 12 cm.
Kristal ima oblik oktaedra koji se sastoji od dvije pravilne piramide sa zajedničkom bazom, a visina oktaedra je 8 cm
Površina Tetraedar Ikozaedar Dodekaedar Heksaedar Oktaedar
Zadatak za domaću zadaću: mnogogranniki.ru Pomoću razvoja izradite modele 1. pravilnog poliedra sa stranicom od 15 cm, 1. polupravilnog poliedra
Hvala na radu!
Definicija: Konveksni poliedar naziva se
ispravno ako su sva njegova lica
jednaki pravilni poligoni i in
na svakom njegovom vrhu konvergira ista stvar
isti broj rebara. Točno
Postoji samo pet poliedara: tetraedar,
heksaedar, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.
Tetraedar
Oktaedar
Tetraedar je najjednostavniji poliedar s stranicama
koji su četiri trokuta. U
tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 bridova. Tetraedar, y
kojoj su sva lica jednakostrana
nazivaju se trokuti
ispraviti. Onaj pravi
tetraedar svi diedarski kutovi na bridovima i
svi kutovi trokuta pri vrhovima su jednaki.
Oktaedar - ima 8 trokutastih stranica, 12 rubova, 6
vrhova, 4 brida konvergiraju u svakom vrhu.
Primjeri pravilnih poliedara:
IkozaedarKocka
Ikozaedar - pravilan konveksan
poliedar, dvadeset-edar. Svaki od 20
lica predstavlja
jednakostranični trokut. Broj bridova je
30, broj vrhova - 12. Ikosaedar ima
59 oblika zvijezda.
Kocka je pravilan poliedar, svaka strana
koji je kvadrat. Vershin -
8, rubovi - 12, lica - 6.
Primjeri pravilnih poliedara:
DodekaedarDodekaedar – sastavljen od
dvanaest točnih
peterokuti koji su njegovi
rubovi.
Svaki vrh dodekaedra
je vrh od tri desna
peterokuti. dakle,
dodekaedar ima 12 lica
(peterokutno), 30 rubova i 20
vrhova (3 brida konvergiraju na svakom).
Karakteristike i formule:
Elementi simetrije pravilnog tetraedra:
Pravilni tetraedar nema središte
simetrija. Ali ima tri osi
simetrija i šest ravnina
simetrija.
Elementi simetrije pravilnog oktaedra:
Pravilni oktaedar ima središtesimetrija - točka sjecišta njegovih osi
simetrija. Tri od 9 aviona
prolaze simetrije tetraedra
svaka 4 vrha oktaedra koji leže u
jedan avion. Šest aviona
simetrije prolaze kroz dva vrha,
ne pripadaju istom licu, i
sredini suprotnih rebara.
Elementi simetrije pravilnog ikosaedra:
Pravilni ikosaedar ima 15 osisimetrije, od kojih svaka prolazi
kroz sredinu suprotnosti
paralelna rebra. Točka raskrižja
svih osi simetrije ikosaedra je
njegov centar simetrije. Zrakoplovi
simetrija također 15. Ravnine
simetrije prolaze kroz četiri
vrhovi leže u istoj ravnini, i
središta suprotnih paralela
rebra
Elementi simetrije kocke:
Kocka ima jedan centar simetrije -točka sjecišta njegovih dijagonala, također
Kroz centar simetrije prolazi 9 osi
simetrija. Ravnine simetrije kocke
također 9 i prolaze ili kroz
suprotna rebra.
Elementi simetrije pravilnog dodekaedra:
Pravilni dodekaedar ima središtesimetrije i 15 osi simetrije. Svaki
osi prolazi kroz središnje točke
nasuprotna paralelna rebra.
Dodekaedar ima 15 ravnina
simetrija. Bilo koji od aviona
simetrija se provlači kroz svako lice
kroz vrh i sredinu
suprotno rebro.
Sve informacije preuzete sa:
http://licey102.k26.ru/http://math4school.ru
wikipedia.org
Udžbenik geometrije za 10-11 razred
Sadržaj: Svrha projekta Svrha projekta Svrha projekta Pojam poliedri Pojam poliedri Pojam poliedri Pojam poliedri Povijest Povijest Povijest Platon Platon Platon Platonove krutine Platonove krutine Platonove krutine Platonove krutine Euklid Euklid Euklid Arhimed Arhimed Arhimed Arhimedove krutine Arhimedove krutine Arhimedove krutine Arhimedove krutine Arhimedove krutine Johannes Kepler Johannes Kepler Johann Kepler Keplerova kozmološka hipoteza Keplerova kozmološka hipoteza Tetrahedron Tetrahedron Icosahedron Icosahedron Icosahedron Dodecahedron Dodecahedron Hexahedron(cube) Hexah edron(kocka) Oktaedar Oktaedar Ok taedar Poseban slučaj Poseban slučaj Poseban slučaj Poseban slučaj Razvoj pravilnih poliedra Razvoj pravilnih poliedra Razvoj pravilnih poliedra Razvoj pravilnih poliedra Teorem Teorem Teorem Tablica karakteristika Tablica karakteristika Tablica karakteristika Tablica karakteristika Polupravilni poliedri Polupravilni poliedri Polupravilni poliedri Polupravilni poliedri Nalaz u prirodi Nalaz u prirodi Nalaz u prirodi Pronalaženje u prirodi Povijesni Pomoć Zanimljivosti Zanimljivosti Zanimljivosti Zanimljivosti Zanimljivosti
Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve plohe jednaki pravilni poligoni, svaki njegov vrh ima jednak broj bridova i svi kutovi diedra su jednaki. Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve plohe jednaki pravilni poligoni, svaki njegov vrh ima jednak broj bridova i svi kutovi diedra su jednaki.
Povijest pravilnih poliedara Proučavali su ih znanstvenici, draguljari, svećenici i arhitekti. Tim su se poliedrima čak pripisivala magična svojstva. Starogrčki znanstvenik i filozof Platon (IV–V. st. pr. Kr.) vjerovao je da ta tijela personificiraju bit prirode. U svom dijalogu “Timaj” Platon kaže da atom vatre ima oblik tetraedra, zemlje - heksaedra (kocke), zraka - oktaedra, vode - ikosaedra. U tom dopisivanju nije bilo mjesta samo za dodekaedar, a Platon je sugerirao postojanje još jedne, pete esencije - etera, čiji su atomi upravo u obliku dodekaedra. Platonovi učenici nastavili su njegov rad u proučavanju navedenih tijela. Stoga se ti poliedri nazivaju Platonova tijela. Proučavali su ih znanstvenici, draguljari, svećenici i arhitekti. Tim su se poliedrima čak pripisivala magična svojstva. Drevni grčki znanstvenik i filozof Platon (IV–V. st. pr. Kr.) vjerovao je da ta tijela personificiraju bit prirode. U svom dijalogu “Timaj” Platon kaže da atom vatre ima oblik tetraedra, zemlje - heksaedra (kocke), zraka - oktaedra, vode - ikosaedra. U tom dopisivanju nije bilo mjesta samo za dodekaedar, a Platon je sugerirao postojanje još jedne, pete esencije - etera, čiji su atomi upravo u obliku dodekaedra. Platonovi učenici nastavili su njegov rad u proučavanju navedenih tijela. Stoga se ti poliedri nazivaju Platonova tijela.
Platon oko 429. – 347. pr. Platonova tijela su pravilni homogeni konveksni poliedri, odnosno konveksni poliedri, čija su sva lica i kutovi jednaki, a lica su pravilni mnogokuti. Platonova tijela su trodimenzionalni analog ravnih pravilnih poligona. Međutim, postoji važna razlika između dvodimenzionalnog i trodimenzionalnog slučaja: postoji beskonačno mnogo različitih pravilnih mnogokuta, ali samo pet različitih pravilnih poliedara. Dokaz ove činjenice poznat je više od dvije tisuće godina; Ovim dokazom i proučavanjem pet pravilnih tijela Euklidovi su elementi dovršeni.
“Počeci Euklida. “...u znanosti nema kraljevskog puta” oko 365. - 300. god. PRIJE KRISTA Euklidovo glavno djelo su “Elementi” (u originalu “Stoheia”. “Elementi” se sastoje od 13 knjiga, kasnije su im dodane još 2. Prvih šest knjiga posvećeno je planimetriji. Knjige VII – X sadrže teoriju brojeva, knjige XI, XII i XIII "Načela" posvećene su stereometriji. Iz Euklidovih postavki jasno je da je on prostor predstavljao kao prazan, bezgraničan, izotropan i trodimenzionalan. Zanimljivo je da Euklidova "Načela" počinje opisom konstrukcija pravilnog trokuta i završava proučavanjem pet pravilnih poliedarskih tijela. U naše vrijeme poznata su kao!
Arhimed iz Sirakuze oko 287 - 212. PRIJE KRISTA Matematičar, fizičar i inženjer Arhimed iz Sirakuze ostavio je iza sebe mnoge izume, trinaest eseja (kao što su “O sferi i cilindru”, “Mjerenje kruga”, “Ravnoteža ravnina”, “Želudac”, “Pravilan sedmokut” i dr. ). Arhimed je kao geometar odredio površinu sfere i njen volumen, proučavao paraboloide i hiperboloide, proučavao “Arhimedovu spiralu”, odredio da se broj “pi” nalazi između 3,141 i 3,142. Arhimedov doprinos teoriji poliedara je opis 13 polupravilnih konveksnih homogenih poliedara (Arhimedova tijela).
Arhimedova tijela Mnoga Arhimedova tijela mogu se podijeliti u nekoliko skupina. Prvi od njih sastojat će se od pet poliedara, koji se dobivaju iz Platonovih tijela kao rezultat njihovog skraćivanja. Na taj način se može dobiti pet Arhimedovih tijela: krnji tetraedar, krnji heksaedar (kocka), krnji oktaedar, krnji dodekaedar i krnji ikozaedar. Drugu skupinu čine samo dva tijela, koja se nazivaju i kvazipravilni poliedri. Ova dva tijela nazivaju se kuboktaedar i ikozidodekaedar, za razliku od velikog rombikuboktaedra i velikog rombicikozidodekaedra. Dva slijedeća poliedra nazivaju se rombikuboktaedar i rombicikozidodekaedar. Ponekad se nazivaju i "mali rombikuboktaedar" i "mali rombicikozidodekaedar" za razliku od velikog rombikuboktaedra i velikog rombicikozidodekaedra. Konačno, postoje dvije takozvane "snub" modifikacije, jedna za kocku, druga za dodekaedar. Svaki od njih karakterizira blago zakrenuti položaj lica, što omogućuje konstruiranje dvije različite verzije istog poliedra s "prćastim nosom" (svaki od njih je, takoreći, zrcalna slika drugog).
Johannes Kepler 1571. – 1630 njemački astronom i matematičar. Jedan od utemeljitelja moderne astronomije. njemački astronom i matematičar. Jedan od utemeljitelja moderne astronomije. Keplerov doprinos teoriji poliedra je, prvo, obnova matematičkog sadržaja Arhimedove izgubljene rasprave o polupravilnim konveksnim homogenim poliedrima. Keplerov doprinos teoriji poliedra je, prvo, obnova matematičkog sadržaja Arhimedove izgubljene rasprave o polupravilnim konveksnim homogenim poliedrima. Još je značajniji bio Keplerov prijedlog da se razmotre nekonveksni poliedri sa zvjezdastim stranama sličnim pentagramu i naknadno otkriće dvaju pravilnih nekonveksnih homogenih poliedra - malog zvjezdanog dodekaedra i velikog zvjezdanog dodekaedra. Još je značajniji bio Keplerov prijedlog da se razmotre nekonveksni poliedri sa zvjezdastim stranama sličnim pentagramu i naknadno otkriće dvaju pravilnih nekonveksnih homogenih poliedra - malog zvjezdanog dodekaedra i velikog zvjezdanog dodekaedra.
Keplerova kozmološka hipoteza Kepler je pokušao povezati neka svojstva Sunčevog sustava sa svojstvima pravilnih poliedra. Predložio je da su udaljenosti između šest tada poznatih planeta izražene veličinama pet pravilnih konveksnih poliedara (Platonovih tijela). Između svakog para "nebeskih sfera" duž kojih se, prema ovoj hipotezi, planeti okreću, Kepler je upisao jedno od Platonovih tijela. Oko sfere Merkura, planeta najbližeg Suncu, opisan je oktaedar. Ovaj oktaedar je upisan u sferu Venere, oko koje je opisan ikosaedar. Oko ikosaedra je opisana Zemljina sfera, a oko te sfere dodekaedar. Dodekaedar je upisan u sferu Marsa, oko koje je opisan tetraedar. Jupiterova sfera, upisana u kocku, opisana je oko tetraedra. Konačno, oko kocke je opisana Saturnova sfera.
Tetraedar Tetraedar (tetra – četiri, hedra – lice). Pravilni tetraedar - pravilni tetraedar, odnosno tetraedar s jednakim bridovima, je pravilan poliedar, čija su sva lica pravilni trokuti i iz svakog vrha izlaze točno tri brida (tetra - četiri, hedra - lice). Pravilni tetraedar je pravilan tetraedar, odnosno tetraedar s jednakim bridovima, je pravilan poliedar, čija su sva lica pravilni trokuti i iz čijeg vrha izlaze točno tri brida, ima 4 vrha, 4 lica, 6 Ima 4 vrha, 4 strane, 6 bridova. Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 180 stupnjeva.
Ikozaedar (sastoji se od 20 trokuta) (sastoji se od 20 trokuta) Na svakom vrhu ikosaedra Na svakom vrhu ikosaedra susreće se pet ploha. pet lica se spajaju. Postoji pravilan poliedar u kojem su sve plohe pravilni trokuti, a svaki vrh ima 5 bridova. Ovaj poliedar ima 20 stranica, 30 bridova, 12 vrhova i naziva se ikosaedar (icosi - dvadeset). Postoji pravilan poliedar u kojem su sve plohe pravilni trokuti, a svaki vrh ima 5 bridova. Ovaj poliedar ima 20 stranica, 30 bridova, 12 vrhova i naziva se ikosaedar (icosi - dvadeset). Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 300 stupnjeva Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 300 stupnjeva
Dodekaedar Postoji pravilan poliedar u kojem su sve plohe pravilni peterokuti, a iz svakog vrha izlaze 3 brida. Ovaj poliedar ima 12 stranica, 30 bridova i 20 vrhova i naziva se dodekaedar (dodeka - dvanaest). Postoji pravilan poliedar u kojem su sve plohe pravilni peterokuti, a iz svakog vrha izlaze 3 brida. Ovaj poliedar ima 12 stranica, 30 bridova i 20 vrhova i naziva se dodekaedar (dodeka - dvanaest). Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 324 stupnja Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 324 stupnja
Heksaedar (kocka) Heksaedar (kocka, heksa – šest). Heksaedar je pravilan poliedar, čija su sva lica kvadrati, a iz svakog vrha izlaze tri brida. Heksaedar (kocka, heksa – šest). Heksaedar je pravilan poliedar, čija su sva lica kvadrati, a iz svakog vrha izlaze tri brida. Ima 6 stranica, 8 vrhova, 12 bridova Ima 6 stranica, 8 vrhova, 12 bridova Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 270 stupnjeva Zbroj ravninskih kutova na svakom vrhu je 270 stupnjeva
Oktaedar Octahedron. Ovo je pravilan poliedar, čija su sva lica pravilni trokuti, a četiri lica oktaedra su susjedna svakom vrhu. Ovo je pravilan poliedar, čija su sva lica pravilni trokuti i četiri lica su susjedna svakom vrhu. Ima 8 stranica, 12 bridova, 6 vrhova.
Karakteristike poliedra. Naziv: Broj bridova u vrhu Broj stranica plohe Broj ploha Broj bridova Broj vrhova Tetraedar 33464 Kocka Oktaedar Dodekaedar Ikozaedar
Polupravilni poliedri Snub kocka. Taj se poliedar može upisati u kocku na takav način da se ravnine njegovih šest kvadratnih strana poklapaju s ravninama strana kocke, a te kvadratne strane nagnute kocke izgledat će kao da su malo zakrenute u odnosu na odgovarajuće lica kocke. Snub kocka. Taj se poliedar može upisati u kocku na takav način da se ravnine njegovih šest kvadratnih strana poklapaju s ravninama strana kocke, a te kvadratne strane nagnute kocke izgledat će kao da su malo zakrenute u odnosu na odgovarajuće lica kocke. Rombikozidodekaedar. Ovaj model je jedan od najatraktivnijih među svim drugim modelima Arhimedovih tijela. Lica su trokuti, kvadrati i peterokuti. Rombikozidodekaedar. Ovaj model je jedan od najatraktivnijih među svim drugim modelima Arhimedovih tijela. Lica su trokuti, kvadrati i peterokuti. Rombski krnji kuboktaedar. Ovaj poliedar, također poznat kao krnji kuboktaedar, ima kvadrate, šesterokute i osmerokute na svojim stranama. Rombski krnji kuboktaedar. Ovaj poliedar, također poznat kao krnji kuboktaedar, ima kvadrate, šesterokute i osmerokute na svojim stranama. Izbočeni dodekaedar je posljednji iz obitelji konveksnih uniformnih poliedara. Lica su trokuti i peterokuti. Izbočeni dodekaedar je posljednji iz obitelji konveksnih uniformnih poliedara. Lica su trokuti i peterokuti.
Rombododekaedar. (prolupravilna tijela) Sastoji se od sedam kocki koje tvore prostorni “križ” i dodekaedar.
Nalaz u prirodi U kristalnim tijelima čestice su raspoređene u strogom redoslijedu, tvoreći periodično ponavljajuće prostorne strukture u cijelom volumenu tijela. Za vizualno predstavljanje takvih struktura koriste se prostorne kristalne rešetke u čijim se čvorovima nalaze središta atoma ili molekula određene tvari. Najčešće je kristalna rešetka građena od iona (pozitivno i negativno nabijenih) atoma koji ulaze u sastav molekule određene tvari. Na primjer, rešetka kuhinjske soli sadrži ione Na+ i Cl–, koji nisu spojeni u parove da bi tvorili molekule NaCl. Takvi kristali nazivaju se ionski. U kristalnim tijelima, čestice su raspoređene u strogom redoslijedu, tvoreći periodično ponavljajuće prostorne strukture u cijelom volumenu tijela. Za vizualno predstavljanje takvih struktura koriste se prostorne kristalne rešetke u čijim se čvorovima nalaze središta atoma ili molekula određene tvari. Najčešće je kristalna rešetka građena od iona (pozitivno i negativno nabijenih) atoma koji ulaze u sastav molekule određene tvari. Na primjer, rešetka kuhinjske soli sadrži ione Na+ i Cl–, koji nisu spojeni u parove da bi tvorili molekule NaCl. Takvi kristali nazivaju se ionski.
Kristali Kristalne rešetke metala često imaju oblik heksagonalne prizme (cink, magnezij), kocke s plošom u središtu (bakar, zlato) ili kocke s tijelom u središtu (željezo). Kristalne rešetke metala često imaju oblik šesterokutne prizme (cink, magnezij), kocke s plošom (bakar, zlato) ili kocke s tijelom (željezo). Kristalna tijela mogu biti monokristali ili polikristali. Polikristalna tijela sastoje se od mnogo nasumično orijentiranih malih kristala spojenih zajedno, koji se nazivaju kristaliti. Veliki pojedinačni kristali rijetko se nalaze u prirodi i tehnici. Najčešće su kristalne krutine, uključujući one dobivene umjetnim putem, polikristali. Kristalna tijela mogu biti monokristali ili polikristali. Polikristalna tijela sastoje se od mnogo nasumično orijentiranih malih kristala spojenih zajedno, koji se nazivaju kristaliti. Veliki pojedinačni kristali rijetko se nalaze u prirodi i tehnici. Najčešće su kristalne krutine, uključujući one dobivene umjetnim putem, polikristali: 1 – jednostavna kubična rešetka; 2 – plošno centriran kubni rešetak; 3 – tjelesno centrirana kubična rešetka; 4 – šesterokutna rešetka.
Kristali su poliedri Kalcij. Pri udarcu se kristali kalcita cijepaju u pravilne oblike od kojih svaka strana ima oblik paralelograma. Kalcij tvori različite kristale od plastičnih do izduženih prizmatičnih oblika. Kalcij. Pri udarcu se kristali kalcita cijepaju u pravilne figure od kojih svaka strana ima oblik paralelograma. Kalcij tvori različite kristale od plastičnih do izduženih prizmatičnih oblika. Apatit. Tvore kristale u obliku pravokutne prizme. Apatit. Tvore kristale u obliku pravokutne prizme. Berilijum. Obično se nalaze kao stupčasti šesterokutni kristali. Berilijum. Obično se nalaze kao stupčasti šesterokutni kristali.
Povijest pravilnih poliedara seže u antičko doba. Počevši od 7. stoljeća prije Krista, u staroj Grčkoj stvaraju se filozofske škole u kojima se postupno prelazi s praktične na filozofsku geometriju. Rasuđivanje uz pomoć kojeg je bilo moguće dobiti nova geometrijska svojstva u tim je školama dobilo veliku važnost. Povijesna pozadina Jedna od prvih i najpoznatijih škola bila je pitagorejska škola, nazvana po svom osnivaču Pitagori. Prepoznatljivi znak pitagorejaca bio je pentagram, na matematičkom jeziku to je pravilan nekonveksan ili zvjezdasti peterokut. Pentagramu je dodijeljena sposobnost da zaštiti osobu od zlih duhova.
Zemlja zemlja heksaedar heksaedar (kocka) (kocka) svemir svemirDodekaedar Pitagorejci, a potom i Platon vjerovali su da se materija sastoji od četiri osnovna elementa: vatre, zemlje, zraka i vode. Postojanje pet pravilnih poliedara pripisali su strukturi materije i Svemira. Prema tom mišljenju, atomi osnovnih elemenata moraju imati oblik raznih Platonovih tijela:
Umjetnici o pravilnim poliedrima Tijekom renesanse kipari, arhitekti i UMJETNICI pokazivali su veliko zanimanje za oblike pravilnih poliedara. Leonardo da Vinci bio je fasciniran teorijom poliedra i često ih je prikazivao na svojim platnima. Slikama pravilnih i polupravilnih poliedara ilustrirao je knjigu svog prijatelja, redovnika Luce Paciolija, za oblike pravilnih poliedara. Leonardo da Vinci bio je fasciniran teorijom poliedra i često ih je prikazivao na svojim platnima. Knjigu svog prijatelja, redovnika Luce Paciolija “O božanskoj proporciji” ilustrirao je slikama pravilnih i polupravilnih poliedara.
Na slici "Posljednja večera" umjetnika Salvadora Dalija, Krist i njegovi učenici prikazani su na pozadini ogromnog prozirnog dodekaedra. Prema starima, SVEMIR je imao oblik dodekaedra, tj. vjerovali su da živimo unutar svoda u obliku površine pravilnog dodekaedra.
Egipatske piramide Među egipatskim piramidama posebno mjesto zauzima piramida faraona Keopsa. Duljina stranice njegove baze je L = 233,16 m; visina H =146,6; 148,2 m Visina u početku nije bila točno procijenjena. To je zbog slijeganja šavova, deformacije blokova i navodne djelomične rastavljenosti vrha od S 66 do 1010 m. Među egipatskim piramidama posebno mjesto zauzima piramida faraona Keopsa. Duljina stranice njegove baze je L = 233,16 m; visina H =146,6; 148,2 m Visina u početku nije bila točno procijenjena. To je zbog slijeganja šavova, deformacije blokova i pretpostavljene djelomične raščlanjenosti vrha od S 66 do 1010 m.
Kut nagiba lica = 5151. Prvi ga je izmjerio engleski pukovnik G. Vaizov 1837. tg = 1,27306 = vd = 1, Kut nagiba lica = 5151. Prvi ga je izmjerio engleski pukovnik G. Wise 1837. godine tg = 1,27306 = vd = 1,27202.
Kraljevska grobnica Velika piramida izgrađena je kao grobnica Khufua, Grcima poznatog kao Keops. Bio je jedan od faraona, odnosno kraljeva starog Egipta, a njegova je grobnica dovršena 2580. pr. Kasnije su izgrađene još dvije piramide u Gizi, za Khufuovog sina i unuka, kao i manje piramide za njihove kraljice. Khufuova piramida, najudaljenija na slici, najveća je. Piramida njegovog sina je u sredini i izgleda viša jer stoji na višem mjestu.
U 3. stoljeću pr. sagrađen je svjetionik kako bi brodovi mogli sigurno prolaziti kraj grebena na putu do Aleksandrijskog zaljeva. Noću im je u tome pomogao odsjaj plamena, a danju stup dima. Bio je to prvi svjetionik na svijetu i stajao je 1500 godina. Svjetionik Faros se sastojao od tri mramorna tornja koji su stajali na podlozi od masivnih kamenih blokova. Prva kula bila je pravokutna i sadržavala je prostorije u kojima su živjeli radnici i vojnici. Iznad ove kule bila je manja osmerokutna kula sa spiralnom rampom koja je vodila do gornje kule. Gornja kula imala je oblik cilindra, u kojem je gorjela vatra, što je pomoglo brodovima da sigurno stignu do zaljeva. Na vrhu tornja stajao je kip Zeusa Spasitelja. Ukupna visina svjetionika bila je 117 metara. Aleksandrijski svjetionik
Najjednostavnija životinja Kostur jednostaničnog organizma Feodaria (Circogonia icosahedra) ima oblik ikosaedra. Kostur jednostaničnog organizma Circogonia icosahedra ima oblik ikosaedra. Većina feodarija živi u morskim dubinama i služi kao plijen koraljnim ribama. Ali najjednostavnija životinja štiti se s dvanaest bodlji koje izlaze iz 12 vrhova kostura. Više liči na zvjezdasti poliedar. Većina feodarija živi u morskim dubinama i služi kao plijen koraljnim ribama. Ali najjednostavnija životinja štiti se s dvanaest bodlji koje izlaze iz 12 vrhova kostura. Više liči na zvjezdasti poliedar. Od svih poliedara s istim brojem stranica, ikosaedar ima najveći volumen s najmanjom površinom. Ovo svojstvo pomaže morskom organizmu da prevlada pritisak vodenog stupca.
Zanimljivo je da je ikosaedar postao središte pozornosti biologa u njihovim sporovima o obliku virusa. Ikozaedar je postao središte rasprave biologa o obliku virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se dosad mislilo. Kako bi utvrdili njegov oblik, uzeli su različite poliedre i usmjerili svjetlost na njih pod istim kutovima kao protok atoma na virus. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar.
Slajd 2
Uvod. Povijesni podaci. Tetraedar. Kocka (heksaedar). Oktaedar. Dodekaedar. Ikozaedar. Testirajte se. Izvori.
Slajd 3
Uvod.
Konveksni poliedar naziva se pravilnim ako su njegova lica pravilni mnogokuti s istim brojem stranica i istim brojem bridova koji konvergiraju u svakom vrhu poliedra.
Postoji pet vrsta pravilnih konveksnih poliedara: tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.
Slajd 4
POVIJESNA POZADINA.
Sve ove vrste poliedara bile su poznate u staroj Grčkoj. Knjiga XIII Euklidovih Elemenata posvećena je ovim prekrasnim tijelima. Također se nazivaju i Platonova tijela. Oni su zauzimali istaknuto mjesto u njegovoj idealističkoj slici svijeta. Četiri od njih personificiraju četiri "esencije" ili "elementa" u njemu: tetraedar - vatra, ikosaedar - voda, kocka - zemlja, oktaedar - zrak. Dodekaedar je utjelovio “sve što postoji”, simbolizirao je cjelokupni svjetonazor i smatran je najvažnijim.
Slajd 5
TETRAEDAR.
“Tetraedar” doslovno preveden s grčkog znači “tetraedar.” Pravilni tetraedar ima lica koja su pravilni trokuti; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Tetraedar je trokutasta piramida u kojoj su svi bridovi jednaki.
Slajd 6
"Heksaedar" u prijevodu s grčkog znači "šesterostrani". Sve strane kocke su kvadrati; Tri brida konvergiraju u svakom vrhu. Kocka je pravokutni paralelopiped jednakih bridova.
Slajd 7
OKTAEDAR.
"Oktaedar" u prijevodu s grčkog znači "oktaedar". Lica oktaedra su pravilni trokuti, ali za razliku od tetraedra, četiri ruba konvergiraju u svakom vrhu.
Slajd 8
DODEKAEDAR.
"Dodekaedar" u prijevodu s grčkog znači "dvanaest strana". Dodekaedar ima pravilna peterokutna lica. Tri brida konvergiraju u svakom vrhu.
Slajd 9
IKOSAEDAR.
"Ikozaedar" u prijevodu s grčkog znači "dvadesetostrani". Ikozaedar ima pravilne površine trokuta, ali za razliku od tetraedra i oktaedra, pet bridova konvergira u svakom vrhu.
Jedno od najstarijih spominjanja pravilnih poliedra je u Platonovoj (pr. Kr.) raspravi Timaus. Stoga se pravilni poliedri nazivaju i Platonova tijela (iako su bili poznati davno prije Platona). Svaki od pravilnih poliedara, a ima ih ukupno pet. Platon je povezivao s četiri "zemaljska" elementa: zemljom (kocka), vodom (ikosaedar), vatrom (tetraedar), zrakom (oktaedar), kao i s "nezemaljskim" elementom - nebom (dodekaedar).
Pravilni poliedar ili Platonovo tijelo je konveksni poliedar s najvećom mogućom simetrijom. Poliedar se naziva pravilnim ako: je konveksan, sve su mu plohe jednaki pravilni poligoni, isti broj ploha konvergira u svakom njegovom vrhu, svi su mu diedarski kutovi jednaki.
Napomenimo jednu zanimljivost vezanu uz heksaedar (kocku) i oktaedar. Kocka ima 6 stranica, 12 bridova i 8 vrhova, a oktaedar ima 8 stranica, 12 bridova i 6 vrhova. To jest, broj stranica jednog poliedra jednak je broju vrhova drugog i obrnuto. Kako kažu, kocka i heksaedar su dualni jedan prema drugom. To se također očituje u činjenici da ako uzmete kocku i izgradite poliedar s vrhovima u središtima njegovih stranica, tada, kao što lako vidite, dobivate oktaedar. Vrijedi i obrnuto - središta stranica oktaedra služe kao vrhovi kocke. Ovo je dualnost oktaedra i kocke (sl.). Lako je zaključiti da ako uzmemo središta stranica pravilnog tetraedra, opet ćemo dobiti pravilan tetraedar (sl.). Dakle, tetraedar je dualan sam sebi.
Slavni matematičar i astronom Kepler izgradio je model Sunčevog sustava kao niz uzastopno upisanih i opisanih pravilnih poliedra i sfera. Kakav je redoslijed rasporeda planeta (u skladu sa “zahtjevima” pravilnih poliedara) dobio Kepler? U sferu Saturnove orbite bila je upisana kocka, au nju je bila upisana sfera Jupiterove orbite; u ovu sferu stane tetraedar, au nju sfera putanje Marsa; dalje: dodekaedar - sfera putanje Zemlje - ikozaedar - sfera putanje Venere - oktaedar - sfera putanje Merkura.
Učitavanje...
