Տուն
Դիտարկենք մեկ ալիքով հերթագրման համակարգը՝ սպասելով:
Մենք կենթադրենք, որ սպասարկման հարցումների մուտքային հոսքը λ ինտենսիվությամբ ամենապարզ հոսքն է:
Ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը μ է: Ծառայության տեւողությունը պատահական փոփոխական է, որը ենթակա է էքսպոնենցիալ բաշխման օրենքին: Ծառայությունների հոսքը իրադարձությունների ամենապարզ Պուասոնի հոսքն է:Հարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը: Մենք կենթադրենք, որ հերթի չափը սահմանափակ է և չի կարող ավելին տեղավորել մհավելվածները, այսինքն. հավելված, որը հայտնվել է CMO-ում իր ժամանելու պահին m +1 հարցումներ (մ
հերթում սպասում է, և մեկը սպասարկվում է) հեռանում է ՀԿԿ-ից:
(0‑1)
Այս համակարգում գործընթացը նկարագրող հավասարումների համակարգը լուծում ունի.
Առաջին արտահայտության հայտարարը երկրաչափական պրոգրեսիա է առաջին անդամ 1-ով և ρ հայտարարով, որտեղից ստանում ենք. Ժամը ռ
(0‑8)
= 1 կարող եք դիմել ուղղակի հաշվարկի
Համակարգում հայտերի միջին թիվը:
(0‑9)
Քանի որ համակարգում հայտերի միջին թիվըորտեղ է սպասարկվող դիմումների միջին թիվը, ապա դա իմանալը մնում է գտնել. Որովհետև կա միայն մեկ ալիք, ապա սպասարկվող հարցումների քանակը կարող է լինել կամ 0 կամ 1 հավանականություններով P 0 և P 1=1- P 0
(0‑10)
համապատասխանաբար որտեղից
(0‑11)
իսկ համակարգում հայտերի միջին թիվը կազմում է.
Հերթագրված դիմումի սպասման միջին ժամանակը
Այսինքն՝ հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը հավասար է հերթում հայտերի միջին թվին, որը բաժանված է դիմումի հոսքի ինտենսիվության վրա։
Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը:Հավելվածի համակարգում մնալու ժամանակը հերթում հայտի սպասման ժամանակի և սպասարկման ժամանակի գումարն է: Եթե համակարգի ծանրաբեռնվածությունը 100% է, ապա =1/μ, հակառակ դեպքում =
(0‑13)
ք/մ. Այստեղից.
Փորձարարական գործիքների պատրաստում .
Այն կատարվում է նույն կերպ՝ ընդհանուր կանոններին համապատասխան։
Հաշվարկ՝ օգտագործելով վերլուծական մոդել.
1. Microsoft Excel-ում պատրաստեք հետևյալ աղյուսակը.
2. Աղյուսակի QS պարամետրերի սյունակներում գրեք սկզբնական տվյալները, որոնք որոշվում են ըստ կանոնի.
m=1,2,3
(հերթի առավելագույն երկարությունը):
Յուրաքանչյուր արժեքի համարՀարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը: Մենք կենթադրենք, որ հերթի չափը սահմանափակ է և չի կարող ավելին տեղավորել անհրաժեշտ է գտնել QS ցուցանիշների տեսական և փորձարարական արժեքները հետևյալ զույգ արժեքների համար.
= <порядковый номер в списке группы>
3. Մուտքագրեք համապատասխան բանաձևերը վերլուծական մոդելի ցուցանիշներով սյունակներում:
Փորձ սիմուլյացիոն մոդելի վրա.
1. Սահմանեք գործարկման ռեժիմը էքսպոնենցիալ բաշխված սպասարկման ժամանակով՝ համապատասխան պարամետրի արժեքը սահմանելով 1:
2. Յուրաքանչյուր համակցության համարՀարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը: Մենք կենթադրենք, որ հերթի չափը սահմանափակ է և չի կարող ավելին տեղավորել , և գործարկեք մոդելը:
3. Մուտքագրեք վազքի արդյունքները աղյուսակում:
4. Աղյուսակի համապատասխան սյունակներում ցուցիչի միջին արժեքը հաշվարկելու բանաձևեր մուտքագրեքՊ բաց, ք և Ա.
Արդյունքների վերլուծություն .
1. Վերլուծել տեսական և փորձարարական մեթոդներով ստացված արդյունքները՝ համեմատելով արդյունքները միմյանց հետ։
2. m=3-ի համար գծե՛ք կախվածությունները մեկ գծապատկերի վրա P բաց տեսական և փորձնականորեն ստացված տվյալներից։
QS պարամետրերի օպտիմիզացում .
Լուծեք հերթում տեղերի քանակի չափի օպտիմալացման խնդիրըՀարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը: Մենք կենթադրենք, որ հերթի չափը սահմանափակ է և չի կարող ավելին տեղավորել միջին սպասարկման ժամանակ ունեցող սարքի համար = առավելագույն շահույթ ստանալու տեսանկյունից: Որպես խնդրի պայմաններ՝ վերցրեք.
- մեկ դիմումի սպասարկումից եկամուտ՝ 80 ԱՄՆ դոլար/ժամ,
- մեկ սարքի պահպանման արժեքը հավասար է 1խ/ժ-ի:
1. Հաշվարկների համար խորհուրդ է տրվում ստեղծել աղյուսակ.
Առաջին սյունակը լրացվում է բնական շարքի թվերի արժեքներով (1,2,3...):
Երկրորդ և երրորդ սյունակների բոլոր բջիջները լցված են և արժեքներով:
0 բաժնում աղյուսակի սյունակների բանաձևերը փոխանցվում են չորրորդից իններորդ սյունակների բջիջներին:
Եկամուտ, ծախս, շահույթ բաժինների սկզբնական տվյալների հետ սյունակներում մուտքագրեք արժեքները (տես վերևում):
Եկամուտ, ծախս, շահույթ բաժինների հաշվարկված արժեքներով սյունակներում գրեք հաշվարկման բանաձևերը.
- ժամանակի միավորի համար դիմումների քանակը
N r = A
- ընդհանուր եկամուտը մեկ միավորի համար
I S = I r *N r
- ընդհանուր սպառումը մեկ միավորի համար
E S =E s + E q *(n-1)
- շահույթ մեկ միավորի համար
P = I S - E S
Որտեղ
Իր - եկամուտ մեկ դիմումից,
Ե ս - մեկ սարքի շահագործման արժեքը,
Հավասար - հերթում մեկ տեղ գործելու արժեքը.
Գրաֆիկները P-ի համար բաց են,
- Աղյուսակ տվյալների հետ՝ լավագույնը գտնելու համար m և m opt-ի արժեքը,
- շահույթի գրաֆիկը մեկ միավոր ժամանակի դիմացմ.
Անվտանգության հարցեր :
1) Տվեք մեկ ալիք QS մոդելի համառոտ նկարագրությունը սահմանափակ հերթով:
2) Ի՞նչ ցուցանիշներ են բնութագրում մեկ ալիքով QS-ի աշխատանքը խափանումներով:
3) Ինչպե՞ս է հաշվարկվում p հավանականությունը 0 ?
4) Ինչպե՞ս են հաշվարկվում p հավանականություններըես
5) Ինչպե՞ս գտնել հավելվածի սպասարկման ձախողման հավանականությունը:
6) Ինչպե՞ս գտնել հարաբերական թողունակություն:
7) Ո՞րն է բացարձակ թողունակությունը:
8) Ինչպե՞ս է հաշվարկվում հայտերի միջին թիվը համակարգում:
9) Բերե՛ք QS-ի օրինակներ սահմանափակ հերթով:
Առաջադրանքներ.
1) Նավահանգիստն ունի մեկ բեռնախցիկ՝ նավերի բեռնաթափման համար։ Հոսքի արագությունը կազմում է օրական 0,5 այցելություն: Մեկ նավի բեռնաթափման միջին ժամանակը 2 օր է։ Եթե բեռնաթափման համար հերթում կա 3 նավ, ապա ժամանող նավը բեռնաթափման համար ուղարկվում է այլ նավահանգիստ։ Գտեք նավամատույցի կատարողականի ցուցանիշները:
2) Երկաթուղային կայարանի տեղեկատվական գրասեղանը հեռախոսային հարցումներ է ստանում ժամում 80 հարցումների ինտենսիվությամբ: Օպերատորը մուտքային զանգին պատասխանում է միջինը 0,7 րոպեում: Եթե օպերատորը զբաղված է, հաճախորդը ստանում է «Սպասեք պատասխանին» հաղորդագրությունը, որի երկարությունը չի գերազանցում 4 հարցումը: Տվեք օգնության գրասեղանի աշխատանքի գնահատում և դրա վերակազմակերպման տարբերակ
Ռուսաստանի Դաշնության կրթության դաշնային գործակալություն
FGOU SPO «Պերևոզսկու շինարարական քոլեջ»
Դասընթացներ
«Մաթեմատիկական մեթոդներ» առարկայից
«SMO սահմանափակ սպասման ժամանակով. Փակ QS»
Ներածություն ..................................................... .......................................................... ...................... 2
1. Հերթի տեսության հիմունքները................................ ................................ 3
1.1 Պատահական գործընթացի հայեցակարգը ...................................... ................................... 3
1.2 Մարկովյան պատահական գործընթաց .............................................. .......................... 4
1.3 Իրադարձությունների հոսքեր ...................................... ...................................................................... ............. 6
1.4 Կոլմոգորովի հավասարումներ պետական հավանականությունների համար. Վերջնական վիճակի հավանականությունները ..................................................... ...................................................... ................................... 9
1.5 Հերթերի տեսության հիմնախնդիրները .............................................. ....... .. 13
1.6 Հերթագրման համակարգերի դասակարգում................................... ..... 15
2. Հերթագրման համակարգեր՝ սպասելով .............................................. ........ 16
2.1 Սպասմամբ մեկ ալիք QS ...................................... ......... .......... 16
2.2 Բազմալիքային QS սպասմամբ ...................................... ......... ......... 25
3. Փակ QS................................................. .......................................................... ... 37
Խնդրի լուծում ...................................................... ................................................... 45
Եզրակացություն ..................................................... ...................................................... ...... .50
Հղումներ ..................................................... ................................................... 51
Այս դասընթացի ընթացքում մենք կանդրադառնանք տարբեր հերթերի համակարգերին (QS) և հերթագրման ցանցերին (Queuing):
Հերթագրման համակարգը (QS) հասկացվում է որպես դինամիկ համակարգ, որը նախագծված է արդյունավետորեն սպասարկելու հարցումների հոսքը (ծառայության պահանջները) համակարգի ռեսուրսների սահմանափակումների ներքո:
QS մոդելները հարմար են ժամանակակից հաշվողական համակարգերի առանձին ենթահամակարգերի նկարագրության համար, ինչպիսիք են պրոցեսորային ենթահամակարգը` հիմնական հիշողությունը, մուտքային-ելքային ալիքը և այլն: Հաշվողական համակարգը որպես ամբողջություն փոխկապակցված ենթահամակարգերի հավաքածու է, որոնց փոխազդեցությունը հավանական է: Հաշվարկային համակարգ մուտք գործող որոշակի խնդիր լուծելու հավելվածն անցնում է հաշվման փուլերի հաջորդականությամբ, արտաքին պահեստավորման սարքեր մուտք գործելու և մուտքային-ելքային սարքերով: Նման փուլերի որոշակի հաջորդականությունն ավարտելուց հետո, որոնց քանակն ու տևողությունը կախված է ծրագրի բարդությունից, հարցումը համարվում է սպասարկված և դուրս է գալիս համակարգչային համակարգից։ Այսպիսով, հաշվողական համակարգը որպես ամբողջություն կարող է ներկայացվել QS-ի մի շարքով, որոնցից յուրաքանչյուրն արտացոլում է առանձին սարքի կամ համանման սարքերի խմբի գործունեության գործընթացը, որոնք համակարգի մաս են կազմում:
Փոխկապակցված QS-ների բազմությունը կոչվում է հերթային ցանց (ստոխաստիկ ցանց):
Սկզբից մենք կանդրադառնանք QS-ի տեսության հիմունքներին, այնուհետև կանցնենք մանրամասն բովանդակությամբ ծանոթանալու QS-ին ակնկալիքով և փակ QS-ով: Դասընթացը ներառում է նաև գործնական մաս, որտեղ մենք մանրամասն կսովորենք, թե ինչպես կարելի է կիրառել տեսությունը գործնականում։
Հերթի տեսությունը հավանականությունների տեսության ճյուղերից է։ Այս տեսությունը համարում է հավանականխնդիրներ և մաթեմատիկական մոդելներ (մինչ այդ մենք դիտարկում էինք դետերմինիստական մաթեմատիկական մոդելներ): Հիշեցնենք, որ.
Դետերմինիստական մաթեմատիկական մոդելարտացոլում է օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագիծը տեսանկյունից լիակատար վստահություններկայում և ապագայում։
Հավանական մաթեմատիկական մոդելհաշվի է առնում պատահական գործոնների ազդեցությունը օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագծի վրա և, հետևաբար, գնահատում է ապագան որոշակի իրադարձությունների հավանականության տեսանկյունից:
Նրանք. այստեղ, ինչպես, օրինակ, խաղերի տեսության մեջ դիտարկվում են խնդիրները պայմաններում անորոշություն .
Եկեք նախ դիտարկենք որոշ հասկացություններ, որոնք բնութագրում են «ստոխաստիկ անորոշությունը», երբ խնդրի մեջ ներառված անորոշ գործոնները պատահական փոփոխականներ են (կամ պատահական ֆունկցիաներ), որոնց հավանականական բնութագրերը կա՛մ հայտնի են, կա՛մ կարելի է ձեռք բերել փորձից: Նման անորոշությունը կոչվում է նաև «բարենպաստ», «բարենպաստ»:
Խստորեն ասած, պատահական խանգարումները բնորոշ են ցանկացած գործընթացի: Ավելի հեշտ է բերել պատահական գործընթացի օրինակներ, քան «ոչ պատահական»: Նույնիսկ, օրինակ, ժամացույցի գործարկման գործընթացը (կարծես թե խիստ չափորոշված աշխատանք է. «աշխատում է ժամացույցի պես») ենթարկվում է պատահական փոփոխությունների (առաջ շարժվել, հետ մնալ, կանգ առնել): Բայց քանի դեռ այս խանգարումները աննշան են և քիչ են ազդում մեզ հետաքրքրող պարամետրերի վրա, մենք կարող ենք անտեսել դրանք և գործընթացը համարել դետերմինիստական, ոչ պատահական:
Թող ինչ-որ համակարգ լինի Ս(տեխնիկական սարք, նման սարքերի խումբ, տեխնոլոգիական համակարգ՝ մեքենա, տեղամաս, արտադրամաս, ձեռնարկություն, արդյունաբերություն և այլն)։ Համակարգում Սարտահոսքեր պատահական գործընթաց, եթե այն փոխում է իր վիճակը ժամանակի ընթացքում (անցնում է մի վիճակից մյուսը), ընդ որում՝ նախկինում անհայտ պատահական եղանակով։
Օրինակներ.
1. Համակարգ Ս– տեխնոլոգիական համակարգ (մեքենայական հատված): Մեքենաները ժամանակ առ ժամանակ փչանում են և վերանորոգվում։ Այս համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը պատահական է։
2. Համակարգ Ս- ինքնաթիռ, որը թռչում է որոշակի բարձրության վրա որոշակի երթուղու երկայնքով: Անհանգստացնող գործոններ՝ եղանակային պայմաններ, անձնակազմի սխալներ և այլն, հետևանքներ՝ խորդուբորդություն, թռիչքների գրաֆիկի խախտում և այլն։
Համակարգում տեղի ունեցող պատահական գործընթացը կոչվում է Մարկովսկին, եթե ցանկացած պահի տԱպագայում գործընթացի 0 հավանականական բնութագրերը կախված են միայն դրա վիճակից տվյալ պահին տ 0 և կախված չեն նրանից, թե երբ և ինչպես է համակարգը հասել այս վիճակին:
Թող համակարգը գտնվի որոշակի վիճակում t 0 պահին Ս 0 . Մենք գիտենք համակարգի վիճակի բնութագրերը ներկայում և այն ամենը, ինչ տեղի է ունեցել դրա ընթացքում տ <տ 0 (գործընթացի պատմություն): Կարո՞ղ ենք կանխատեսել (կանխատեսել) ապագան, այսինքն. ինչ կլինի երբ տ >տ 0 ? Ոչ ճշգրիտ, բայց գործընթացի որոշ հավանական բնութագրեր կարելի է գտնել ապագայում: Օրինակ, հավանականությունը, որ որոշ ժամանակ անց համակարգը Սկկարողանա Ս 1 կամ կմնա վիճակում Ս 0 և այլն:
Օրինակ. Համակարգ Ս- օդային մարտերին մասնակցող ինքնաթիռների խումբ. Թող x- «կարմիր» ինքնաթիռների քանակը, y- «կապույտ» ինքնաթիռների քանակը. Ըստ ժամանակի տ 0 ողջ մնացած (չխփված) ինքնաթիռներ, համապատասխանաբար. x 0 , y 0 . Մեզ հետաքրքրում է հավանականությունը, որ մի պահ թվային առավելությունը կլինի «կարմիրների» կողմը։ Այս հավանականությունը կախված է նրանից, թե այդ ժամանակ ինչ վիճակում է եղել համակարգը տ 0, և ոչ թե մինչ այս պահը, թե երբ և ինչ հաջորդականությամբ են զոհվել գնդակահարվածները տ 0 ինքնաթիռ.
Գործնականում, Մարկովի գործընթացները իրենց մաքուր տեսքով սովորաբար չեն հանդիպում: Բայց կան գործընթացներ, որոնց համար կարելի է անտեսել «նախապատմության» ազդեցությունը։ Իսկ նման գործընթացներն ուսումնասիրելիս կարելի է օգտագործել Մարկովի մոդելները (հերթի տեսությունը չի դիտարկում Մարկովյան հերթագրման համակարգերը, սակայն դրանք նկարագրող մաթեմատիկական ապարատը շատ ավելի բարդ է)։
Գործառնությունների հետազոտության մեջ մեծ նշանակություն ունեն Մարկովյան պատահական գործընթացները դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով։
Գործընթացը կոչվում է դիսկրետ պետական գործընթաց, եթե դրա հնարավոր վիճակները Ս 1 , Ս 2, ... կարելի է նախօրոք որոշել, և համակարգի անցումը վիճակից վիճակ տեղի է ունենում «ցատկումով», գրեթե ակնթարթորեն:
Գործընթացը կոչվում է շարունակական ժամանակի գործընթաց, եթե վիճակից վիճակ հնարավոր անցումների պահերը նախապես ֆիքսված չեն, այլ անորոշ են, պատահական և կարող են առաջանալ ցանկացած պահի։
Օրինակ. Տեխնոլոգիական համակարգ (բաժին) Սբաղկացած է երկու մեքենաներից, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է խափանվել (խափանվել) ժամանակի պատահական պահին, որից հետո անմիջապես սկսվում է ագրեգատի վերանորոգումը, որը նույնպես շարունակվում է անհայտ, պատահական ժամանակով։ Համակարգի հետևյալ վիճակները հնարավոր են.
Ս 0 - երկու մեքենաներն էլ աշխատում են;
Ս 1 - առաջին մեքենան վերանորոգվում է, երկրորդը աշխատում է;
Ս 2 - երկրորդ մեքենան վերանորոգվում է, առաջինն աշխատում է;
Ս 3 - երկու մեքենաներն էլ վերանորոգվում են։
Համակարգային անցումներ Սվիճակից վիճակ տեղի է ունենում գրեթե ակնթարթորեն, պատահական պահերին, երբ կոնկրետ մեքենան խափանում է կամ ավարտվում է վերանորոգումը:
Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները վերլուծելիս հարմար է օգտագործել երկրաչափական սխեմա. վիճակի գրաֆիկ. Գրաֆիկի գագաթները համակարգի վիճակներն են: Գրաֆիկի կամարները վիճակից վիճակ հնարավոր անցումներ են: Մեր օրինակի համար վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 1.
Բրինձ. 1. Համակարգի վիճակի գրաֆիկ
Նշում. Անցում պետությունից Ս 0 դյույմ Ս 3-ը նշված չէ նկարում, քանի որ ենթադրվում է, որ մեքենաները խափանում են միմյանցից անկախ։ Մենք անտեսում ենք երկու մեքենաների միաժամանակյա խափանման հնարավորությունը:
Միջոցառումների հոսք– միատարր իրադարձությունների հաջորդականություն, որոնք հաջորդում են մեկը մյուսի հետևից որոշ պատահական պահերին:
Նախորդ օրինակում սա խափանումների հոսք է և վերականգնումների հոսք: Այլ օրինակներ՝ զանգերի հոսք հեռախոսակայանում, հաճախորդների հոսք խանութում և այլն:
Իրադարձությունների հոսքը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել ժամանակի առանցքի մի շարք կետերով Օ տ- բրինձ. 2.
Բրինձ. 2. Իրադարձությունների հոսքի պատկերը ժամանակի առանցքի վրա
Յուրաքանչյուր կետի դիրքը պատահական է, և այստեղ պատկերված է հոսքի միայն մեկ իրականացում:
Իրադարձության հոսքի ինտենսիվությունը ( ) ժամանակի միավորի համար իրադարձությունների միջին թիվն է:
Դիտարկենք իրադարձությունների հոսքերի որոշ հատկություններ (տեսակներ):
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է ստացիոնար, եթե դրա հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից։
Մասնավորապես, անշարժ հոսքի ինտենսիվությունը հաստատուն է։ Իրադարձությունների հոսքն անխուսափելիորեն ունենում է խտացումներ կամ հազվադեպություններ, բայց դրանք կանոնավոր բնույթ չեն կրում, և իրադարձությունների միջին թիվը մեկ միավորի համար հաստատուն է և կախված չէ ժամանակից։
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է հոսք առանց հետևանքների, եթե ժամանակի որևէ երկու չհամընկնող հատվածների համար և (տես նկ. 2) իրադարձությունների թիվը, որոնք ընկնում են դրանցից մեկի վրա, կախված չէ նրանից, թե քանի իրադարձություն է ընկնում մյուսի վրա: Այսինքն՝ սա նշանակում է, որ հոսքը կազմող իրադարձությունները հայտնվում են ժամանակի որոշակի կետերում միմյանցից անկախև յուրաքանչյուրն առաջանում է իր պատճառներով:
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է սովորական, եթե իրադարձությունները հայտնվում են նրանում մեկ առ մեկ, այլ ոչ թե միանգամից մի քանի հոգանոց խմբերով։
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է ամենապարզ (կամ անշարժ Poisson),եթե այն ունի միանգամից երեք հատկություն.
1) ստացիոնար;
2) սովորական;
3) ոչ մի հետևանք.
Ամենապարզ հոսքն ունի ամենապարզ մաթեմատիկական նկարագրությունը: Այն կատարում է նույն հատուկ դերը հոսքերի մեջ, ինչ նորմալ բաշխման օրենքը բաշխման այլ օրենքների մեջ: Մասնավորապես, բավականաչափ մեծ թվով անկախ, անշարժ և սովորական հոսքեր (ինտենսիվությամբ համեմատելի են միմյանց հետ), ստացվում է ամենապարզին մոտ հոսք։
Ինտենսիվության միջակայքով ամենապարզ հոսքի համար Տհարեւան իրադարձությունների միջեւ ունի այսպես կոչված էքսպոնենցիալ բաշխումխտությամբ:
որտեղ է էքսպոնենցիալ օրենքի պարամետրը:
Պատահական փոփոխականի համար Տ, որն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում, մաթեմատիկական ակնկալիքը պարամետրի փոխադարձությունն է, իսկ ստանդարտ շեղումը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին.
Հաշվի առնելով Մարկովյան գործընթացները դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով, ենթադրվում է, որ համակարգի բոլոր անցումները. Սվիճակից վիճակ տեղի են ունենում պարզ իրադարձությունների հոսքերի ազդեցության տակ (զանգերի հոսքեր, ձախողման հոսքեր, վերականգնման հոսքեր և այլն): Եթե բոլոր իրադարձությունների հոսքերը փոխանցեն համակարգը Սպետությունից պետություն ամենապարզը, ապա համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը կլինի մարկովյան։
Այսպիսով, պետության վրա գտնվող համակարգի վրա ազդում է իրադարձությունների պարզ հոսքը: Հենց որ հայտնվում է այս հոսքի առաջին իրադարձությունը, համակարգը «ցատկում» է վիճակից վիճակ (սլաքի երկայնքով գտնվող վիճակի գրաֆիկի վրա):
Պարզության համար համակարգի վիճակի գրաֆիկի վրա յուրաքանչյուր աղեղի համար նշվում է իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը, որը շարժում է համակարգը այս աղեղով (սլաքով): - իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը, որը համակարգը տեղափոխում է վիճակից դեպի . Նման գրաֆիկը կոչվում է նշված. Մեր օրինակի համար պիտակավորված գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 3.
Բրինձ. 3. Նշված համակարգի վիճակի գրաֆիկը
Այս ցուցանիշում - ձախողման հոսքի ինտենսիվությունը. - վերականգնման հոսքի ինտենսիվությունը.
Մենք ենթադրում ենք, որ մեքենայի վերանորոգման միջին ժամանակը կախված չէ նրանից, թե արդյոք մեկ մեքենան վերանորոգված է, թե երկուսը միանգամից: Նրանք. Յուրաքանչյուր մեքենա վերանորոգվում է առանձին մասնագետի կողմից։
Թող համակարգը լինի պետության մեջ Ս 0 . Նահանգում Ս 1 այն թարգմանվում է առաջին մեքենայի խափանումների հոսքով: Դրա ինտենսիվությունը հավասար է.
որտեղ է առաջին մեքենայի առանց խափանումների շահագործման միջին ժամանակը:
Պետությունից Ս 1 դյույմ Ս 0 համակարգը փոխանցվում է առաջին մեքենայի «վերանորոգման ավարտի» հոսքով: Դրա ինտենսիվությունը հավասար է.
որտեղ է առաջին մեքենայի վերանորոգման միջին ժամանակը:
Իրադարձությունների հոսքերի ինտենսիվությունները, որոնք համակարգը փոխանցում են գրաֆիկի բոլոր կամարների երկայնքով, հաշվարկվում են նույն ձևով: Մեր տրամադրության տակ ունենալով համակարգի վիճակների պիտակավորված գրաֆիկ՝ մենք կառուցում ենք մաթեմատիկական մոդելայս գործընթացից։
Թող դիտարկվող համակարգը Սունի - հնարավոր վիճակներ. Երրորդ վիճակի հավանականությունը այն հավանականությունն է, որ տվյալ պահին համակարգը կլինի վիճակում: Ակնհայտ է, որ ցանկացած պահի համար բոլոր պետական հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
Գտնել վիճակների բոլոր հավանականությունները՝ որպես ժամանակի ֆունկցիաներ, կազմել և լուծել Կոլմոգորովի հավասարումները– հավասարումների հատուկ տեսակ, որտեղ անհայտ ֆունկցիաները վիճակների հավանականություններն են: Այս հավասարումները կազմելու կանոնն այստեղ ներկայացված է առանց ապացույցի։ Բայց նախքան այն ներկայացնելը, եկեք բացատրենք հայեցակարգը վիճակի վերջնական հավանականությունը .
Ի՞նչ է լինելու պետական հավանականությունների հետ. Նրանք կձգտե՞ն ինչ-որ սահմանի։ Եթե այդ սահմանները գոյություն ունեն և կախված չեն համակարգի սկզբնական վիճակից, ապա դրանք կոչվում են վերջնական վիճակի հավանականությունները .
որտեղ է համակարգի վիճակների վերջավոր թիվը:
Վերջնական վիճակի հավանականությունները– սրանք այլևս փոփոխական մեծություններ չեն (ժամանակի ֆունկցիաներ), այլ հաստատուն թվեր: Ակնհայտ է, որ.
Վերջնական վիճակի հավանականությունըէապես միջին հարաբերական ժամանակն է, երբ համակարգը մնում է այս վիճակում:
Օրինակ՝ համակարգը Սունի երեք նահանգ Ս 1 , Ս 2 և Ս 3. Նրանց վերջնական հավանականությունը համապատասխանաբար 0,2 է; 0.3 և 0.5: Սա նշանակում է, որ սահմանափակող անշարժ վիճակում գտնվող համակարգը միջինում ծախսում է իր ժամանակի 2/10-ը նահանգում Ս 1, 3/10 – կարող Ս 2 և 5/10 – ունակ Ս 3 .
Կոլմոգորովյան հավասարումների համակարգը կազմելու կանոնը: համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ ձախ կողմումտվյալ վիճակի վերջնական հավանականությունն է՝ բազմապատկված բոլոր հոսքերի ընդհանուր ինտենսիվությամբ, տանող այս պետությունից, Ա իր աջ կողմում մասեր- բոլոր հոսքերի ինտենսիվության արտադրյալների գումարը, մեջ ներառված -րդ նահանգ, այն պետությունների հավանականությունների վրա, որտեղից գալիս են այդ հոսքերը։
Օգտագործելով այս կանոնը, մենք գրում ենք հավասարումների համակարգ մեր օրինակի համար :
.
Չորս անհայտներով չորս հավասարումների այս համակարգը, թվում է, կարելի է ամբողջությամբ լուծել: Բայց այս հավասարումները միատարր են (նրանք չունեն ազատ տերմին), և, հետևաբար, նրանք որոշում են անհայտները միայն մինչև կամայական գործոն։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալացման պայմանը. 
և օգտագործել այն համակարգը լուծելու համար: Այս դեպքում հավասարումներից մեկը (ցանկացած) կարող է հրաժարվել (դա հետևում է մյուսների հետևանքով):
Օրինակի շարունակությունը. Թող հոսքի ինտենսիվությունը հավասար լինի.
Մենք հրաժարվում ենք չորրորդ հավասարումից և փոխարենը ավելացնում ենք նորմալացման պայման.
.
Նրանք. սահմանափակող, ստացիոնար ռեժիմում համակարգը Սմիջինում ժամանակի 40%-ը կանցկացվի վիճակում Ս 0 (երկու մեքենաներն էլ աշխատում են), 20% - լավ վիճակում Ս 1 (առաջին մեքենան վերանորոգված է, երկրորդը աշխատում է), 27% - վիճակում Ս 2 (երկրորդ մեքենան վերանորոգված է, առաջինն աշխատում է), 13% - վիճակում Ս 3 (երկու մեքենաներն էլ գտնվում են վերանորոգման փուլում): Այս վերջնական հավանականությունների իմացությունը կարող է օգնել գնահատել համակարգի միջին արդյունավետությունը և վերականգնող օրգանների ծանրաբեռնվածությունը:
Թող համակարգը Սկարող է Ս 0 (լիովին գործառնական) բերում է 8 պայմանական միավորի եկամուտ մեկ միավորի համար, կարող է Ս 1 – եկամուտ 3 պայմանական միավոր, կարող Ս 2 – եկամուտ 5 պայմանական միավոր, կարող Ս 3 – եկամուտ չի ստեղծում: Այնուհետև սահմանափակող, անշարժ ռեժիմում միջին եկամուտը ժամանակի միավորի համար հավասար կլինի՝ պայմանական միավորներին։
Մեքենան 1-ը վերանորոգվում է ժամանակի մի մասում, որը հավասար է. Մեքենան 2-ը վերանորոգվում է ժամանակի մի մասում, որը հավասար է. Առաջանում է օպտիմալացման խնդիր. Թեև մենք կարող ենք նվազեցնել առաջին կամ երկրորդ մեքենայի (կամ երկուսի) վերանորոգման միջին ժամանակը, դա մեզ որոշակի գումար կարժենա: Հարցն այն է, արդյո՞ք ավելի արագ վերանորոգման հետ կապված ավելացված եկամուտը կվճարի վերանորոգման ավելացված ծախսերը: Դուք պետք է լուծեք չորս անհայտով չորս հավասարումների համակարգ:
Հերթի համակարգերի օրինակներ (QS)՝ հեռախոսային կայաններ, վերանորոգման խանութներ, տոմսարկղեր, տեղեկատվական սեղաններ, հաստոցներ և այլ տեխնոլոգիական համակարգեր, ճկուն արտադրական համակարգերի կառավարման համակարգեր և այլն:
Յուրաքանչյուր QS բաղկացած է որոշակի թվով սպասարկման ստորաբաժանումներից, որոնք կոչվում են սպասարկման ալիքներ(դրանք մեքենաներ են, տրանսպորտային սայլակներ, ռոբոտներ, կապի գծեր, գանձապահներ, վաճառողներ և այլն): Յուրաքանչյուր QS նախատեսված է ինչ-որ տեսակի սպասարկելու համար դիմումների հոսք(պահանջներ), որոնք հասնում են ժամանակի որոշ պատահական պահերին:
Հարցման սպասարկումը շարունակվում է որոշ, ընդհանուր առմամբ, պատահական ժամանակով, որից հետո ալիքն ազատվում է և պատրաստ է ստանալու հաջորդ հարցումը: Հայտերի հոսքի և սպասարկման ժամանակի պատահական բնույթը հանգեցնում է նրան, որ որոշ ժամանակաշրջաններում չափազանց մեծ թվով դիմումներ են կուտակվում QS-ի մուտքագրման մոտ (նրանք կա՛մ հերթ են կանգնում, կա՛մ թողնում են QS-ն չսպասարկված): Այլ ժամանակաշրջաններում համակարգը կաշխատի թերբեռնվածությամբ կամ ամբողջովին պարապուրդի կմատնվի:
QS գործառնական գործընթացը պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով: QS-ի վիճակը կտրուկ փոխվում է, երբ տեղի են ունենում որոշակի իրադարձություններ (նոր հավելվածի ժամանումը, ծառայության ավարտը, այն պահը, երբ սպասելուց հոգնած դիմումը հեռանում է հերթից):
Հերթերի տեսության առարկա- մաթեմատիկական մոդելների կառուցում, որոնք կապում են QS-ի տվյալ գործառնական պայմանները (ալիքների քանակը, դրանց արտադրողականությունը, գործառնական կանոնները, հարցումների հոսքի բնույթը) մեզ հետաքրքրող բնութագրիչների հետ՝ QS-ի արդյունավետության ցուցանիշները: Այս ցուցանիշները նկարագրում են CMO-ի կարողությունը՝ հաղթահարելու դիմումների հոսքը: Դրանք կարող են լինել. QS-ի կողմից սպասարկվող հայտերի միջին թիվը ժամանակի միավորի համար. զբաղված ալիքների միջին թիվը; հերթագրված դիմումների միջին քանակը; սպասարկման միջին ժամանակը և այլն:
QS-ի աշխատանքի մաթեմատիկական վերլուծությունը մեծապես հեշտացվում է, եթե այս աշխատանքի գործընթացը մարկովյան է, այսինքն. Իրադարձությունների հոսքերը, որոնք համակարգը փոխանցում են պետությունից պետություն, ամենապարզն են: Հակառակ դեպքում գործընթացի մաթեմատիկական նկարագրությունը դառնում է շատ բարդ, և հազվադեպ է հնարավոր այն բերել կոնկրետ վերլուծական կախվածությունների: Գործնականում ոչ Մարկովյան գործընթացները մոտավորությամբ կրճատվում են մինչև Մարկովյան գործընթացներ։ Հետևյալ մաթեմատիկական ապարատը նկարագրում է Մարկովի գործընթացները.
Առաջին բաժանումը (հերթերի առկայության հիման վրա).
1. Խափանումներով QS;
2. Հերթագրել հերթով։
QS-ում ձախողումներովդիմումը, որը ստացվել է այն ժամանակ, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են, մերժվում է, դուրս է գալիս QS-ից և ապագայում չի սպասարկվում:
SMO-ում հերթովհավելվածը, որը գալիս է այն պահին, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են, չի հեռանում, այլ հերթ է կանգնում և սպասում սպասարկվելու հնարավորությանը։
Հերթերով QS-ները բաժանվում ենտարբեր տեսակների, կախված նրանից, թե ինչպես է կազմակերպվում հերթը. սահմանափակ կամ անսահմանափակ. Սահմանափակումները կարող են վերաբերել ինչպես հերթի երկարությանը, այնպես էլ սպասման ժամանակին, «ծառայողական կարգապահությանը»:
Այսպիսով, օրինակ, դիտարկվում են հետևյալ QS-ները.
· CMO անհամբեր հարցումներով (հերթի տևողությունը և սպասարկման ժամանակը սահմանափակ են);
· QS առաջնահերթ սպասարկմամբ, այսինքն. որոշ դիմումներ ընթացք են ստանում հերթից և այլն։
Բացի այդ, QS-ները բաժանվում են բաց QS-ների և փակ QS-ների:
Բաց QS-ումհարցումների հոսքի բնութագրերը կախված չեն հենց QS-ի վիճակից (քանի ալիք է զբաղված): Փակ QS-ում- կախված. Օրինակ, եթե մեկ աշխատող սպասարկում է մեքենաների խումբ, որոնք ժամանակ առ ժամանակ պահանջում են ճշգրտում, ապա մեքենաներից «պահանջների» հոսքի ինտենսիվությունը կախված է նրանից, թե դրանցից քանիսն արդեն գործում են և սպասում են ճշգրտման:
SMO-ի դասակարգումը հեռու է վերը նշված սորտերով սահմանափակվելուց, բայց դա բավարար է:
Դիտարկենք սպասման հետ կապված ամենապարզ QS-ը` մեկ ալիքային համակարգ (n-1), որը ստանում է հարցումների հոսք ինտենսիվությամբ. ծառայության ինտենսիվությունը (այսինքն՝ միջինում շարունակաբար զբաղված ալիքը կհրապարակի սպասարկվող հարցումներ մեկ միավորի (ժամանակի համար): Հարցումը, որը ստացվել է այն պահին, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը:
Համակարգ սահմանափակ հերթի երկարությամբ: Նախ ենթադրենք, որ հերթում տեղերի քանակը սահմանափակված է m թվով, այսինքն. եթե հավելվածը հասնում է այն ժամանակ, երբ հերթում արդեն կան m-հավելվածներ, այն թողնում է համակարգը չսպասարկված: Հետագայում, m-ն ուղղելով դեպի անսահմանություն, մենք կստանանք մեկ ալիք QS-ի բնութագրերը՝ առանց հերթի երկարության սահմանափակումների։
Մենք կհամարակալենք QS-ի վիճակները՝ ըստ համակարգում առկա հավելվածների քանակի (ինչպես սպասարկվում են, այնպես էլ սպասարկում են).
Ալիքն անվճար է;
Ալիքը զբաղված է, հերթ չկա;
Ալիքը զբաղված է, մեկ հավելված հերթագրված է.
Ալիքը զբաղված է, k-1 հավելվածները հերթագրված են;
Ալիքը զբաղված է, դիմումները հերթագրված են։
GSP-ն ներկայացված է Նկ. 4. Ձախից աջ սլաքների երկայնքով համակարգ շարժվող իրադարձությունների հոսքերի բոլոր ինտենսիվությունները հավասար են, իսկ աջից ձախ՝ -ի: Իրոք, հարցումների հոսքը համակարգը տեղափոխում է սլաքների երկայնքով ձախից աջ (հենց որ հարցումը հասնում է, համակարգը գնում է հաջորդ վիճակին), մինչդեռ աջից ձախ կա զբաղված ալիքի «արձակումների» հոսք։ , որն ունի ինտենսիվություն (հենց հաջորդ հարցումը սպասարկվի, ալիքը կա՛մ կդառնա անվճար, կա՛մ կնվազի հերթագրված հավելվածների թիվը)։
Բրինձ. 4. Սպասմամբ միալիք QS
Ցուցադրված է Նկ. 4 դիագրամը վերարտադրության և մահվան դիագրամ է: Գրենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունների արտահայտություններ.
(5)
կամ օգտագործելով՝ :
(6)
(6)-ի վերջին տողը պարունակում է երկրաչափական պրոգրեսիա առաջին անդամ 1-ով և p հայտարարով, որից ստանում ենք.
(7)
որի հետ կապված սահմանափակող հավանականությունները ձև են ստանում.
(8).
Արտահայտությունը (7) վավեր է միայն< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
Եկեք որոշենք QS-ի բնութագրերը՝ ձախողման հավանականություն, հարաբերական թողունակություն q, բացարձակ թողունակություն A, հերթի միջին երկարություն, համակարգի հետ կապված հավելվածների միջին քանակը, հերթում սպասման միջին ժամանակը, QS-ում հավելվածի ծախսած միջին ժամանակը: .
Անհաջողության հավանականությունը. Ակնհայտ է, որ դիմումը մերժվում է միայն այն դեպքում, եթե ալիքը զբաղված է, և հերթի բոլոր t-տեղերը նույնպես զբաղված են.
(9).
Հարաբերական թողունակություն:
(10).
Հերթի միջին երկարությունը: Եկեք գտնենք հերթում հայտերի միջին թիվը որպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք՝ R-հերթում հայտերի քանակը.
Հավանականությամբ հերթում կա մեկ հայտ, հավանականությամբ՝ երկու հայտ, ընդհանրապես հավանականությամբ հերթում կան k-1 հավելվածներ և այլն, որոնցից.
(11).
Քանի որ (11)-ի գումարը կարող է մեկնաբանվել որպես երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի ածանցյալ.
Այս արտահայտությունը փոխարինելով (11)-ով և օգտագործելով (8-ից)՝ վերջապես ստանում ենք.
(12).
Համակարգում հայտերի միջին թիվը: Այնուհետև մենք ստանում ենք համակարգի հետ կապված հարցումների միջին քանակի բանաձև (ինչպես հերթում կանգնած, այնպես էլ սպասարկվող): Քանի որ որտեղ է սպասարկվող դիմումների միջին թիվը, և k-ն հայտնի է, մնում է որոշել: Քանի որ կա միայն մեկ ալիք, սպասարկվող հարցումների թիվը կարող է լինել 0 (հավանականությամբ ) կամ 1 (1- ի հավանականությամբ), որից.
.
և QS-ի հետ կապված դիմումների միջին թիվը հետևյալն է.
(13).
Հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը: Նշենք այն; եթե հարցումը մտնում է համակարգ ժամանակի ինչ-որ պահի, ապա, ամենայն հավանականությամբ, սպասարկման ալիքը զբաղված չի լինի, և այն ստիպված չի լինի սպասել հերթում (սպասման ժամանակը զրոյական է): Ամենայն հավանականությամբ, նա կմտնի համակարգ, քանի դեռ ինչ-որ հարցում է սպասարկվում, բայց նրա առջև հերթ չի մնա, և հարցումը կսպասի սպասարկման մեկնարկին որոշակի ժամանակահատված (մեկը սպասարկելու միջին ժամանակը. խնդրանք): Հավանականություն կա, որ հայտի քննարկումից առաջ հերթում կլինի մեկ այլ հայտ, և սպասման միջին ժամանակը հավասար կլինի և այլն։
Եթե k=m+1, այսինքն. երբ նոր ժամանած հարցումը գտնում է, որ սպասարկման ալիքը զբաղված է և m-խնդրում է հերթում (հավանականությունը), ապա այս դեպքում հարցումը չի հերթագրվում (և չի սպասարկվում), ուստի սպասման ժամանակը զրո է: Սպասման միջին ժամանակը կլինի.
Եթե այստեղ (8) հավանականությունները փոխարինենք արտահայտություններով, կստանանք.
(14).
Այստեղ մենք օգտագործում ենք հարաբերությունները (11), (12) (երկրաչափական առաջընթացի ածանցյալ), ինչպես նաև (8): Համեմատելով այս արտահայտությունը (12)-ի հետ՝ մենք նշում ենք, որ այլ կերպ ասած՝ սպասման միջին ժամանակը հավասար է հերթում հայտերի միջին թվին, որը բաժանված է դիմումի հոսքի ինտենսիվության վրա։
(15).
Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը: Եկեք նշենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը որպես QS-ում հարցումը մնալու ժամանակ, որը հերթում սպասման միջին ժամանակի և սպասարկման միջին ժամանակի գումարն է: Եթե համակարգի բեռնվածությունը 100% է, ակնհայտ է, հակառակ դեպքում.
.
Օրինակ 1. Բենզալցակայանը (բենզալցակայանը) մեկ սպասարկման ալիքով (մեկ պոմպ) ունեցող սպասարկման կայան է:
Կայանի տարածքը թույլ է տալիս միաժամանակ լիցքավորման համար հերթ կանգնել ոչ ավելի, քան երեք մեքենա (մ = 3): Եթե հերթում արդեն երեք մեքենա կա, ապա կայարան ժամանած հաջորդ մեքենան հերթին չի միանում։ Վառելիքի լիցքավորման ժամանող մեքենաների հոսքը ունի ինտենսիվություն = 1 (մեքենա րոպեում): Վառելիքի լիցքավորման գործընթացը տեւում է միջինը 1,25 րոպե։
Սահմանել.
ձախողման հավանականությունը;
գազալցակայանների հարաբերական և բացարձակ հզորությունը.
մեքենաների միջին քանակը, որոնք սպասում են լիցքավորմանը.
բենզալցակայանում մեքենաների միջին քանակը (ներառյալ սպասարկվողները).
հերթում մեքենայի սպասման միջին ժամանակը;
միջին ժամանակը, որը մեքենան ծախսում է բենզալցակայանում (ներառյալ սպասարկումը):
Այլ կերպ ասած, միջին սպասման ժամանակը հավասար է հերթում առկա դիմումների միջին քանակին, որը բաժանված է դիմումի հոսքի ինտենսիվության վրա:
Մենք նախ գտնում ենք կիրառությունների հոսքի նվազեցված ինտենսիվությունը՝ =1/1.25=0.8; =1/0.8=1.25.
Ըստ բանաձևերի (8):
Ձախողման հավանականությունը 0,297 է:
QS-ի հարաբերական հզորությունը՝ q=1-=0,703:
QS-ի բացարձակ թողունակությունը՝ A==0,703 մեքենա րոպեում:
Մենք գտնում ենք հերթում մեքենաների միջին թիվը՝ օգտագործելով բանաձևը (12).
դրանք. Բենզալցակայանի լիցքավորման համար հերթում սպասող մեքենաների միջին թիվը 1,56 է։
Այս արժեքին ավելացնելով սպասարկվող տրանսպորտային միջոցների միջին թիվը.
մենք ստանում ենք բենզալցակայանի հետ կապված մեքենաների միջին թիվը:
Հերթում մեքենայի սպասման միջին ժամանակը ըստ բանաձևի (15).
Այս արժեքին գումարելով՝ մենք ստանում ենք այն միջին ժամանակը, որը մեքենան ծախսում է բենզալցակայանում.
Անսահմանափակ սպասման համակարգեր: Նման համակարգերում m-ի արժեքը սահմանափակված չէ և, հետևաբար, հիմնական բնութագրերը կարելի է ստանալ՝ անցնելով նախկինում ստացված արտահայտությունների սահմանին (5), (6) և այլն։
Նկատի ունեցեք, որ վերջին բանաձևում (6) հայտարարը երկրաչափական պրոգրեսիայի անսահման թվով անդամների գումարն է: Այս գումարը համընկնում է, երբ առաջընթացն անվերջ նվազում է, այսինքն. ժամը<1.
Դա կարելի է ապացուցել<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Եթե, ապա հարաբերությունները (8) ունեն հետևյալ ձևը.
(16).
Եթե հերթի երկարության սահմանափակումներ չկան, համակարգ մտնող յուրաքանչյուր հավելված կսպասարկվի, հետևաբար q=1, 
.
Մենք հերթում հայտերի միջին թիվը ստանում ենք (12)-ից՝
Համակարգում հայտերի միջին քանակը՝ համաձայն (13) բանաձևի.
.
Սպասման միջին ժամանակը ստացվում է բանաձևից (14) հետևյալով.
.
Վերջապես, դիմումի QS-ում մնալու միջին ժամանակը հետևյալն է.
Համակարգ սահմանափակ հերթի երկարությամբ: Դիտարկենք սպասող QS ալիքը, որն ինտենսիվությամբ ստանում է հարցումների հոսք; ծառայության ինտենսիվությունը (մեկ ալիքի համար); հերթում տեղերի քանակը.
Համակարգի վիճակները համարակալվում են ըստ համակարգի հետ կապված հարցումների քանակի.
հերթ չկա.
Բոլոր ալիքներն անվճար են.
Մեկ ալիքը զբաղված է, մնացածը՝ անվճար;
-ալիքները զբաղված են, մնացածը՝ ոչ;
Բոլոր ալիքները զբաղված են, անվճար ալիքներ չկան.
հերթ կա.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են; մեկ դիմում հերթում է.
Բոլոր n-ալիքները, r- հարցումները հերթում զբաղված են;
Բոլոր n-ալիքները, r- հարցումները հերթում զբաղված են:
GSP-ն ներկայացված է Նկ. 17. Յուրաքանչյուր սլաք նշվում է իրադարձությունների հոսքերի համապատասխան ինտենսիվությամբ: Ձախից աջ սլաքների երկայնքով համակարգը միշտ փոխանցվում է հարցումների նույն հոսքով՝ ինտենսիվությամբ.
Բրինձ. 17. Բազմաալիք QS սպասմամբ
Գրաֆիկը բնորոշ է վերարտադրության և մահվան գործընթացներին, որոնց համար լուծումը նախկինում ստացվել է։ Գրենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունների արտահայտություններ՝ օգտագործելով նշումը.
Այսպիսով, բոլոր պետական հավանականությունները գտնվել են։
Եկեք որոշենք համակարգի արդյունավետության բնութագրերը:
Անհաջողության հավանականությունը. Մուտքային հարցումը մերժվում է, եթե հերթի բոլոր n-ալիքները և բոլոր m-տեղերը զբաղեցված են.
(18)
Հարաբերական թողունակությունը լրացնում է ձախողման հավանականությունը մեկին.
QS-ի բացարձակ թողունակությունը.
(19)
Զբաղված ալիքների միջին թիվը: Մերժումներով QS-ի համար այն համընկավ համակարգում հայտերի միջին քանակի հետ։ Հերթով QS-ի համար զբաղված ալիքների միջին թիվը չի համընկնում համակարգի հավելվածների միջին քանակի հետ. վերջին արժեքը տարբերվում է առաջինից հերթում առկա հավելվածների միջին քանակով:
Զբաղված ալիքների միջին թիվը նշանակենք . Յուրաքանչյուր զբաղված ալիք սպասարկում է միջինը A-հավակնություններ մեկ միավորի ժամանակի համար, իսկ QS-ն, որպես ամբողջություն, սպասարկում է միջին A-պահանջներ մեկ միավոր ժամանակի համար: Մեկը մյուսի վրա բաժանելով՝ ստանում ենք.
Հերթում հարցումների միջին թիվը կարող է ուղղակիորեն հաշվարկվել որպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք.
(20)
Այստեղ կրկին (փակագծերի արտահայտությունը) տեղի է ունենում երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի ածանցյալը (տե՛ս վերևում (11), (12) - (14)), օգտագործելով դրա առնչությունը, մենք ստանում ենք.
Համակարգում դիմումների միջին քանակը.
Հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը: Դիտարկենք մի շարք իրավիճակներ, որոնք տարբերվում են այն վիճակից, որում նոր ժամանած հարցումը կգտնի համակարգը և որքան ժամանակ այն պետք է սպասի ծառայությանը:
Եթե հարցումը չի գտնում, որ բոլոր ալիքները զբաղված են, այն ընդհանրապես ստիպված չի լինի սպասել (մաթեմատիկական ակնկալիքի համապատասխան պայմանները հավասար են զրոյի): Եթե հարցումը գալիս է այն ժամանակ, երբ բոլոր n-ալիքները զբաղված են և հերթ չկա, այն պետք է սպասի միջինում հավասար ժամանակ (քանի որ -ալիքների «թողարկման հոսքը» ունի ինտենսիվություն): Եթե հարցումը գտնում է, որ բոլոր ալիքները զբաղված են, իսկ դիմացի մեկ հարցումը հերթում է, այն պետք է միջինը սպասի որոշակի ժամանակ (յուրաքանչյուր հարցման դիմաց) և այլն: Եթե հարցումը հայտնվում է հերթում. խնդրանքներով, այն միջինը պետք է սպասի ժամանակին Եթե նոր ժամանած հարցումը գտնում է m- հարցումներ արդեն հերթում, ապա այն ընդհանրապես չի սպասի (բայց չի սպասարկվի): Մենք գտնում ենք սպասման միջին ժամանակը՝ այս արժեքներից յուրաքանչյուրը բազմապատկելով համապատասխան հավանականություններով.
(21)
Ինչպես սպասման հետ մեկ ալիքով QS-ի դեպքում, մենք նշում ենք, որ այս արտահայտությունը տարբերվում է միջին հերթի երկարության արտահայտությունից (20) միայն գործակցով, այսինքն.
.
Հարցման միջին բնակության ժամանակը համակարգում, ինչպես նաև մեկ ալիք QS-ի համար, տարբերվում է սպասման միջին ժամանակից միջին սպասարկման ժամանակով՝ բազմապատկած հարաբերական թողունակությամբ.
.
Անսահմանափակ հերթի երկարությամբ համակարգեր: Մենք դիտարկեցինք QS ալիքը սպասող, երբ ոչ ավելի, քան m- հարցումները կարող են միաժամանակ լինել հերթում:
Ինչպես նախկինում, առանց սահմանափակումների համակարգեր վերլուծելիս անհրաժեշտ է դիտարկել ստացված հարաբերությունները .
Բանաձևերից մենք ստանում ենք վիճակների հավանականությունները՝ անցնելով սահմանին (at): Նկատի ունեցեք, որ համապատասխան երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը համընկնում է և շեղվում է >1-ում: Ենթադրելով, որ<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Անհաջողության հավանականությունը, հարաբերական և բացարձակ թողունակությունը: Քանի որ յուրաքանչյուր հարցում վաղ թե ուշ սպասարկվելու է, QS թողունակության բնութագրերը կլինեն.
Հերթում հայտերի միջին թիվը ստացվում է (20):
,
իսկ միջին սպասման ժամանակը (21):
.
Զբաղված ալիքների միջին թիվը, ինչպես նախկինում, որոշվում է բացարձակ թողունակության միջոցով.
.
QS-ի հետ կապված հայտերի միջին թիվը սահմանվում է որպես հերթում առկա հավելվածների միջին թիվը՝ գումարած սպասարկվող հավելվածների միջին թիվը (զբաղված ալիքների միջին թիվը).
Օրինակ 2. Երկու պոմպերով (n = 2) գազալցակայանը սպասարկում է =0,8 ինտենսիվությամբ մեքենաների հոսք (ավտոմեքենաներ րոպեում): Մեկ մեքենայի սպասարկման միջին ժամանակը.
Տարածքում այլ գազալցակայան չկա, ուստի բենզալցակայանի դիմաց մեքենաների շարքը կարող է գրեթե անսահմանափակ աճել։ Գտեք QS-ի բնութագրերը:
Քանի որ<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
և այլն:
Մենք կգտնենք զբաղված ալիքների միջին թիվը՝ բաժանելով QS A = = 0.8 բացարձակ հզորությունը ծառայության ինտենսիվության վրա = 0.5:
Բենզալցակայանում հերթեր չլինելու հավանականությունը կլինի.
Հերթում կանգնած մեքենաների միջին քանակը.
Մեքենաների միջին թիվը գազալցակայաններում.
Հերթում սպասման միջին ժամանակը.
Բենզալցակայանում մեքենայի ծախսած միջին ժամանակը.
QS սահմանափակ սպասման ժամանակով: Նախկինում մենք դիտարկում էինք միայն հերթի երկարությամբ սահմանափակված սպասող համակարգերը (հերթում միաժամանակյա m- հարցումների քանակը): Նման QS-ում հերթում մեծացած հավելվածը չի թողնում այն մինչև սպասարկվի: Գործնականում կան QS-ի այլ տեսակներ, որոնցում հավելվածը որոշ ժամանակ սպասելուց հետո կարող է հեռանալ հերթից (այսպես կոչված՝ «անհամբեր» հավելվածներ):
Դիտարկենք այս տիպի QS՝ ենթադրելով, որ սպասման ժամանակի սահմանափակումը պատահական փոփոխական է։
Ենթադրենք, որ կա n-ալիք սպասող QS, որտեղ հերթում տեղերի թիվն անսահմանափակ է, բայց այն ժամանակը, երբ հարցումը մնում է հերթում, ինչ-որ պատահական փոփոխական է՝ միջին արժեքով, հետևաբար, հերթում յուրաքանչյուր հարցում է. ենթակա է մի տեսակ Պուասոնի «խնամքի հոսքի» ինտենսիվությամբ.
Եթե այս հոսքը Պուասոն է, ապա QS-ում տեղի ունեցող գործընթացը կլինի մարկովյան: Գտնենք դրա համար պետական հավանականությունները։ Համակարգի վիճակների համարակալումը կապված է համակարգում առկա հավելվածների քանակի հետ՝ և՛ սպասարկվող, և՛ հերթում կանգնած.
հերթ չկա.
Բոլոր ալիքներն անվճար են.
Մեկ ալիքը զբաղված է.
Երկու ալիք զբաղված է.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են;
հերթ կա.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են, մեկ հարցումը հերթում է.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են, r- հարցումները հերթում են և այլն:
Համակարգի վիճակների և անցումների գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 23.
Բրինձ. 23. QS սահմանափակ սպասման ժամանակով
Եկեք նշենք այս գրաֆիկը, ինչպես նախկինում; ձախից աջ տանող բոլոր սլաքները ցույց կտան հավելվածների հոսքի ինտենսիվությունը: Հերթ չունեցող պետությունների համար նրանցից աջից ձախ տանող սլաքները, ինչպես նախկինում, ցույց կտան բոլոր զբաղեցրած ալիքները սպասարկող հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը: Ինչ վերաբերում է հերթով նահանգներին, ապա դրանցից աջից ձախ տանող սլաքները կունենան բոլոր n-ալիքների սպասարկման հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը՝ գումարած հերթից հեռանալու հոսքի համապատասխան ինտենսիվությունը: Եթե հերթում կան r-հավելումներ, ապա մեկնումների հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը հավասար կլինի .
Ինչպես երևում է գրաֆիկից, կա վերարտադրության և մահվան օրինաչափություն. օգտագործելով ընդհանուր արտահայտություններ այս սխեմայի վիճակների սահմանափակող հավանականությունների համար (օգտագործելով կրճատ նշումներ, մենք գրում ենք.
(24)
Եկեք նկատենք QS-ի որոշ առանձնահատկություններ՝ սահմանափակ սպասման դեպքում՝ համեմատած նախկինում դիտարկված «հիվանդների» հարցումներով QS-ի հետ:
Եթե հերթի երկարությունը սահմանափակված չէ, և հարցումները «համբերատար» են (հերթից մի թողեք), ապա անշարժ սահմանային ռեժիմը գործում է միայն այն դեպքում (համապատասխան անսահման երկրաչափական առաջընթացի դեպքում շեղվում է, ինչը ֆիզիկապես համապատասխանում է անսահմանափակ աճին. հերթի ժամը):
Ընդհակառակը, QS-ում, որտեղ «անհամբեր» հարցումները վաղ թե ուշ հեռանում են հերթից, սպասարկման հաստատված ռեժիմը միշտ ձեռք է բերվում՝ անկախ հարցումների հոսքի կրճատված ինտենսիվությունից: Սա բխում է այն փաստից, որ (24) բանաձևի հայտարարի շարքը համընկնում է և .-ի ցանկացած դրական արժեքի համար:
«Անհամբեր» հարցումներով QS-ի համար «ձախողման հավանականություն» հասկացությունն իմաստ չունի. յուրաքանչյուր հարցում հերթ է մտնում, բայց կարող է չսպասել ծառայությանը՝ ժամանակից շուտ հեռանալով:
Հարաբերական թողունակությունը, հերթում հարցումների միջին քանակը: Նման QS-ի հարաբերական հզորությունը q կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ. Ակնհայտ է, որ բոլոր դիմումները կսպասարկվեն, բացառությամբ նրանց, որոնք ժամանակից շուտ հերթ են թողնում։ Եկեք հաշվարկենք այն դիմումների միջին թիվը, որոնք վաղաժամ թողնում են հերթը։ Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք հերթում առկա դիմումների միջին քանակը.
Այս դիմումներից յուրաքանչյուրը ենթակա է «մեկնումների հոսքի»՝ ինտենսիվությամբ: Սա նշանակում է, որ հերթում հայտնված դիմումների միջին քանակից, միջինում, - դիմումները կմեկնեն առանց սպասարկման, - դիմումները մեկ միավորի համար և ընդհանուր առմամբ մեկ միավորի համար, միջինը - դիմումները կսպասարկվեն: QS-ի հարաբերական հզորությունը կլինի.
Մենք դեռ ստանում ենք զբաղեցրած ալիքների միջին թիվը՝ բաժանելով A բացարձակ թողունակությունը հետևյալի վրա.
(26)
Հերթագրված դիմումների միջին թիվը: Հարաբերությունը (26) թույլ է տալիս հաշվարկել հերթում հայտերի միջին քանակը՝ առանց անվերջ շարքը (25) գումարելու: (26)-ից մենք ստանում ենք.
և այս բանաձևում ներառված զբաղված ալիքների միջին թիվը կարելի է գտնել որպես պատահական Z փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք՝ վերցնելով 0, 1, 2,..., n արժեքները հավանականություններով ,.
Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ եթե (24) բանաձևերում մենք գնանք սահմանաչափին (կամ, ինչ նույնն է, ժամը), ապա կստացվեն (22) բանաձևերը, այսինքն՝ «անհամբեր» դիմումները կդառնան «համբերատար»։
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք համակարգեր, որոնցում մուտքային հոսքը ոչ մի կերպ կապված չէ ելքային հոսքի հետ: Նման համակարգերը կոչվում են բաց հանգույց: Որոշ դեպքերում սպասարկվող հարցումները կրկին ստացվում են մուտքագրում ուշացումից հետո: Նման QS-ները կոչվում են փակ: Տվյալ տարածքը սպասարկող կլինիկան, մեքենաների խմբին նշանակված աշխատողների թիմը փակ համակարգերի օրինակներ են:
Փակ QS-ում շրջանառվում է պոտենցիալ պահանջների նույն վերջավոր թիվը: Քանի դեռ հնարավոր պահանջը չի իրականացվել որպես ծառայության հարցում, այն համարվում է հետաձգման բլոկում: Իրականացման պահին այն ինքնին մտնում է համակարգ։ Օրինակ, աշխատողները պահպանում են մեքենաների խումբ: Յուրաքանչյուր մեքենա պոտենցիալ պահանջ է, որն իր խափանման պահին վերածվում է իրականի: Մինչ մեքենան աշխատում է, այն գտնվում է հետաձգման բլոկում, և խափանման պահից մինչև վերանորոգման ավարտը գտնվում է հենց համակարգում։ Յուրաքանչյուր աշխատող սպասարկման ալիք է:
Թող n- սպասարկման ալիքների քանակը, ս- հնարավոր հայտերի քանակը, n <ս , - յուրաքանչյուր պոտենցիալ պահանջի համար դիմումների հոսքի ինտենսիվությունը, μ - սպասարկման ինտենսիվությունը.
Համակարգի խափանումների հավանականությունը որոշվում է բանաձևով
Ռ
0
= 
.
Համակարգի վերջնական հավանականությունները հետևյալն են.
Պկ= ժամը կ
Զբաղված կապուղիների միջին թիվը արտահայտվում է այս հավանականությունների միջոցով
=Պ 1 + 2Պ 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s)կամ
=Պ 1 + 2Պ 2 +…+ (n- 1) Pn- 1 +n( 1-Պ 0 -Պ 1 -…-Պ n-1 ).
Օգտագործելով սա մենք գտնում ենք համակարգի բացարձակ թողունակությունը.
ինչպես նաև համակարգում հայտերի միջին թիվը
Մ=s- =s- .
Օրինակ 1. Երեք ալիքով QS-ի մուտքագրումը ձախողումներով ստանում է հարցումների հոսք՝ ինտենսիվությամբ =4 հարցում րոպեում, մեկ ալիքով հարցումը սպասարկելու ժամանակը տ obs =1/μ =0.5 ր. QS հզորության տեսանկյունից ձեռնտու է արդյոք ստիպել բոլոր երեք ալիքներին միանգամից սպասարկել հարցումները, իսկ սպասարկման միջին ժամանակը երեք անգամ կրճատվել է: Ինչպե՞ս դա կանդրադառնա CMO-ում հայտի ծախսած միջին ժամանակի վրա:
Լուծում.Մենք գտնում ենք եռալիք QS-ի անգործության հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը
ρ = /μ =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Անհաջողության հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
P բաց = P n ==
Պբաց = 0,21:
Համակարգի հարաբերական թողունակությունը.
R obsl = 1-R բաց 1-0,21=0,79.
Համակարգի բացարձակ թողունակությունը.
A= P obsl 3,16.
Զբաղված ալիքների միջին թիվը որոշվում է բանաձևով.
1.58, սպասարկմամբ զբաղեցրած կապուղիների բաժինը,
ք = 0,53.
Դիմումի QS-ում մնալու միջին ժամանակը հայտնաբերվում է որպես ծառայության ընդունման հավանականություն՝ բազմապատկած ծառայության միջին ժամանակի վրա. t SMO 0,395 րոպե.
Բոլոր երեք ալիքները մեկում համատեղելով՝ ստանում ենք մեկ ալիքային համակարգ՝ պարամետրերով μ= 6, ρ= 2/3. Մեկ ալիքային համակարգի համար պարապուրդի հավանականությունը հետևյալն է.
Ռ 0 = = =0,6,
ձախողման հավանականությունը.
P բաց =ր P 0 = = 0,4,
հարաբերական թողունակություն.
R obsl = 1-R բաց =0,6,
բացարձակ թողունակություն.
A=P obs =2.4.
t SMO =P obsl= =0.1 րոպե.
Ալիքները մեկի մեջ միավորելու արդյունքում համակարգի թողունակությունը նվազեց, քանի որ խափանման հավանականությունը մեծանում էր: Համակարգում հավելվածի ծախսած միջին ժամանակը նվազել է։
Օրինակ 2. Երեք ալիք QS-ի մուտքագրումը անսահմանափակ հերթով ստանում է հարցումների հոսք՝ ինտենսիվությամբ =4 դիմում ժամում, մեկ դիմում սպասարկելու միջին ժամանակը տ=1/μ=0.5 ժ. Գտեք համակարգի կատարողականի ցուցանիշները:
Դիտարկվող համակարգի համար n =3, =4, μ=1/0.5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
Պ
0
= 
=1/9.
Մենք հերթում գտնում ենք դիմումների միջին թիվը՝ օգտագործելով բանաձևը.
Լ
=
.
Լ = = .
Մենք հաշվարկում ենք հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը՝ օգտագործելով բանաձևը.
տ= = 0,22 ժամ:
Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը.
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
Օրինակ 3. Վարսավիրանոցում աշխատում է 3 վարսահարդար, իսկ սպասասրահում կա 3 աթոռ։ Հաճախորդների հոսքն ունի ինտենսիվություն = 12 հաճախորդ ժամում: Սպասարկման միջին ժամանակը տ obsl = 20 րոպե. Որոշեք համակարգի հարաբերական և բացարձակ թողունակությունը, զբաղեցրած աթոռների միջին քանակը, հերթի միջին երկարությունը, հաճախորդի վարսավիրանոցում անցկացրած միջին ժամանակը:
Այս առաջադրանքի համար n =3, Հարցումը, որը ստացվել է, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը: Մենք կենթադրենք, որ հերթի չափը սահմանափակ է և չի կարող ավելին տեղավորել =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Անգործության հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Ռ
0
=
.
Պ
0
= 
0,012.
Ծառայությունից հրաժարվելու հավանականությունը որոշվում է բանաձևով
P բաց =P n+m = .
Պ բացել =Pn + մ 0,307.
Համակարգի հարաբերական հզորությունը, այսինքն. սպասարկման հավանականությունը.
P obsl =1-P բաց 1-0,307=0,693.
Բացարձակ թողունակություն.
A= P obsl 12 .
Զբաղված ալիքների միջին քանակը.
.
Հերթի միջին երկարությունը որոշվում է բանաձևով.
Լ
=
L= 
1,56.
Հերթում սպասարկման միջին սպասման ժամանակը.
տ= ժ.
Միջին թվով դիմումների CMO:
M=L + .
Միջին ժամանակը, երբ դիմումը մնում է CMO-ում.
T=M/ 0.36 ժամ
Օրինակ 4. Աշխատում է 4 մեքենա. Յուրաքանչյուր մեքենա ձախողվում է ինտենսիվությամբ =0,5 խափանումներ ժամում, միջին վերանորոգման ժամանակ t rem=1/μ=0.8 ժ Որոշել համակարգի թողունակությունը:
Այս խնդիրը համարում է փակ QS, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4: Աշխատողի պարապուրդի հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Ռ
0
=
.
Պ
0
= 
.
Աշխատողի զբաղվածության հավանականությունը Ռ զան = 1-P 0 . Ա=( 1-Պ 0 )μ =0.85μ մեքենաներ ժամում:
Առաջադրանք.
Երկու աշխատող աշխատում է չորս մեքենաներից բաղկացած խումբ: Աշխատանքային մեքենայի կանգառները տեղի են ունենում միջինում 30 րոպե հետո: Կարգավորման միջին ժամանակը 15 րոպե է: Գործողության և տեղադրման ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի:
Գտեք յուրաքանչյուր աշխատողի ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը և մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը:
Գտեք նույն բնութագրերը մի համակարգի համար, որտեղ.
ա) յուրաքանչյուր աշխատողի նշանակվում է երկու մեքենա.
բ) երկու աշխատող միշտ սպասարկում են մեքենան միասին և կրկնակի ինտենսիվությամբ.
գ) միակ անսարք մեքենան սպասարկվում է երկու աշխատողների կողմից միանգամից (կրկնակի ինտենսիվությամբ), և երբ հայտնվում է ևս մեկ անսարք մեքենա, նրանք սկսում են աշխատել առանձին՝ յուրաքանչյուրը սպասարկում է մեկ մեքենա (նախ նկարագրեք համակարգը՝ ըստ գործընթացների. մահ և ծնունդ):
Լուծում:
Հնարավոր են S համակարգի հետևյալ վիճակները.
S 0 - բոլոր մեքենաները գործում են.
S 1 – 1 մեքենան վերանորոգված է, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 2 – 2 մեքենան վերանորոգվում է, մնացածը գտնվում են աշխատունակ վիճակում;
S 3 – 3 մեքենան վերանորոգված է, մնացածը գտնվում են աշխատունակ վիճակում;
S 4 – 4 մեքենան վերանորոգվում է, մնացածը գտնվում են աշխատունակ վիճակում;
S 5 – (1, 2) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 6 – (1, 3) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են աշխատանքային վիճակում;
S 7 – (1, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են աշխատանքային վիճակում;
S 8 – (2, 3) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 9 – (2, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 10 – (3, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 11 – (1, 2, 3) մեքենաներ վերանորոգվում են, 4 մեքենա շահագործվում է;
S 12 – (1, 2, 4) մեքենաներ վերանորոգվում են, 3 մեքենա շահագործվում է;
S 13 – (1, 3, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մեքենա 2-ը գործում է;
S 14 – (2, 3, 4) մեքենաներ վերանորոգվում են, 1 մեքենա շահագործվում է;
S 15 – Բոլոր մեքենաները վերանորոգված են։
Համակարգի վիճակի գրաֆիկ...
Այս S համակարգը փակ համակարգի օրինակ է, քանի որ յուրաքանչյուր մեքենա պոտենցիալ պահանջ է, որը վերածվում է իրականի իր խափանման պահին: Մինչ մեքենան աշխատում է, այն գտնվում է հետաձգման բլոկում, և խափանման պահից մինչև վերանորոգման ավարտը գտնվում է հենց համակարգում։ Յուրաքանչյուր աշխատող սպասարկման ալիք է:
Եթե աշխատողը զբաղված է, ապա նա տեղադրում է μ-մեքենաներ մեկ միավոր ժամանակում, համակարգի հզորությունը.
Պատասխան.
Յուրաքանչյուր աշխատողի համար ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը ≈ 0,09 է:
Մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը ≈ 3.64.
ա) Յուրաքանչյուր աշխատողի նշանակվում է երկու մեքենա.
Աշխատողի պարապուրդի հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Աշխատողի աշխատանքի հավանականությունը.
Եթե աշխատողը զբաղված է, ապա նա տեղադրում է μ-մեքենաներ մեկ միավոր ժամանակում, համակարգի հզորությունը.
Պատասխան.
Յուրաքանչյուր աշխատողի համար ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը ≈ 0,62 է:
Մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը ≈ 1.52:
բ) Երկու աշխատող միշտ սպասարկում են մեքենան միասին և կրկնակի ինտենսիվությամբ:
գ) Միակ անսարք մեքենան սպասարկվում է երկու աշխատողների կողմից միանգամից (կրկնակի ինտենսիվությամբ), և երբ հայտնվում է ևս մեկ անսարք մեքենա, նրանք սկսում են աշխատել առանձին՝ յուրաքանչյուրը սպասարկում է մեկ մեքենա (նախ նկարագրեք համակարգը՝ ըստ գործընթացների. մահ և ծնունդ):
5 պատասխանների համեմատություն.
Մեքենաներում աշխատողներին կազմակերպելու ամենաարդյունավետ միջոցը կլինի առաջադրանքի նախնական տարբերակը:
Ամենապարզ հերթերի համակարգերի (QS) օրինակները քննարկվել են վերևում: «Նախակենդանի» տերմինը չի նշանակում «տարրական»։ Այս համակարգերի մաթեմատիկական մոդելները կիրառելի են և հաջողությամբ կիրառվում գործնական հաշվարկներում։
Որոշումների տեսության կիրառման հնարավորությունը հերթագրման համակարգերում որոշվում է հետևյալ գործոններով.
1. Համակարգում (որը համարվում է QS) դիմումների թիվը պետք է լինի բավականին մեծ (զանգվածային):
2. QS-ի մուտքագրմամբ ստացված բոլոր դիմումները պետք է լինեն նույն տեսակի:
3. Բանաձևերի միջոցով հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ այն օրենքները, որոնք որոշում են դիմումների ստացումը և դրանց մշակման ինտենսիվությունը: Ավելին, պատվերի հոսքերը պետք է լինեն Poisson:
4. QS-ի կառուցվածքը, այսինքն. մուտքային պահանջների շարքը և դիմումի մշակման հաջորդականությունը պետք է խստորեն ամրագրվեն:
5. Անհրաժեշտ է սուբյեկտներին բացառել համակարգից կամ բնութագրել որպես մշտական մշակման ինտենսիվությամբ պահանջներ:
Վերը թվարկված սահմանափակումներին մենք կարող ենք ավելացնել ևս մեկը, որն ուժեղ ազդեցություն ունի մաթեմատիկական մոդելի չափի և բարդության վրա:
6. Օգտագործված առաջնահերթությունների թիվը պետք է լինի նվազագույն: Դիմումների առաջնահերթությունները պետք է լինեն մշտական, այսինքն. դրանք չեն կարող փոխվել QS-ում մշակման ընթացքում:
Աշխատանքի ընթացքում ձեռք է բերվել հիմնական նպատակը՝ ուսումնասիրվել է «QS սահմանափակ սպասման ժամանակով» և «Փակ QS»-ի հիմնական նյութը, որը սահմանել է ակադեմիական կարգի ուսուցիչը։ Ծանոթացանք նաև ձեռք բերված գիտելիքների գործնական կիրառմանը, այսինքն. համախմբեց ծածկված նյութը:
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://հեղափոխություն..
5) Ֆոմին Գ.Պ. Մաթեմատիկական մեթոդներ և մոդելներ առևտրային գործունեության մեջ: Մ. Ֆինանսներ և վիճակագրություն, 2001 թ.
6) Գմուրման Վ.Է. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. M: Բարձրագույն դպրոց, 2001 թ.
7) Սովետով Բ.Ա., Յակովլև Ս.Ա. Համակարգերի մոդելավորում. Մ. Բարձրագույն դպրոց, 1985 թ.
8) Լիֆշից Ա.Լ. QS-ի վիճակագրական մոդելավորում. Մ., 1978։
9) Վենցել Է.Ս. Գործառնությունների հետազոտություն. M: Nauka, 1980 թ.
10) Վենցել Է.Ս., Օվչարով Լ.Ա. Հավանականությունների տեսությունը և դրա ինժեներական կիրառությունները: M: Nauka, 1988 թ.
Հերթագրման համակարգի գործառնությունները կամ արդյունավետությունը հետևյալն են.Համար QS ձախողումներով:
Համար SMO անսահմանափակ սպասումովև՛ բացարձակ, և՛ հարաբերական թողունակությունը կորցնում են իրենց նշանակությունը, քանի որ յուրաքանչյուր մուտքային հարցում վաղ թե ուշ սպասարկվելու է: Նման QS-ի համար կարևոր ցուցանիշներն են.
Համար Խառը տեսակ QSօգտագործվում են ցուցիչների երկու խմբերը՝ և՛ հարաբերական, և՛ բացարձակ թողունակություն, և ակնկալիքի բնութագրերը:
Կախված հերթագրման գործողության նպատակից՝ որպես արդյունավետության չափանիշ կարող է ընտրվել տրված ցուցիչներից որևէ մեկը (կամ ցուցիչների մի շարք):
Վերլուծական մոդել QS-ը հավասարումների կամ բանաձևերի մի շարք է, որոնք թույլ են տալիս որոշել համակարգի վիճակների հավանականությունը իր գործունեության ընթացքում և հաշվարկել կատարողականի ցուցանիշները՝ ելնելով մուտքային հոսքի և սպասարկման ալիքների հայտնի բնութագրերից:
Չկա կամայական QS-ի ընդհանուր վերլուծական մոդել. Վերլուծական մոդելներ են մշակվել QS-ի սահմանափակ թվով հատուկ դեպքերի համար: Վերլուծական մոդելները, որոնք քիչ թե շատ ճշգրիտ արտացոլում են իրական համակարգերը, սովորաբար բարդ են և դժվար է պատկերացնել:
QS-ի վերլուծական մոդելավորումը մեծապես հեշտացվում է, եթե QS-ում տեղի ունեցող գործընթացները մարկովյան են (հարցումների հոսքերը պարզ են, սպասարկման ժամանակները բաշխված են էքսպոնենցիալ): Այս դեպքում QS-ում բոլոր գործընթացները կարելի է նկարագրել սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով, իսկ սահմանափակման դեպքում՝ անշարժ վիճակների համար՝ գծային հանրահաշվական հավասարումներով և, լուծելով դրանք, կարող են որոշվել ընտրված արդյունավետության ցուցանիշները։
Եկեք նայենք որոշ QS-ի օրինակներին:
2.5.1. Բազմալիքային QS խափանումներով
Օրինակ 2.5. Երեք ճանապարհային տեսուչներ ստուգում են բեռնատարների վարորդների ուղեգրերը. Եթե գոնե մեկ տեսուչ ազատ է, անցնող բեռնատարը կանգնեցնում են։ Եթե բոլոր տեսուչները զբաղված են, բեռնատարն անցնում է առանց կանգ առնելու։ Բեռնատարների հոսքը պարզ է, ստուգման ժամանակը պատահական է՝ էքսպոնենցիալ բաշխմամբ։
Այս իրավիճակը կարող է մոդելավորվել երեք ալիքով QS-ի կողմից՝ ձախողումներով (հերթ չկա): Համակարգը բաց օղակաձև է, միատարր պահանջներով, միաֆազ, բացարձակ հուսալի կապուղիներով։
Նահանգների նկարագրությունը.
Բոլոր տեսուչներն ազատ են.
Մեկ տեսուչ զբաղված է.
Երկու տեսուչ զբաղված են.
Երեք տեսուչներ զբաղված են.
Համակարգի վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 2.11.
Բրինձ. 2.11.
Գրաֆիկի վրա. - բեռնատարների հոսքի ինտենսիվությունը. - մեկ ճանապարհային տեսուչի կողմից փաստաթղթերի ստուգման ինտենսիվությունը.
Մոդելավորումն իրականացվում է՝ որոշելու համար տրանսպորտային միջոցների այն մասը, որը չի փորձարկվի:
Լուծում
Հավանականության պահանջվող մասը բոլոր երեք տեսուչների աշխատանքի տեղավորման հավանականությունն է։ Քանի որ վիճակի գրաֆիկը ներկայացնում է «մահվան և վերարտադրության» բնորոշ սխեման, մենք կգտնենք կախվածության օգտագործումը (2.2):
Այս երթևեկության տեսուչի հաստիքի թողունակությունը կարելի է բնութագրել հարաբերական թողունակությունը:
Օրինակ 2.6. Հետախուզական խմբի հաշվետվությունները ստանալու և մշակելու համար ասոցիացիայի հետախուզության վարչությունում նշանակվել է երեք սպաներից բաղկացած խումբ։ Հաշվետվությունների հոսքի ակնկալվող ինտենսիվությունը ժամում 15 հաղորդում է: Մեկ սպայի կողմից մեկ զեկույցի մշակման միջին ժամանակը կազմում է: Յուրաքանչյուր սպա կարող է հաշվետվություններ ստանալ ցանկացած հետախուզական խմբից: Ազատ արձակված սպան մշակում է ստացված հաշվետվություններից վերջինը։ Մուտքային հաշվետվությունները պետք է մշակվեն առնվազն 95% հավանականությամբ:
Որոշեք, թե արդյոք նշանակված երեք սպաներից բաղկացած թիմը բավարար է հանձնարարված առաջադրանքը կատարելու համար:
Լուծում
Սպաների խումբը գործում է որպես CMO խափանումներով՝ բաղկացած երեք ալիքներից։
Զեկույցների հոսքը ինտենսիվությամբ 
կարելի է համարել ամենապարզը, քանի որ դա մի քանի հետախուզական խմբերի ընդհանուր է։ Ծառայության ինտենսիվությունը 
. Բաշխման օրենքը անհայտ է, բայց դա անկարևոր է, քանի որ ցույց է տրվել, որ խափանումներով համակարգերի համար այն կարող է կամայական լինել:
Վիճակների նկարագրությունը և QS-ի վիճակի գրաֆիկը նման են օրինակ 2.5-ում տրվածներին:
Քանի որ վիճակի գրաֆիկը «մահվան և վերարտադրության» սխեմա է, դրա համար կան պատրաստի արտահայտություններ վիճակի սահմանափակող հավանականությունների համար.
Վերաբերմունքը կոչվում է հաշվի առնելով դիմումների հոսքի ինտենսիվությունը. Դրա ֆիզիկական նշանակությունը հետևյալն է. արժեքը ներկայացնում է QS ստացված հարցումների միջին թիվը մեկ հարցումը սպասարկելու միջին ժամանակահատվածում:
Օրինակում 
.
Քննարկվող QS-ում խափանում է տեղի ունենում, երբ բոլոր երեք ալիքները զբաղված են, այսինքն. Ապա.
Որովհետև ձախողման հավանականությունըհաշվետվությունների մշակման ժամանակ կազմում է ավելի քան 34% (), ապա անհրաժեշտ է ավելացնել խմբի անձնակազմը: Կրկնապատկենք խմբի կազմը, այսինքն՝ CMO-ն այժմ կունենա վեց ալիք, և հաշվարկենք.
Այսպիսով, միայն վեց սպաներից բաղկացած խումբը կկարողանա 95% հավանականությամբ մշակել մուտքային հաշվետվությունները։
2.5.2. Բազմաալիք QS սպասմամբ
Օրինակ 2.7. Գետի անցման հատվածում կան 15 նմանատիպ անցման օբյեկտներ։ Անցում ժամանող սարքավորումների հոսքը միջինում 1 միավոր/րոպե է, մեկ միավոր տեխնիկայի հատման միջին ժամանակը 10 րոպե է (ներառյալ անցնող մեքենայի վերադարձը):
Գնահատեք անցման հիմնական բնութագրերը, ներառյալ սարքավորումների միավորի ժամանումից անմիջապես հետո անմիջապես հատելու հավանականությունը:
Լուծում
Բացարձակ թողունակություն, այսինքն՝ այն ամենը, ինչ մոտենում է անցմանը, գործնականում անմիջապես հատվում է։
Գործող անցման օբյեկտների միջին թիվը.
Լաստանավերի օգտագործման և պարապուրդի սակագները.
Օրինակը լուծելու համար նաև ծրագիր է մշակվել։ Ենթադրվում է, որ անցում կատարելու համար սարքավորումների ժամանման միջակայքերը և հատման ժամանակը բաշխված են ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի:
50 վազքից հետո անցման օգտագործման տեմպերը գրեթե նույնն են. 
.
Հերթի առավելագույն երկարությունը 15 միավոր է, հերթում անցկացրած միջին ժամանակը մոտ 10 րոպե է:
QS ծառայության նպատակը. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է մեկ ալիք QS-ի հետևյալ ցուցանիշները հաշվարկելու համար.- ալիքի խափանման հավանականությունը, ազատ ալիքի հավանականությունը, բացարձակ թողունակությունը;
- հարաբերական թողունակություն, միջին սպասարկման ժամանակ, միջին ալիքի անջատման ժամանակ:
Հրահանգներ. Նման խնդիրները առցանց լուծելու համար ընտրեք QS մոդելը։ Նշեք պահանջարկի հոսքի ինտենսիվություն λԵվ ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը μ. Սահմանափակ հերթի երկարությամբ մեկ ալիք QS-ի համար կարող եք նշել հերթի երկարությունը մ, իսկ անսահմանափակ հերթով մեկ ալիք QS-ի համար՝ հերթում գտնվող հավելվածների քանակը (այս հավելվածների հերթում լինելու հավանականությունը հաշվարկելու համար)։ տե՛ս լուծման օրինակ: . Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում:
Մեկալիքային հերթերի համակարգերի դասակարգում
Օրինակ թիվ 1. Ավտոբենզալցակայանը ունի մեկգազալցակայան. Ենթադրվում է, որ մեքենաների ամենապարզ հոսքը կայան է մտնում λ=11 վագոն/ժամ ինտենսիվությամբ։ Հարցման սպասարկման ժամանակը պատահական փոփոխական է, որը ենթարկվում է էքսպոնենցիալ օրենքին μ=14 ավտոմեքենա/ժամ պարամետրով: Որոշեք կայարանում մեքենաների միջին թիվը:
Օրինակ թիվ 2. Մեկ տեսչական խմբով մեքենաների կանխարգելիչ ստուգում իրականացնելու կետ կա. Յուրաքանչյուր մեքենայի թերությունները ստուգելու և հայտնաբերելու համար պահանջվում է միջինը 0,4 ժամ: Օրական միջինը տեխզննման է ընդունվում 328 մեքենա։ Հարցումների և ծառայությունների հոսքերը ամենապարզն են: Եթե տեխզննման կետ ժամանող մեքենան որևէ կապուղի ազատ չի գտնում, ապա այն թողնում է զննման կետը չսպասարկվող: Որոշել կանխարգելիչ զննման կետի պայմանների և պահպանման բնութագրերի սահմանափակող հավանականությունները:
Լուծում. Այստեղ α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4: Այս տվյալները պետք է մուտքագրվեն հաշվիչի մեջ:
Գործնականում բավականին տարածված են հերթով մեկ ալիքով QS-ները (հիվանդներին սպասարկող բժիշկ, մեքենայի հրամաններ կատարող պրոցեսոր): Ուստի անհրաժեշտ է ավելի մանրամասն դիտարկել հերթով մեկ ալիք QS-ը։
Թող լինի մեկ ալիքով QS՝ հերթով, որի վրա սահմանափակումներ չեն դրվում (ոչ հերթի երկարության, ոչ սպասման ժամանակի)։ Այս QS-ը ստանում է դիմումների հոսք l ինտենսիվությամբ; ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը m հակադարձում է միջին պահանջի սպասարկման ժամանակին t մոտ: Պահանջվում է գտնել QS վիճակների վերջնական հավանականությունները, ինչպես նաև դրա արդյունավետության բնութագրերը.
L SYST– համակարգում հայտերի միջին քանակը.
W SYST– հարցումը համակարգում մնալու միջին ժամանակը.
L ՇԱՏ– հերթում հայտերի միջին քանակը.
W ՇԱՏ– հայտի հերթում մնալու միջին ժամանակը.
Պ ԶԱՆ- ալիքի զբաղված լինելու հավանականությունը (ալիքի ծանրաբեռնվածության աստիճանը):
Ինչ վերաբերում է բացարձակ թողունակությանը A-ին և հարաբերական Q-ին, ապա դրանք հաշվարկելու կարիք չկա. քանի որ հերթը անսահմանափակ է, յուրաքանչյուր հարցում վաղ թե ուշ կսպասարկվի, հետևաբար, նույն պատճառով:
Լուծում. Համակարգի վիճակը, ինչպես նախկինում, համարակալվելու է QS-ում առկա դիմումների քանակով.
-Ս 0 - ալիքն անվճար է;
-Ս 1 – ալիքը զբաղված է (խնդրանք է սպասարկում), հերթ չկա.
-Ս 2 – ալիքը զբաղված է, մեկ հարցում հերթագրված է.
-Ս k – ալիքը զբաղված է, k-1դիմումները հերթագրված են.
Տեսականորեն վիճակների թիվն անսահմանափակ է (անսահման): Մահվան և վերարտադրության սխեմայի վերջնական հավանականությունների բանաձևերը ստացվել են միայն վերջավոր թվով վիճակների դեպքում, բայց մենք կկատարենք ենթադրություն, որ դրանք կօգտագործենք անսահման թվով վիճակների համար: Այնուհետև բանաձևի անդամների թիվը կլինի անսահման: Մենք ստանում ենք արտահայտություն p o:
(17) բանաձևի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է: Մենք գիտենք, որ շարքը համընկնում է. դա անսահման նվազող առաջընթաց է հայտարարով r.Երբ շարքը տարբերվում է (ինչն անուղղակի, թեև ոչ խիստ, ապացույց է, որ պետությունների վերջնական հավանականությունները p o, p 1, …, p k,...գոյություն ունեն միայն այն ժամանակ, երբ ): Ապա.
Գտնենք ՀԿԿ դիմումների միջին թիվը L SYST. Պատահական փոփոխական Z - հայտերի քանակը համակարգում - ունի հնարավոր արժեքներ 0, 1, 2, ..., k, ... հավանականություններով: p o, p 1, …, p k,... Նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է.
Օգտագործելով Little-ի բանաձևը (9), մենք գտնում ենք, թե միջին ժամանակը որքան է հարցումը մնում համակարգում.
Գտնենք հերթում ներկայացված դիմումների միջին թիվը։ Մենք կպատճառաբանենք այսպես. հերթում հայտնված դիմումների թիվը հավասար է համակարգում առկա հայտերի քանակին` հանած սպասարկվող դիմումների քանակը: Սա նշանակում է (ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման կանոնի) հերթում հայտերի միջին քանակը. L ՇԱՏհավասար է համակարգի հայտերի միջին թվին L SYSTհանած սպասարկվող դիմումների միջին թիվը: Սպասարկման ենթակա հարցումների թիվը կարող է լինել կամ զրո (եթե ալիքն անվճար է) կամ մեկ (եթե այն զբաղված է): Նման պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ալիքի զբաղված լինելու հավանականությանը Պ ԶԱՆ. Ակնհայտ է, որ.
Հետևաբար, սպասարկման ենթակա հարցումների միջին թիվը հետևյալն է.
Օգտագործելով Little-ի բանաձևը (9), մենք գտնում ենք, թե ինչ միջին ժամանակն է հայտը մնում հերթում:
Բեռնվում է...
