Sākums
Apskatīsim vienkanāla rindu sistēmu ar gaidīšanu.
Mēs pieņemsim, ka ienākošā pakalpojuma pieprasījumu plūsma ir vienkāršākā plūsma ar intensitāti λ.
Pakalpojuma plūsmas intensitāte ir μ. Pakalpojuma ilgums ir nejaušs lielums, uz kuru attiecas eksponenciālās sadales likums. Pakalpojumu plūsma ir vienkāršākā Puasona notikumu plūsma. Pieprasījums, kas saņemts, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu. Mēs pieņemsim, ka rindas lielums ir ierobežots un nevar uzņemt vairāk nekā m aplikācijas, t.i. lietojumprogramma, kas atradās brīdī, kad tā ieradās TKO m +1 pieprasījumi (m
gaida rindā un viens tiek apkalpots) atstāj TKO.
(0‑1)
Vienādojumu sistēmai, kas apraksta procesu šajā sistēmā, ir risinājums:
Pirmās izteiksmes saucējs ir ģeometriskā progresija ar pirmo vārdu 1 un saucēju ρ, no kurienes iegūstam Pie ρ
(0‑8)
= 1 varat izmantot tiešu aprēķinu
Vidējais pieteikumu skaits sistēmā.
(0‑9)
Kopš vidējā pieteikumu skaita sistēmākur ir vidējais apkalpoto lietojumprogrammu skaits, tad, zinot, atliek atrast. Jo ir tikai viens kanāls, tad apkalpoto pieprasījumu skaits var būt 0 vai 1 ar varbūtību P 0 un P 1 = 1 - P 0
(0‑10)
attiecīgi no kurienes
(0‑11)
un vidējais pieteikumu skaits sistēmā ir.
Vidējais rindas pieteikuma gaidīšanas laiks
i., vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā ir vienāds ar vidējo pieteikumu skaitu rindā, kas dalīts ar pieteikumu plūsmas intensitāti.
Laiks, ko lietojumprogramma paliek sistēmā, ir lietojumprogrammas gaidīšanas laika un apkalpošanas laika summa. Ja sistēmas slodze ir 100%, tad =1/μ, pretējā gadījumā = q/μ. No šejienes
(0‑13)
Darba saturs.
Eksperimentālo instrumentu sagatavošana .
Tas tiek veikts līdzīgi saskaņā ar vispārējiem noteikumiem.
Aprēķins, izmantojot analītisko modeli.
1. Sagatavojiet šo tabulu programmā Microsoft Excel.
2. Tabulas QS parametru kolonnās pierakstiet sākotnējos datus, kas noteikti saskaņā ar noteikumu:
m = 1,2,3
(maksimālais rindas garums).
Katrai vērtībai Pieprasījums, kas saņemts, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu. Mēs pieņemsim, ka rindas lielums ir ierobežots un nevar uzņemt vairāk nekā nepieciešams atrast QS rādītāju teorētiskās un eksperimentālās vērtības šādiem vērtību pāriem:
= <порядковый номер в списке группы>
3. Ievadiet atbilstošās formulas kolonnās ar analītiskā modeļa indikatoriem.
Eksperimentējiet ar simulācijas modeli.
1. Iestatiet palaišanas režīmu ar eksponenciāli sadalītu apkalpošanas laiku, iestatot atbilstošā parametra vērtību uz 1.
2. Katrai kombinācijai Pieprasījums, kas saņemts, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu. Mēs pieņemsim, ka rindas lielums ir ierobežots un nevar uzņemt vairāk nekā un palaidiet modeli.
3. Ievadiet skrējienu rezultātus tabulā.
4. Ievadiet formulas rādītāja vidējās vērtības aprēķināšanai tabulas atbilstošajās ailēs P atvērts, q un A.
Rezultātu analīze .
1. Analizēt iegūtos rezultātus ar teorētiskām un eksperimentālām metodēm, salīdzinot rezultātus savā starpā.
2. Ja m=3, attēlojiet atkarības vienā diagrammā P atvērts no teorētiski un eksperimentāli iegūtiem datiem.
QS parametru optimizācija .
Atrisiniet uzdevumu optimizēt vietu skaita lielumu rindā Pieprasījums, kas saņemts, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu. Mēs pieņemsim, ka rindas lielums ir ierobežots un nevar uzņemt vairāk nekā ierīcei ar vidējo kalpošanas laiku = no maksimālās peļņas gūšanas viedokļa. Kā problēmas nosacījumus ņemiet vērā:
- ienākumi no viena pieteikuma apkalpošanas 80 USD/stundā,
- vienas ierīces uzturēšanas izmaksas ir vienādas ar 1cu/stundā.
1. Aprēķiniem ieteicams izveidot tabulu:
Pirmā kolonna ir aizpildīta ar skaitļu vērtībām naturālajās rindās (1,2,3...).
Visas šūnas otrajā un trešajā kolonnā ir aizpildītas ar un vērtībām.
0. sadaļas tabulas kolonnu formulas tiek pārnestas uz kolonnu šūnām no ceturtās uz devīto.
Kolonnās ar sākuma datiem sadaļā Ienākumi, Izdevumi, Peļņa ievadiet vērtības (skatīt iepriekš).
Slejās ar sadaļu Ienākumi, Izdevumi, Peļņa aprēķinātajām vērtībām pierakstiet aprēķina formulas:
- pieteikumu skaits laika vienībā
N r = A
- kopējie ienākumi uz laika vienību
I S = I r *N r
- kopējais patēriņš laika vienībā
E S =E s + E q * (n-1)
- peļņa uz laika vienību
P = I S - E S
Kur
Ir - ienākumi no viena pieteikuma,
E s - vienas ierīces ekspluatācijas izmaksas,
Eq - izmaksas par vienas vietas ekspluatāciju rindā.
P atvērtie grafiki,
- tabula ar datiem, lai atrastu labāko m un m opt vērtība,
- peļņas grafiks laika vienībā pret m.
Drošības jautājumi :
1) Sniedziet īsu viena kanāla ierobežotas rindas QS modeļa aprakstu.
2) Kādi rādītāji raksturo vienkanāla QS darbību ar kļūmēm?
3) Kā aprēķina varbūtību p 0 ?
4) Kā aprēķina varbūtības p es?
5) Kā noteikt lietojumprogrammas apkalpošanas kļūmes iespējamību?
6) Kā atrast relatīvo joslas platumu?
7) Kāda ir absolūtā caurlaidspēja?
8) Kā tiek aprēķināts vidējais pieteikumu skaits sistēmā?
9) Sniedziet QS piemērus ar ierobežotu rindu.
Uzdevumi.
1) Ostā ir viena kravas piestātne kuģu izkraušanai. Plūsmas ātrums ir 0,5 apmeklējumi dienā. Viena kuģa vidējais izkraušanas laiks ir 2 dienas. Ja rindā uz izkraušanu ir 3 kuģi, tad pienākušais kuģis tiek nosūtīts uz citu piestātni izkraušanai. Atrodiet piestātnes veiktspējas rādītājus.
2) Dzelzceļa stacijas informācijas pults saņem telefona pieprasījumus ar intensitāti 80 pieprasījumi stundā. Palīdzības dienesta operators uz ienākošo zvanu atbild vidēji 0,7 minūtēs. Ja operators ir aizņemts, klients saņem ziņojumu “Sagaidi atbildi” pieprasījums tiek ievietots rindā, kuras garums nepārsniedz 4 pieprasījumus. Sniedziet novērtējumu par palīdzības dienesta darbu un iespēju tā reorganizēt
Krievijas Federācijas federālā izglītības aģentūra
FGOU SPO "Perevozsky Celtniecības koledža"
Kursu darbs
disciplīnā "Matemātikas metodes"
par tēmu “SMO ar ierobežotu gaidīšanas laiku. Slēgts QS"
Ievads.................................................. ...................................................... ........................ 2
1. Rindas teorijas pamati................................................ ........ ...... 3
1.1 Nejauša procesa jēdziens................................................ ...................................... 3
1.2 Markova izlases process................................................ ...................... 4
1.3 Notikumu straumes................................................ .............................................................. .............. 6
1.4 Kolmogorova vienādojumi stāvokļu varbūtībām. Stāvokļu galīgās varbūtības.................................................. ...................................................... ...................... 9
1.5 Rindas teorijas problēmas................................................ ...... .. 13
1.6. Rindu sistēmu klasifikācija................................................. ...... 15
2. Rindas sistēmas ar gaidīšanu................................................ ....... 16
2.1 Viena kanāla QS ar gaidīšanu................................................ ...................... 16
2.2. Daudzkanālu QS ar gaidīšanu................................... ......... ......... 25
3. Slēgts QS................................................. ...................................................... ... 37
Problēmas risinājums .................................................. ..................................................... 45
Secinājums.................................................. .................................................. ...... .50
Atsauces.................................................. .............................................. 51
Šajā kursā apskatīsim dažādas rindas sistēmas (QS) un rindu tīklus (Queuing).
Rindas sistēma (QS) tiek saprasta kā dinamiska sistēma, kas izstrādāta, lai efektīvi apkalpotu pieprasījumu plūsmu (pakalpojuma prasības), ievērojot sistēmas resursu ierobežojumus.
QS modeļi ir ērti, lai aprakstītu atsevišķas mūsdienu skaitļošanas sistēmu apakšsistēmas, piemēram, procesoru apakšsistēmu - galvenā atmiņa, ievades-izejas kanāls u.c. Skaitļošanas sistēma kopumā ir savstarpēji saistītu apakšsistēmu kopums, kuru mijiedarbība ir ticama. Lietojumprogramma noteiktas problēmas risināšanai, ievadot skaitļošanas sistēmu, iziet skaitīšanas posmu secību, piekļūstot ārējām atmiņas ierīcēm un ievades-izejas ierīcēm. Pēc noteiktas šādu posmu secības pabeigšanas, kuru skaits un ilgums ir atkarīgs no programmas sarežģītības, pieprasījums tiek uzskatīts par apkalpotu un atstāj datorsistēmu. Tādējādi skaitļošanas sistēmu kopumā var attēlot ar QS kopu, no kurām katra atspoguļo atsevišķas ierīces vai līdzīgu ierīču grupas darbības procesu, kas ir sistēmas daļa.
Savstarpēji savienotu QS kopu sauc par rindas tīklu (stohastisko tīklu).
Sākumā mēs apskatīsim QS teorijas pamatus, pēc tam mēs detalizēti iepazīsimies ar QS ar gaidīto un slēgto QS. Kursā iekļauta arī praktiskā daļa, kurā detalizēti apgūsim teoriju pielietot praksē.
Rindas teorija ir viena no varbūtību teorijas nozarēm. Šī teorija uzskata varbūtības problēmas un matemātiskie modeļi (pirms tam mēs aplūkojām deterministiskus matemātiskos modeļus). Atgādināsim, ka:
Deterministiskais matemātiskais modelis atspoguļo objekta (sistēmas, procesa) uzvedību no perspektīvas pilnīga pārliecība tagadnē un nākotnē.
Varbūtības matemātiskais modelisņem vērā nejaušu faktoru ietekmi uz objekta (sistēmas, procesa) uzvedību un līdz ar to izvērtē nākotni no noteiktu notikumu iespējamības viedokļa.
Tie. šeit, kā, piemēram, spēļu teorijā tiek aplūkotas problēmas apstākļos nenoteiktība .
Vispirms apskatīsim dažus jēdzienus, kas raksturo “stohastisko nenoteiktību”, kad problēmā iekļautie nenoteiktie faktori ir nejauši mainīgie (vai gadījuma funkcijas), kuru varbūtības raksturlielumi ir zināmi vai iegūstami no pieredzes. Šādu nenoteiktību sauc arī par “labvēlīgu”, “labdabīgu”.
Stingri sakot, nejauši traucējumi ir raksturīgi jebkuram procesam. Ir vieglāk sniegt piemērus nejaušam procesam nekā “nejaušam” procesam. Pat, piemēram, pulksteņa darbināšanas process (šķiet, ka tas ir stingri kalibrēts darbs - “darbojas kā pulkstenis”) ir pakļauts nejaušām izmaiņām (virzīšanās uz priekšu, atpalikšana, apstāšanās). Bet, kamēr šie traucējumi ir nenozīmīgi un maz ietekmē mūs interesējošos parametrus, mēs varam tos atstāt novārtā un uzskatīt procesu par deterministisku, nejaušu.
Lai ir kāda sistēma S(tehniskā iekārta, šādu ierīču grupa, tehnoloģiskā sistēma - mašīna, objekts, darbnīca, uzņēmums, rūpniecība utt.). Sistēmā S noplūdes nejaušs process, ja tas laika gaitā maina savu stāvokli (pāriet no viena stāvokļa citā), turklāt iepriekš nezināmā nejaušā veidā.
Piemēri:
1. Sistēma S– tehnoloģiskā sistēma (mašīnu sekcija). Mašīnas ik pa laikam sabojājas un tiek remontētas. Šajā sistēmā notiekošais process ir nejaušs.
2. Sistēma S- gaisa kuģis, kas lido noteiktā augstumā noteiktā maršrutā. Traucējošie faktori – laikapstākļi, apkalpes kļūdas u.c., sekas – nelīdzenumi, lidojumu grafika pārkāpšana u.c.
Tiek saukts nejaušs process, kas notiek sistēmā Markovskis, ja uz kādu brīdi t 0 procesa varbūtības raksturlielumi nākotnē ir atkarīgi tikai no tā pašreizējā stāvokļa t 0 un nav atkarīgi no tā, kad un kā sistēma sasniedza šo stāvokli.
Ļaujiet sistēmai atrasties noteiktā stāvoklī brīdī t 0 S 0 . Mēs zinām sistēmas stāvokļa īpašības tagadnē un visu, kas notika laikā t <t 0 (procesa vēsture). Vai varam paredzēt (paredzēt) nākotni, t.i. kas notiks kad t >t 0 ? Ne gluži, bet nākotnē var atrast dažus procesa varbūtības raksturlielumus. Piemēram, varbūtība, ka pēc kāda laika sistēma S varēs S 1 vai paliks stāvoklī S 0 utt.
Piemērs. Sistēma S- gaisa kuģu grupa, kas piedalās gaisa kaujās. Ļaujiet x– “sarkano” lidmašīnu skaits, y– “zilo” lidmašīnu skaits. Līdz laikam t 0 izdzīvojušo (nav notriekto) lidmašīnu skaits attiecīgi – x 0 , y 0 . Mūs interesē varbūtība, ka kādā brīdī skaitliskais pārsvars būs “sarkano” pusē. Šī varbūtība ir atkarīga no tā, kādā stāvoklī sistēma tajā laikā bija t 0, nevis par to, kad un kādā secībā notriektie gāja bojā līdz pat brīdim t 0 lidmašīnas.
Praksē Markova procesi tīrā veidā parasti nav sastopami. Bet ir procesi, kuros “aizvēstures” ietekmi var atstāt novārtā. Un, pētot šādus procesus, var izmantot Markova modeļus (rindu teorijā netiek ņemtas vērā Markova rindu sistēmas, bet matemātiskais aparāts, kas tos apraksta, ir daudz sarežģītāks).
Operāciju izpētē liela nozīme ir Markova nejaušajiem procesiem ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku.
Procesu sauc diskrēta stāvokļa process, ja tas ir iespējams S 1 , S 2, ... var noteikt iepriekš, un sistēmas pāreja no stāvokļa uz stāvokli notiek “lēcienā”, gandrīz acumirklī.
Procesu sauc nepārtraukts laika process, ja iespējamo pāreju no stāvokļa uz stāvokli momenti nav iepriekš fiksēti, bet ir nenoteikti, nejauši un var iestāties jebkurā brīdī.
Piemērs. Tehnoloģiskā sistēma (sadaļa) S sastāv no divām mašīnām, no kurām katra var sabojāties (neatteicies) nejaušā laika momentā, pēc kā uzreiz sākas agregāta remonts, kas arī turpinās nezināmu, nejaušu laiku. Ir iespējami šādi sistēmas stāvokļi:
S 0 - abas mašīnas darbojas;
S 1 - pirmā mašīna tiek remontēta, otrā darbojas;
S 2 - otrā mašīna tiek remontēta, pirmā darbojas;
S 3 - abas mašīnas tiek remontētas.
Sistēmas pārejas S no stāvokļa uz stāvokli notiek gandrīz acumirklī, nejaušos brīžos, kad kāda konkrēta iekārta sabojājas vai tiek pabeigts remonts.
Analizējot nejaušus procesus ar diskrētiem stāvokļiem, ir ērti izmantot ģeometrisko shēmu - stāvokļa grafiks. Grafa virsotnes ir sistēmas stāvokļi. Grafika loki ir iespējamās pārejas no stāvokļa uz stāvokli. Mūsu piemērā stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 1.
Rīsi. 1. Sistēmas stāvokļa grafiks
Piezīme. Pāreja no stāvokļa S 0 collas S 3 attēlā nav norādīts, jo tiek pieņemts, ka mašīnas nedarbojas neatkarīgi viena no otras. Mēs neņemam vērā iespēju vienlaikus sabojāt abas mašīnas.
Pasākumu straume– viendabīgu notikumu secība, kas seko viens pēc otra dažos nejaušos laika momentos.
Iepriekšējā piemērā tā ir kļūdu plūsma un atjaunošanas plūsma. Citi piemēri: zvanu plūsma telefona centrālē, klientu plūsma veikalā utt.
Notikumu plūsmu var vizuāli attēlot ar punktu sēriju uz laika ass O t- rīsi. 2.
Rīsi. 2. Notikumu plūsmas attēls uz laika ass
Katra punkta pozīcija ir nejauša, un šeit ir attēlota tikai viena plūsmas realizācija.
Notikumu plūsmas intensitāte ( ) ir vidējais notikumu skaits laika vienībā.
Apskatīsim dažus notikumu straumju rekvizītus (veidus).
Notikumu straumi sauc stacionārs, ja tā varbūtības raksturlielumi nav atkarīgi no laika.
Jo īpaši stacionārās plūsmas intensitāte ir nemainīga. Notikumu plūsmai neizbēgami ir kondensācijas vai retumi, taču tiem nav regulāra rakstura, un vidējais notikumu skaits laika vienībā ir nemainīgs un nav atkarīgs no laika.
Notikumu straumi sauc plūsma bez sekām, ja jebkuriem diviem nepārklājošiem laika posmiem un (sk. 2. att.) notikumu skaits, kas krīt uz vienu no tiem, nav atkarīgs no tā, cik notikumu krīt uz otru. Citiem vārdiem sakot, tas nozīmē, ka notikumi, kas veido plūsmu, parādās noteiktos laika punktos neatkarīgi viens no otra un katru no tiem izraisa savi cēloņi.
Notikumu straumi sauc parasts, ja notikumi tajā parādās pa vienam, nevis grupās pa vairākiem uzreiz.
Notikumu straumi sauc vienkāršākais (vai stacionārais Puasons), ja tam ir trīs rekvizīti vienlaikus:
1) stacionārs;
2) parastais;
3) tam nav seku.
Vienkāršākajai plūsmai ir visvienkāršākais matemātiskais apraksts. Tam ir tāda pati īpašā loma plūsmās kā normālā sadalījuma likumam starp citiem sadales likumiem. Proti, uzklājot pietiekami lielu skaitu neatkarīgu, stacionāru un parastu plūsmu (salīdzināmas savā starpā pēc intensitātes), tiek iegūta plūsma, kas ir tuvu vienkāršākajām.
Vienkāršākajai plūsmai ar intensitātes intervālu T starp kaimiņu pasākumiem ir t.s eksponenciālais sadalījums ar blīvumu:
kur ir eksponenciālā likuma parametrs.
Nejaušam mainīgajam T, kam ir eksponenciāls sadalījums, matemātiskā cerība ir parametra apgrieztā vērtība, un standarta novirze ir vienāda ar matemātisko cerību:
Ņemot vērā Markova procesus ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku, tiek pieņemts, ka visas sistēmas pārejas S no stāvokļa uz stāvokli notiek vienkāršu notikumu plūsmu ietekmē (zvanu plūsmas, atteices plūsmas, atkopšanas plūsmas utt.). Ja visas notikumu plūsmas pārsūta sistēmu S no stāvokļa uz vienkāršākā stāvokļa stāvokli, tad sistēmā notiekošais process būs Markova.
Tātad sistēmu stāvoklī ietekmē vienkārša notikumu plūsma. Tiklīdz parādās pirmais šīs plūsmas notikums, sistēma “lec” no stāvokļa uz stāvokli (stāvokļa grafikā gar bultiņu).
Skaidrības labad sistēmas stāvokļa grafikā katram lokam ir norādīta notikumu plūsmas intensitāte, kas pārvieto sistēmu pa šo loku (bultiņu). - notikumu plūsmas intensitāte, kas pārnes sistēmu no stāvokļa uz . Tādu grafiku sauc atzīmēts. Mūsu piemērā iezīmētais grafiks ir parādīts attēlā. 3.
Rīsi. 3. Iezīmēts sistēmas stāvokļa grafiks
Šajā attēlā - atteices plūsmas intensitāte; - atveseļošanās plūsmas intensitāte.
Mēs pieņemam, ka vidējais mašīnas remonta laiks nav atkarīgs no tā, vai tiek remontēta viena mašīna vai abas vienlaikus. Tie. Katru mašīnu remontē atsevišķs speciālists.
Lai sistēma ir stāvoklī S 0 . Stāvoklī S 1 tas tiek tulkots ar pirmās mašīnas atteices plūsmu. Tās intensitāte ir vienāda ar:
kur ir pirmās mašīnas vidējais bezatteices darbības laiks.
No valsts S 1 colla S 0 sistēma tiek pārnesta ar pirmās iekārtas “remonta pabeigšanu” plūsmu. Tās intensitāte ir vienāda ar:
kur ir vidējais pirmās mašīnas remonta laiks.
Līdzīgi tiek aprēķinātas notikumu plūsmu intensitātes, kas pārnes sistēmu pa visiem grafika lokiem. Kad mūsu rīcībā ir iezīmēts sistēmas stāvokļu grafiks, mēs veidojam matemātiskais modelis no šī procesa.
Ļaujiet izskatāmajai sistēmai S ir -iespējami stāvokļi. Stāvokļa varbūtība ir varbūtība, ka konkrētajā brīdī sistēma būs stāvoklī. Ir skaidrs, ka jebkurā laika brīdī visu stāvokļa varbūtību summa ir vienāda ar vienu:
Lai atrastu visas stāvokļu varbūtības kā laika funkcijas, sastādiet un atrisiniet Kolmogorova vienādojumi– īpašs vienādojuma veids, kurā nezināmās funkcijas ir stāvokļu varbūtības. Šo vienādojumu sastādīšanas noteikums šeit ir sniegts bez pierādījumiem. Bet pirms tā ieviešanas izskaidrosim jēdzienu galīgā stāvokļa varbūtība .
Kas notiks ar stāvokļa varbūtībām plkst. Vai viņi tieksies pēc kaut kādām robežām? Ja šīs robežas pastāv un nav atkarīgas no sistēmas sākotnējā stāvokļa, tad tās tiek izsauktas galīgās stāvokļa varbūtības .
kur ir ierobežots sistēmas stāvokļu skaits.
Gala stāvokļa varbūtības– tie vairs nav mainīgi lielumi (laika funkcijas), bet nemainīgi skaitļi. Ir skaidrs, ka:
Galīgā stāvokļa varbūtība būtībā ir vidējais relatīvais laiks, kad sistēma paliek šajā stāvoklī.
Piemēram, sistēma S ir trīs štati S 1 , S 2 un S 3. To galīgās varbūtības ir attiecīgi 0,2; 0,3 un 0,5. Tas nozīmē, ka sistēma ierobežojošā stacionārā stāvoklī pavada stāvoklī vidēji 2/10 sava laika S 1, 3/10 – spēj S 2 un 5/10 – spēj S 3 .
Kolmogorova vienādojumu sistēmas sastādīšanas noteikums: katrā sistēmas vienādojumā kreisajā pusē ir noteiktā stāvokļa galīgā varbūtība, kas reizināta ar visu plūsmu kopējo intensitāti, kas ved no šī stāvokļa, A viņa labajā pusē daļas– visu plūsmu intensitātes produktu summa, iekļauts - valsts, par to stāvokļu varbūtību, no kuriem šīs plūsmas nāk.
Izmantojot šo noteikumu, mēs rakstām vienādojumu sistēmu mūsu piemēram :
.
Šķiet, ka šo četru vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem var pilnībā atrisināt. Bet šie vienādojumi ir viendabīgi (tiem nav brīva vārda), un tāpēc tie nosaka nezināmos tikai līdz patvaļīgam faktoram. Tomēr jūs varat izmantot normalizācijas nosacījumu: 
un izmantojiet to, lai atrisinātu sistēmu. Šajā gadījumā vienu (jebkuru) no vienādojumiem var atmest (tas izriet no pārējiem).
Piemēra turpinājums. Lai plūsmas intensitātes ir vienādas ar: .
Mēs atmetam ceturto vienādojumu un tā vietā pievienojam normalizācijas nosacījumu:
.
Tie. ierobežojošā, stacionārajā režīmā sistēma S vidēji 40% laika tiks pavadīti stāvoklī S 0 (abas mašīnas darbojas), 20% - labā stāvoklī S 1 (pirmā mašīna tiek remontēta, otrā darbojas), 27% - stāvoklī S 2 (otrā mašīna tiek remontēta, pirmā darbojas), 13% - stāvoklī S 3 (abas mašīnas tiek remontētas). Zinot šīs galīgās varbūtības, var novērtēt sistēmas vidējo efektivitāti un remonta orgānu darba slodzi.
Ļaujiet sistēmai S spēj S 0 (pilnībā darbojas) nes ienākumus 8 parastās vienības laika vienībā, spēj S 1 – ienākumi 3 nosacītās vienības, spēj S 2 – ienākumi 5 nosacītās vienības, spēj S 3 – nerada ienākumus. Tad ierobežojošā, stacionārā režīmā vidējie ienākumi uz laika vienību būs vienādi ar: konvencionālajām vienībām.
1. mašīna tiek salabota laika daļā, kas vienāda ar: . 2. mašīna tiek salabota laika daļā, kas vienāda ar: . Rodas optimizācijas problēma. Pat ja mēs varam samazināt pirmās vai otrās mašīnas (vai abu) vidējo remonta laiku, tas mums izmaksās noteiktu summu. Jautājums ir, vai palielinātie ieņēmumi, kas saistīti ar ātrāku remontdarbu veikšanu, atmaksās palielinātās remonta izmaksas? Jums būs jāatrisina četru vienādojumu sistēma ar četriem nezināmajiem.
Rindas sistēmu (QS) piemēri: telefonu centrāles, remontdarbnīcas, biļešu kases, informācijas galdi, darbgaldi un citas tehnoloģiskās sistēmas, elastīgu ražošanas sistēmu vadības sistēmas u.c.
Katrs QS sastāv no noteikta skaita servisa vienību, kuras tiek izsauktas pakalpojumu kanāliem(tās ir mašīnas, transporta rati, roboti, sakaru līnijas, kasieri, pārdevēji utt.). Katrs QS ir paredzēts, lai kalpotu kāda veida lietojumprogrammu plūsma(prasības), kas ierodas dažos nejaušos laika momentos.
Pieprasījuma apkalpošana turpinās kādu, vispārīgi runājot, nejaušu laiku, pēc kura kanāls tiek atbrīvots un gatavs saņemt nākamo pieprasījumu. Lietojumprogrammu plūsmas un apkalpošanas laika nejaušības raksturs noved pie tā, ka dažos laika periodos QS ieejā uzkrājas pārmērīgi liels lietojumprogrammu skaits (tās vai nu ierindojas rindā, vai atstāj QS neapkalpotu). Citos periodos sistēma darbosies ar nepietiekamu slodzi vai būs pilnīgi dīkstāvē.
QS darbības process ir nejaušs process ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku. QS stāvoklis pēkšņi mainās, kad notiek noteikti notikumi (jaunas aplikācijas ienākšana, servisa beigas, brīdis, kad no rindas iziet aplikācija, kurai apnicis gaidīt).
Rindu teorijas priekšmets– matemātisko modeļu konstruēšana, kas sasaista dotos QS darbības nosacījumus (kanālu skaitu, to produktivitāti, darbības noteikumus, pieprasījumu plūsmas raksturu) ar mūs interesējošām pazīmēm – QS efektivitātes rādītājiem. Šie rādītāji raksturo TKO spēju tikt galā ar pieteikumu plūsmu. Tie var būt: vidējais QS apkalpoto pieteikumu skaits laika vienībā; vidējais aizņemto kanālu skaits; vidējais pieteikumu skaits rindā; vidējais apkalpošanas gaidīšanas laiks utt.
QS darba matemātiskā analīze ir ievērojami atvieglota, ja šī darba process ir Markova, t.i. notikumu straumes, kas pārnes sistēmu no stāvokļa uz stāvokli, ir visvienkāršākās. Pretējā gadījumā procesa matemātiskais apraksts kļūst ļoti sarežģīts, un to reti ir iespējams novest līdz konkrētām analītiskām atkarībām. Praksē ne-Markova procesi tiek reducēti uz Markova procesiem ar tuvinājumu. Sekojošais matemātiskais aparāts apraksta Markova procesus.
Pirmā nodaļa (pamatojoties uz rindu klātbūtni):
1. QS ar kļūmēm;
2. Rinda ar rindu.
QS ar neveiksmēm pieteikums, kas saņemts laikā, kad visi kanāli ir aizņemti, tiek noraidīts, iziet no QS un turpmāk netiek apkalpots.
SMO ar rindu aplikācija, kas pienāk laikā, kad visi kanāli ir aizņemti, neaiziet, bet nokļūst rindā un gaida, kad tiks apkalpota.
QS ar rindām ir sadalītas dažādos veidos atkarībā no rindas veida - ierobežots vai neierobežots. Ierobežojumi var attiekties gan uz rindas garumu, gan gaidīšanas laiku, “apkalpošanas disciplīnu”.
Tātad, piemēram, tiek ņemti vērā šādi QS:
· TKO ar nepacietīgiem pieprasījumiem (rindas garums un apkalpošanas laiks ir ierobežots);
· QS ar prioritāro servisu, t.i. daži pieteikumi tiek apstrādāti ārpus kārtas utt.
Turklāt QS tiek iedalītas atvērtās QS un slēgtās QS.
Atvērtā QS pieprasījumu plūsmas raksturlielumi nav atkarīgi no paša QS stāvokļa (cik kanālu ir aizņemti). Slēgtā QS- atkarīgs. Piemēram, ja viens strādnieks apkalpo mašīnu grupu, kurām ik pa laikam nepieciešama regulēšana, tad “pieprasījumu” plūsmas intensitāte no mašīnām ir atkarīga no tā, cik no tām jau darbojas un gaida regulēšanu.
SMO klasifikācija nebūt neaprobežojas tikai ar iepriekš minētajām šķirnēm, taču ar to pietiek.
Apskatīsim vienkāršāko QS ar gaidīšanu - vienkanāla sistēmu (n - 1), kas saņem pieprasījumu plūsmu ar intensitāti ; pakalpojuma intensitāte (t.i., vidēji nepārtraukti aizņemts kanāls izdos apkalpotos pieprasījumus vienā (laika) vienībā. Pieprasījums, kas saņemts laikā, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu.
Sistēma ar ierobežotu rindas garumu. Vispirms pieņemsim, ka vietu skaitu rindā ierobežo skaitlis m, t.i. ja lietojumprogramma ierodas laikā, kad rindā jau ir m-lietojumprogrammas, tā atstāj sistēmu neapkalpotu. Nākotnē, virzot m uz bezgalību, mēs iegūsim vienkanāla QS raksturlielumus bez rindas garuma ierobežojumiem.
Mēs numurēsim QS stāvokļus atbilstoši lietojumprogrammu skaitam sistēmā (gan apkalpoto, gan gaidošo pakalpojumu):
Kanāls ir bezmaksas;
Kanāls ir aizņemts, nav rindas;
Kanāls ir aizņemts, viens pieprasījums ir rindā;
Kanāls ir aizņemts, rindā ir k-1 lietojumprogrammas;
Kanāls ir aizņemts, lietojumprogrammas ir rindā.
VPS ir parādīts attēlā. 4. Visas notikumu plūsmu intensitātes, kas pārvietojas sistēmā pa bultiņām no kreisās uz labo pusi, ir vienādas ar , bet no labās uz kreiso - . Patiešām, pieprasījumu plūsma pārvieto sistēmu pa bultiņām no kreisās puses uz labo (tiklīdz tiek saņemts pieprasījums, sistēma pāriet uz nākamo stāvokli), no labās puses uz kreiso - aizņemta kanāla “izlaidumu” plūsmu, kas ir intensitāte (tiklīdz tiek apkalpots nākamais pieprasījums, kanāls vai nu kļūs brīvs, vai samazinās rindā esošo pieteikumu skaitu).
Rīsi. 4. Viena kanāla QS ar gaidīšanu
Attēlā parādīts. 4 diagramma ir vairošanās un nāves diagramma. Uzrakstīsim stāvokļu ierobežojošo varbūtību izteiksmes:
(5)
vai izmantojot: :
(6)
Pēdējā rindā (6) ir ģeometriskā progresija ar pirmo vārdu 1 un saucēju p, no kuras iegūstam:
(7)
saistībā ar kuru ierobežojošās varbūtības izpaužas šādā formā:
(8).
Izteiksme (7) ir derīga tikai< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
Noteiksim QS raksturlielumus: atteices varbūtība, relatīvā caurlaidspēja q, absolūtā caurlaidspēja A, vidējais rindas garums, vidējais ar sistēmu saistīto lietojumprogrammu skaits, vidējais gaidīšanas laiks rindā, vidējais laiks, ko lietojumprogramma pavada QS. .
Neveiksmes iespējamība. Acīmredzot pieteikums tiek noraidīts tikai tad, ja kanāls ir aizņemts un arī visas rindas t-vietas ir aizņemtas:
(9).
Relatīvais joslas platums:
(10).
Vidējais rindas garums. Atradīsim vidējo pieteikumu skaitu rindā kā diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību R- pieteikumu skaits rindā:
Ar varbūtību rindā ir viens pieteikums, ar varbūtību ir divi pieteikumi, kopumā ar varbūtību rindā ir k-1 pieteikumi utt., no kuriem:
(11).
Tā kā , summu (11) var interpretēt kā atvasinājumu no ģeometriskās progresijas summas:
Aizstājot šo izteiksmi ar (11) un izmantojot no (8), mēs beidzot iegūstam:
(12).
Vidējais pieteikumu skaits sistēmā. Tālāk mēs iegūstam formulu vidējam ar sistēmu saistīto pieprasījumu skaitam (gan stāvam rindā, gan tiek apkalpoti). Tā kā , kur ir vidējais apkalpoto lietojumprogrammu skaits un k ir zināms, atliek noteikt . Tā kā ir tikai viens kanāls, apkalpoto pieprasījumu skaits var būt 0 (ar varbūtību ) vai 1 (ar varbūtību 1 - ), no kuriem:
.
un vidējais ar QS saistīto lietojumprogrammu skaits ir:
(13).
Vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā. Apzīmēsim to ; ja kādā brīdī sistēmā ienāk pieprasījums, tad, visticamāk, apkalpošanas kanāls nebūs aizņemts un tam nebūs jāgaida rindā (gaidīšanas laiks ir nulle). Visticamāk, ka viņa ienāks sistēmā, kamēr tiek apkalpots kāds pieprasījums, taču priekšā nebūs rindas, un pieprasījums kādu laiku (vidējais apkalpošanas laiks) gaidīs tā apkalpošanas sākumu. pieprasījums). Pastāv iespēja, ka pirms pieteikuma izskatīšanas rindā būs vēl kāds pieteikums, un vidējais gaidīšanas laiks būs vienāds ar utt.
Ja k=m+1, t.i. kad tikko pienākušais pieprasījums konstatē, ka apkalpošanas kanāls ir aizņemts un rindā ir m-pieprasījumi (tā iespējamība), tad šajā gadījumā pieprasījums nestāv rindā (un netiek apkalpots), tāpēc gaidīšanas laiks ir nulle. Vidējais gaidīšanas laiks būs:
ja mēs šeit aizstājam varbūtības (8) ar izteiksmēm, mēs iegūstam:
(14).
Šeit mēs izmantojam attiecības (11), (12) (ģeometriskās progresijas atvasinājums), kā arī no (8). Salīdzinot šo izteiksmi ar (12), mēs atzīmējam, ka, citiem vārdiem sakot, vidējais gaidīšanas laiks ir vienāds ar vidējo pieteikumu skaitu rindā, kas dalīts ar lietojumprogrammu plūsmas intensitāti.
(15).
Vidējais laiks, cik ilgi lietojumprogramma paliek sistēmā. Apzīmēsim nejaušā mainīgā matemātisko cerību kā laiku, kad pieprasījums paliek QS, kas ir vidējā gaidīšanas laika rindā un vidējā apkalpošanas laika summa. Ja sistēmas slodze ir 100%, protams, pretējā gadījumā:
.
Piemērs 1. Degvielas uzpildes stacija (degvielas uzpildes stacija) ir degvielas uzpildes stacija ar vienu apkalpošanas kanālu (vienu sūkni).
Teritorija pie stacijas ļauj vienlaikus atrasties rindā uz degvielas uzpildīšanu ne vairāk kā trim automašīnām (m = 3). Ja rindā jau ir trīs mašīnas, nākamā mašīna, kas ierodas stacijā, rindā neiestājas. Automašīnu plūsmai, kas ierodas uz degvielas uzpildīšanu, ir intensitāte = 1 (auto minūtē). Degvielas uzpildes process ilgst vidēji 1,25 minūtes.
Definēt:
neveiksmes varbūtība;
degvielas uzpildes staciju relatīvā un absolūtā jauda;
vidējais automašīnu skaits, kas gaida degvielas uzpildīšanu;
vidējais automašīnu skaits degvielas uzpildes stacijā (ieskaitot tos, kas tiek apkalpoti);
vidējais gaidīšanas laiks uz automašīnu rindā;
vidējais laiks, ko automašīna pavada degvielas uzpildes stacijā (ieskaitot servisu).
Citiem vārdiem sakot, vidējais gaidīšanas laiks ir vienāds ar vidējo pieteikumu skaitu rindā, kas dalīts ar lietojumprogrammu plūsmas intensitāti.
Vispirms atrodam aplikāciju plūsmas samazināto intensitāti: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Saskaņā ar formulu (8):
Neveiksmes varbūtība ir 0,297.
QS relatīvā kapacitāte: q=1-=0,703.
QS absolūtā caurlaidspēja: A==0,703 automašīnas minūtē.
Mēs atrodam vidējo automašīnu skaitu rindā, izmantojot formulu (12):
tie. Vidējais automašīnu skaits, kas gaida rindā uz degvielas uzpildes staciju, ir 1,56.
Šai vērtībai pieskaitot vidējo apkalpoto transportlīdzekļu skaitu:
mēs iegūstam vidējo automašīnu skaitu, kas saistītas ar degvielas uzpildes staciju.
Vidējais gaidīšanas laiks uz automašīnu rindā pēc formulas (15):
Pieskaitot šo vērtību, mēs iegūstam vidējo laiku, ko automašīna pavada degvielas uzpildes stacijā:
Sistēmas ar neierobežotu gaidīšanu. Šādās sistēmās m vērtība nav ierobežota, un tāpēc galvenos raksturlielumus var iegūt, pārejot uz robežu iepriekš iegūtajās izteiksmēs (5), (6) utt.
Ņemiet vērā, ka saucējs pēdējā formulā (6) ir bezgalīgi daudzu ģeometriskās progresijas vārdu summa. Šī summa saplūst, kad progresija bezgalīgi samazinās, t.i. plkst<1.
To var pierādīt<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Ja, tad attiecībām (8) ir šāda forma:
(16).
Ja rindas garumam nav ierobežojumu, tiks apkalpota katra sistēmā ienākošā lietojumprogramma, tāpēc q=1, 
.
Mēs iegūstam vidējo pieteikumu skaitu rindā no (12):
Vidējais pieteikumu skaits sistēmā saskaņā ar formulu (13):
.
Vidējais gaidīšanas laiks tiek iegūts no formulas (14) ar:
.
Visbeidzot, vidējais laiks, kad lietojumprogramma paliek QS, ir:
Sistēma ar ierobežotu rindas garumu. Apskatīsim kanālu QS ar gaidīšanu, kas saņem pieprasījumu plūsmu ar intensitāti ; pakalpojuma intensitāte (vienam kanālam); vietu skaits rindā.
Sistēmas stāvokļi tiek numurēti atbilstoši ar sistēmu saistīto pieprasījumu skaitam:
nav rindas:
Visi kanāli ir bezmaksas;
Viens kanāls ir aizņemts, pārējie ir brīvi;
-kanāli ir aizņemti, pārējie nav;
Visi kanāli ir aizņemti, brīvu kanālu nav;
ir rinda:
Visi n-kanāli ir aizņemti; viens pieteikums ir rindā;
Visi rindā esošie n-kanāli, r-pieprasījumi ir aizņemti;
Visi n-kanāli, r-pieprasījumi rindā ir aizņemti.
GSP ir parādīts attēlā. 17. Katra bultiņa ir atzīmēta ar atbilstošo notikumu plūsmu intensitāti. Gar bultiņām no kreisās uz labo, sistēma vienmēr tiek pārsūtīta ar vienu un to pašu pieprasījumu plūsmu ar intensitāti
Rīsi. 17. Daudzkanālu QS ar gaidīšanu
Grafiks ir raksturīgs vairošanās un nāves procesiem, kuriem iepriekš tika iegūts risinājums. Rakstīsim stāvokļu ierobežojošo varbūtību izteiksmes, izmantojot apzīmējumu: (šeit izmantojam izteiksmi ģeometriskās progresijas summai ar saucēju).
Tādējādi visas stāvokļa varbūtības ir atrastas.
Ļaujiet mums noteikt sistēmas efektivitātes raksturlielumus.
Neveiksmes iespējamība. Ienākošais pieprasījums tiek noraidīts, ja visi n-kanāli un visas m-vietas rindā ir aizņemtas:
(18)
Relatīvā caurlaidspēja papildina neveiksmes varbūtību ar vienu:
QS absolūtā caurlaidspēja:
(19)
Vidējais aizņemto kanālu skaits. QS ar atteikumiem tas sakrita ar vidējo pieteikumu skaitu sistēmā. QS ar rindu vidējais aizņemto kanālu skaits nesakrīt ar vidējo lietojumprogrammu skaitu sistēmā: pēdējā vērtība atšķiras no pirmās ar vidējo pieteikumu skaitu rindā.
Apzīmēsim vidējo aizņemto kanālu skaitu ar . Katrs noslogotais kanāls apkalpo vidēji A pretenzijas laika vienībā, un QS kopumā apkalpo vidēji A pretenzijas laika vienībā. Sadalot vienu ar otru, iegūstam:
Vidējo pieprasījumu skaitu rindā var aprēķināt tieši kā diskrēta gadījuma mainīgā matemātisko cerību:
(20)
Šeit atkal (izteiksme iekavās) notiek ģeometriskās progresijas summas atvasinājums (skat. iepriekš (11), (12) - (14)), izmantojot sakarību, mēs iegūstam:
Vidējais lietojumprogrammu skaits sistēmā:
Vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā. Apskatīsim vairākas situācijas, kas atšķiras atkarībā no tā, kādā stāvoklī sistēma atradīs tikko saņemto pieprasījumu un cik ilgi tai būs jāgaida, lai saņemtu pakalpojumu.
Ja pieprasījums nekonstatēs, ka visi kanāli ir aizņemti, tam nemaz nebūs jāgaida (matemātiskās cerības attiecīgie termini ir vienādi ar nulli). Ja pieprasījums tiek saņemts laikā, kad visi n-kanāli ir aizņemti un nav rindas, tam būs vidēji jāgaida laiks, kas vienāds ar (jo kanālu “izlaišanas plūsmas” intensitāte ir ). Ja pieprasījums konstatē, ka visi kanāli ir aizņemti un viens pieprasījums rindā ir priekšā, tam būs jāgaida vidēji noteikts laiks (katram pieprasījumam priekšā) utt. Ja pieprasījums atrodas rindā pieprasījumus, tam būs jāgaida vidēji laiks Ja tikko saņemts pieprasījums atrod m-pieprasījumus jau rindā, tad tas vispār negaidīs (bet netiks apkalpots). Mēs atrodam vidējo gaidīšanas laiku, reizinot katru no šīm vērtībām ar atbilstošām varbūtībām:
(21)
Tāpat kā vienkanāla QS gadījumā ar gaidīšanu, mēs atzīmējam, ka šī izteiksme atšķiras no vidējā rindas garuma (20) izteiksmes tikai ar koeficientu , t.i.
.
Pieprasījuma vidējais uzturēšanās laiks sistēmā, kā arī vienkanāla QS atšķiras no vidējā gaidīšanas laika ar vidējo apkalpošanas laiku, kas reizināts ar relatīvo caurlaidspēju:
.
Sistēmas ar neierobežotu rindas garumu. Mēs izskatījām kanālu QS ar gaidīšanu, kad rindā vienlaikus var būt ne vairāk kā m pieprasījumi.
Tāpat kā iepriekš, analizējot sistēmas bez ierobežojumiem, ir jāņem vērā iegūtās attiecības priekš .
Mēs iegūstam stāvokļu varbūtības no formulām, pārejot uz robežu (at ). Ņemiet vērā, ka atbilstošās ģeometriskās progresijas summa saplūst un atšķiras pie >1. Pieņemot, ka<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Atteices varbūtība, relatīvā un absolūtā caurlaidspēja. Tā kā katrs pieprasījums agrāk vai vēlāk tiks apkalpots, QS caurlaidspējas īpašības būs šādas:
Vidējais pieteikumu skaits rindā tiek iegūts no (20):
,
un vidējais gaidīšanas laiks ir no (21):
.
Vidējais aizņemto kanālu skaits, tāpat kā iepriekš, tiek noteikts, izmantojot absolūto caurlaidspēju:
.
Vidējais ar QS saistīto lietojumprogrammu skaits tiek definēts kā vidējais lietojumprogrammu skaits rindā plus vidējais apkalpoto lietojumprogrammu skaits (vidējais aizņemto kanālu skaits):
2. piemērs. Degvielas uzpildes stacija ar diviem sūkņiem (n = 2) apkalpo automašīnu plūsmu ar intensitāti =0,8 (automašīnas minūtē). Vidējais apkalpošanas laiks vienai mašīnai:
Citas degvielas uzpildes stacijas apkārtnē nav, tāpēc automašīnu rinda degvielas uzpildes stacijas priekšā var pieaugt gandrīz neierobežoti. Atrodiet QS raksturlielumus.
Jo<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
utt.
Mēs noskaidrosim vidējo aizņemto kanālu skaitu, dalot QS absolūto kapacitāti A = = 0,8 ar pakalpojuma intensitāti = 0,5:
Varbūtība, ka degvielas uzpildes stacijā nebūs rindas, būs:
Vidējais rindā esošo automašīnu skaits:
Vidējais automašīnu skaits degvielas uzpildes stacijās:
Vidējais gaidīšanas laiks rindā:
Vidējais laiks, ko automašīna pavada degvielas uzpildes stacijā:
QS ar ierobežotu gaidīšanas laiku. Iepriekš mēs uzskatījām, ka sistēmas ar gaidīšanu ierobežo tikai rindas garums (m-pieprasījumu skaits vienlaikus). Šādā QS lietojumprogramma, kas ir ieaugusi rindā, to neatstāj, līdz tā gaida servisu. Praksē ir arī citi QS veidi, kuros lietojumprogramma pēc kāda laika gaidīšanas var atstāt rindu (tā sauktās “nepacietīgās” lietojumprogrammas).
Apskatīsim šāda veida QS, pieņemot, ka gaidīšanas laika ierobežojums ir nejaušs mainīgais.
Pieņemsim, ka ir n-kanālu gaidīšanas QS, kurā vietu skaits rindā ir neierobežots, bet pieprasījuma palikšanas laiks rindā ir kāds nejaušs mainīgais ar vidējo vērtību, tādējādi katrs pieprasījums rindā ir pakļauts sava veida Puasona "rūpes plūsmai" ar intensitāti:
Ja šī plūsma ir Puasona, tad QS notiekošais process būs Markova. Atradīsim tā stāvokļa varbūtības. Sistēmas stāvokļu numerācija ir saistīta ar lietojumprogrammu skaitu sistēmā - gan apkalpoto, gan rindā stāvošo:
nav rindas:
Visi kanāli ir bezmaksas;
Viens kanāls ir aizņemts;
Divi kanāli ir aizņemti;
Visi n-kanāli ir aizņemti;
ir rinda:
Visi n-kanāli ir aizņemti, viens pieprasījums ir rindā;
Visi n-kanāli ir aizņemti, r-pieprasījumi ir rindā utt.
Sistēmas stāvokļu un pāreju grafiks ir parādīts attēlā. 23.
Rīsi. 23. QS ar ierobežotu gaidīšanas laiku
Atzīmēsim šo grafiku tāpat kā iepriekš; visas bultiņas, kas virzās no kreisās uz labo pusi, norādīs lietojumprogrammu plūsmas intensitāti. Stāvokļiem bez rindas bultiņas, kas virzās no tiem no labās uz kreiso pusi, tāpat kā iepriekš, norādīs kopējo plūsmas intensitāti, kas apkalpo visus aizņemtos kanālus. Runājot par stāvokļiem ar rindu, bultiņām, kas no tiem virzās no labās uz kreiso pusi, būs visu n-kanālu pakalpojumu plūsmas kopējā intensitāte plus atbilstošā rindas atiešanas plūsmas intensitāte. Ja rindā ir r-pieteikumi, tad kopējā izlidošanas plūsmas intensitāte būs vienāda ar .
Kā redzams no grafika, pastāv vairošanās un nāves modelis; izmantojot vispārīgas izteiksmes stāvokļu ierobežojošajām varbūtībām šajā shēmā (izmantojot saīsinātus apzīmējumus, mēs rakstām:
(24)
Ņemsim vērā dažas QS funkcijas ar ierobežotu gaidīšanu salīdzinājumā ar iepriekš apskatītajām QS ar “pacienta” pieprasījumiem.
Ja rindas garums nav ierobežots un pieprasījumi ir “pacietīgi” (neiziet no rindas), tad stacionārais limita režīms pastāv tikai tādā gadījumā (pie atbilstošās bezgalīgās ģeometriskās progresijas novirzās, kas fiziski atbilst neierobežotajam pieaugumam no rindas pie ).
Gluži pretēji, QS ar “nepacietīgiem” pieprasījumiem, kas agrāk vai vēlāk atstāj rindu, vienmēr tiek sasniegts noteiktais apkalpošanas režīms, neatkarīgi no pieprasījumu plūsmas samazinātās intensitātes. Tas izriet no fakta, ka sērijas for formulas (24) saucējā saplūst jebkurai pozitīvai un vērtībai.
QS ar “nepacietīgiem” pieprasījumiem jēdzienam “neveiksmes iespējamība” nav jēgas — katrs pieprasījums nokļūst rindā, taču var negaidīt apkalpošanu, aizejot pirms laika.
Relatīvā caurlaidspēja, vidējais pieprasījumu skaits rindā. Šādas QS relatīvo kapacitāti q var aprēķināt šādi. Acīmredzot tiks apkalpotas visas lietojumprogrammas, izņemot tās, kas pamet rindu pirms grafika. Aprēķināsim vidējo pieteikumu skaitu, kas agri atstāj rindu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām vidējo pieteikumu skaitu rindā:
Katrs no šiem lietojumiem ir pakļauts “izlidošanas plūsmai” ar intensitāti . Tas nozīmē, ka no vidējā rindā esošo -aplikāciju skaita vidēji -aplikācijas aizies, negaidot apkalpošanu, -aplikācijas laika vienībā un kopā laika vienībā, vidēji tiks apkalpotas -pieteikumi. QS relatīvā jauda būs:
Mēs joprojām iegūstam vidējo aizņemto kanālu skaitu, dalot absolūto joslas platumu A ar:
(26)
Vidējais pieteikumu skaits rindā. Relācija (26) ļauj aprēķināt vidējo pieteikumu skaitu rindā, neapkopojot bezgalīgās sērijas (25). No (26) mēs iegūstam:
un šajā formulā iekļauto vidējo aizņemto kanālu skaitu var atrast kā nejauša lieluma Z matemātisko cerību, ņemot vērtības 0, 1, 2,..., n ar varbūtībām ,:
Noslēgumā atzīmējam, ka, ja formulās (24) ejam līdz robežai pie (vai, kas ir tas pats, pie ), tad tiks iegūtas formulas (22), t.i., “nepacietīgie” pieteikumi kļūs par “pacietīgiem”.
Līdz šim mēs esam apsvēruši sistēmas, kurās ienākošā plūsma nekādā veidā nav saistīta ar izejošo plūsmu. Šādas sistēmas sauc par atvērto cilpu. Dažos gadījumos apkalpotie pieprasījumi pēc aizkaves atkal tiek saņemti ievadē. Šādus QS sauc par slēgtiem. Slēgtu sistēmu piemēri ir klīnika, kas apkalpo noteiktu apgabalu, darbinieku komanda, kas norīkota uz mašīnu grupu.
Slēgtā QS cirkulē tāds pats ierobežots potenciālo prasību skaits. Kamēr potenciālā prasība nav realizēta kā pakalpojuma pieprasījums, tiek uzskatīts, ka tā atrodas aizkaves blokā. Īstenošanas brīdī tas nonāk pašā sistēmā. Piemēram, strādnieki uztur mašīnu grupu. Katra mašīna ir potenciāla prasība, kas pārvēršas par reālu tās bojājuma brīdī. Kamēr mašīna strādā, tā atrodas aizkaves blokā, un no bojājuma brīža līdz remonta beigām atrodas pašā sistēmā. Katrs darbinieks ir pakalpojumu kanāls.
Ļaujiet n- pakalpojumu kanālu skaits, s- iespējamo pieteikumu skaits, n <s , - lietojumprogrammu plūsmas intensitāte katrai potenciālajai prasībai, μ - pakalpojuma intensitāte:
Sistēmas dīkstāves varbūtību nosaka pēc formulas
R
0
= 
.
Sistēmas stāvokļu galīgās varbūtības:
Pk= plkst k
Vidējais aizņemto kanālu skaits tiek izteikts ar šīm varbūtībām
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) vai
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).
Izmantojot to, mēs atrodam sistēmas absolūto caurlaidspēju:
kā arī vidējais pieteikumu skaits sistēmā
M=s- =s- .
1. piemērs. Trīs kanālu QS ievade ar kļūmēm saņem pieprasījumu plūsmu ar intensitāti =4 pieprasījumi minūtē, laiks pieprasījuma apkalpošanai pa vienu kanālu t obs =1/μ =0,5 min. Vai no QS kapacitātes viedokļa ir izdevīgi piespiest visus trīs kanālus apkalpot uzreiz, un vidējais apkalpošanas laiks tiek samazināts trīs reizes? Kā tas ietekmēs vidējo laiku, ko lietojumprogramma pavada TKO?
Risinājums. Mēs atrodam trīs kanālu QS dīkstāves varbūtību, izmantojot formulu
ρ = /μ = 4/2 = 2, n = 3,
P 0 = = = 0,158.
Neveiksmes varbūtību nosaka pēc formulas:
P atvērts = P n ==
P atvērts = 0,21.
Relatīvā sistēmas caurlaidspēja:
R obsl = 1-R atvērts 1-0,21=0,79.
Absolūtā sistēmas caurlaidspēja:
A= P obsl 3,16.
Vidējais aizņemto kanālu skaits tiek noteikts pēc formulas:
1,58, apkalpošanas aizņemto kanālu daļa,
q = 0,53.
Vidējais pieteikuma uzturēšanās laiks QS tiek noteikts kā varbūtība, ka pieteikums tiks pieņemts apkalpošanai, reizināts ar vidējo apkalpošanas laiku: t SMO 0,395 min.
Apvienojot visus trīs kanālus vienā, iegūstam vienkanāla sistēmu ar parametriem μ= 6, ρ= 2/3. Viena kanāla sistēmai dīkstāves varbūtība ir:
R 0 = = =0,6,
neveiksmes varbūtība:
P atvērts =ρ P 0 = = 0,4,
relatīvā caurlaidspēja:
R obsl = 1-R atvērts =0,6,
absolūtā caurlaidspēja:
A=P obs = 2,4.
t SMO =P obsl= =0,1 min.
Kanālu apvienošanas rezultātā sistēmas caurlaidspēja samazinājās, palielinoties atteices iespējamībai. Vidējais laiks, ko lietojumprogramma pavada sistēmā, ir samazinājies.
2. piemērs. Trīs kanālu QS ievade ar neierobežotu rindu saņem pieprasījumu plūsmu ar intensitāti = 4 pielietojumi stundā, vidējais vienas lietošanas reizes apkalpošanas laiks t=1/μ=0,5 h. Atrodiet sistēmas darbības rādītājus.
Apskatāmajai sistēmai n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Mēs atrodam vidējo pieteikumu skaitu rindā, izmantojot formulu:
L
=
.
L = = .
Mēs aprēķinām vidējo pieteikuma gaidīšanas laiku rindā, izmantojot formulu:
t= = 0,22 stundas.
Vidējais laiks, cik ilgi lietojumprogramma paliek sistēmā:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
3. piemērs. Frizētavā strādā 3 frizieri, uzgaidāmajā telpā ir 3 krēsli. Klientu plūsmai ir intensitāte =12 klienti stundā. Vidējais apkalpošanas laiks t obsl = 20 min. Noteikt sistēmas relatīvo un absolūto caurlaidspēju, vidējo aizņemto krēslu skaitu, vidējo rindas garumu, vidējo laiku, ko klients pavada frizētavā.
Šim uzdevumam n =3, Pieprasījums, kas saņemts, kad kanāls ir aizņemts, atrodas rindā un gaida apkalpošanu. Mēs pieņemsim, ka rindas lielums ir ierobežots un nevar uzņemt vairāk nekā =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Dīkstāves varbūtību nosaka pēc formulas:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Pakalpojuma atteikuma iespējamību nosaka pēc formulas
P atvērts =P n+m = .
P atvērts =Pn + m 0,307.
Relatīvā sistēmas jauda, t.i. apkalpošanas varbūtība:
P obsl =1-P atvērts 1-0,307=0,693.
Absolūtā caurlaidspēja:
A= P obsl 12 .
Vidējais aizņemto kanālu skaits:
.
Vidējo rindas garumu nosaka pēc formulas:
L
=
L= 
1,56.
Vidējais gaidīšanas laiks uz pakalpojumu rindā:
t= h.
Vidējais TKO pieteikumu skaits:
M=L + .
Vidējais laiks, cik ilgi pieteikums paliek TKO:
T=M/ 0,36 stundas
4. piemērs. Strādnieks apkalpo 4 mašīnas. Katra mašīna neizdodas ar intensitāti =0,5 atteices stundā, vidējais remonta laiks t rem=1/μ=0,8 h Noteikt sistēmas caurlaidspēju.
Šī problēma attiecas uz slēgtu QS, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Strādnieka dīkstāves varbūtību nosaka pēc formulas:
R
0
=
.
P
0
= 
.
Darba ņēmēja nodarbinātības varbūtība R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0,85μ mašīnas stundā.
Uzdevums:
Divi strādnieki apkalpo četru mašīnu grupu. Darba mašīnas apstāšanās notiek vidēji pēc 30 minūtēm. Vidējais iestatīšanas laiks ir 15 minūtes. Darbības un iestatīšanas laiks tiek sadalīts saskaņā ar eksponenciālu likumu.
Atrodiet vidējo brīvā laika daļu katram strādniekam un vidējo mašīnas darbības laiku.
Atrodiet tādus pašus raksturlielumus sistēmai, kurā:
a) katram darbiniekam tiek piešķirtas divas mašīnas;
b) divi darbinieki vienmēr apkalpo mašīnu kopā un ar dubultu intensitāti;
c) vienīgo bojāto mašīnu apkalpo abi strādnieki uzreiz (ar dubultu intensitāti), un, kad parādās vēl vismaz viena bojāta mašīna, viņi sāk strādāt atsevišķi, katrs apkalpojot vienu mašīnu (vispirms aprakstiet sistēmu, ņemot vērā nāve un dzimšana).
Risinājums:
Ir iespējami šādi sistēmas S stāvokļi:
S 0 – visas mašīnas darbojas;
S 1 – 1 mašīna tiek remontēta, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 2 – 2 mašīna tiek remontēta, pārējās darba kārtībā;
S 3 – 3 mašīna tiek remontēta, pārējās darba kārtībā;
S 4 – 4 mašīna tiek remontēta, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 5 – (1, 2) mašīnas tiek remontētas, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 6 – (1, 3) mašīnas tiek remontētas, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 7 – (1, 4) mašīnas tiek remontētas, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 8 – (2, 3) mašīnas tiek remontētas, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 9 – (2, 4) mašīnas tiek remontētas, pārējās darba kārtībā;
S 10 – (3, 4) mašīnas tiek remontētas, pārējās ir labā darba kārtībā;
S 11 – (1, 2, 3) mašīnas tiek remontētas, 4 mašīna darbojas;
S 12 – (1, 2, 4) mašīnas tiek remontētas, 3 mašīna darbojas;
S 13 – (1, 3, 4) mašīnas tiek remontētas, 2. mašīna darbojas;
S 14 – (2, 3, 4) mašīnas tiek remontētas, darbojas 1 mašīna;
S 15 – visas mašīnas ir remontētas.
Sistēmas stāvokļa diagramma...
Šī sistēma S ir slēgtas sistēmas piemērs, jo katra mašīna ir potenciāla prasība, kas pārvēršas par reālu tās bojājuma brīdī. Kamēr mašīna strādā, tā atrodas aizkaves blokā, un no bojājuma brīža līdz remonta beigām atrodas pašā sistēmā. Katrs darbinieks ir pakalpojumu kanāls.
Ja darbinieks ir aizņemts, viņš iestata μ-mašīnas laika vienībā, sistēmas jauda:
Atbilde:
Vidējā brīvā laika daļa katram strādājošajam ir ≈ 0,09.
Vidējais mašīnas darbības laiks ≈ 3,64.
a) Katram darbiniekam ir piešķirtas divas mašīnas.
Strādnieka dīkstāves varbūtību nosaka pēc formulas:
Darba ņēmēja nodarbinātības varbūtība:
Ja darbinieks ir aizņemts, viņš iestata μ-mašīnas laika vienībā, sistēmas jauda:
Atbilde:
Vidējā brīvā laika daļa katram strādājošajam ir ≈ 0,62.
Vidējais mašīnas darbības laiks ≈ 1,52.
b) Divi darbinieki vienmēr apkalpo mašīnu kopā un ar dubultu intensitāti.
c) Vienīgo bojāto mašīnu apkalpo abi strādnieki uzreiz (ar dubultu intensitāti), un, kad parādās vēl vismaz viena bojāta mašīna, viņi sāk strādāt atsevišķi, katrs apkalpojot vienu mašīnu (vispirms aprakstiet sistēmu, ņemot vērā nāve un dzimšana).
5 atbilžu salīdzinājums:
Visefektīvākais veids, kā organizēt darbiniekus pie mašīnām, būs uzdevuma sākotnējā versija.
Vienkāršāko rindu sistēmu (QS) piemēri tika apspriesti iepriekš. Termins "vienšūņi" nenozīmē "elementārs". Šo sistēmu matemātiskie modeļi ir pielietojami un veiksmīgi izmantoti praktiskajos aprēķinos.
Lēmumu teorijas pielietošanas iespēju rindu sistēmās nosaka šādi faktori:
1. Lietojumprogrammu skaitam sistēmā (kas tiek uzskatīta par QS) jābūt diezgan lielam (masveidā).
2. Visiem QS ievadē saņemtajiem pieteikumiem jābūt viena veida.
3. Lai aprēķinātu, izmantojot formulas, ir jāzina likumi, kas nosaka iesniegumu saņemšanu un to apstrādes intensitāti. Turklāt pasūtījumu plūsmām jābūt Puasona.
4. QS struktūra, t.i. stingri jānosaka ienākošo prasību kopums un pieteikuma apstrādes secība.
5. Nepieciešams izslēgt priekšmetus no sistēmas vai raksturot tos kā prasības ar nemainīgu apstrādes intensitāti.
Iepriekš uzskaitītajiem ierobežojumiem mēs varam pievienot vēl vienu, kam ir liela ietekme uz matemātiskā modeļa dimensiju un sarežģītību.
6. Izmantoto prioritāšu skaitam jābūt minimālam. Pieteikumu prioritātēm jābūt nemainīgām, t.i. tās nevar mainīties apstrādes laikā QS ietvaros.
Darba gaitā tika sasniegts galvenais mērķis - tika apgūts “QS ar ierobežotu gaidīšanas laiku” un “Slēgtais QS” galvenais materiāls, ko izvirzīja akadēmiskās disciplīnas pasniedzējs. Iepazināmies arī ar iegūto zināšanu pielietošanu praksē, t.i. konsolidēja aptverto materiālu.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://revolution..
5) Fomin G.P. Matemātiskās metodes un modeļi komercdarbībā. M: Finanses un statistika, 2001.
6) Gmurman V.E. Varbūtību teorija un matemātiskā statistika. M: Augstskola, 2001.
7) Sovetov B.A., Jakovļevs S.A. Sistēmu modelēšana. M: Augstskola, 1985. gads.
8) Lifshits A.L. QS statistiskā modelēšana. M., 1978. gads.
9) Ventzel E.S. Operāciju izpēte. M: Nauka, 1980. gads.
10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Varbūtību teorija un tās inženiertehniskie pielietojumi. M: Nauka, 1988. gads.
Rindas sistēmas darbības vai efektivitāte ir šāda.Priekš QS ar neveiksmēm:
Priekš SMO ar neierobežotu gaidīšanu gan absolūtā, gan relatīvā caurlaidspēja zaudē nozīmi, jo katrs ienākošais pieprasījums agrāk vai vēlāk tiks apkalpots. Šādai QS svarīgi rādītāji ir:
Priekš Jaukta tipa QS tiek izmantotas abas rādītāju grupas: gan relatīvās, gan absolūtā caurlaidspēja, un gaidu īpašības.
Atkarībā no rindas darbības mērķa kā efektivitātes kritēriju var izvēlēties jebkuru no dotajiem rādītājiem (vai rādītāju kopu).
Analītiskais modelis QS ir vienādojumu vai formulu kopa, kas ļauj noteikt sistēmas stāvokļu varbūtības tās darbības laikā un aprēķināt veiktspējas rādītājus, pamatojoties uz zināmajām ienākošās plūsmas un pakalpojumu kanālu īpašībām.
Nav vispārēja analītiska modeļa patvaļīgai QS. Analītiskie modeļi ir izstrādāti ierobežotam skaitam īpašu QS gadījumu. Analītiskie modeļi, kas vairāk vai mazāk precīzi atspoguļo reālās sistēmas, parasti ir sarežģīti un grūti vizualizējami.
QS analītiskā modelēšana ir ievērojami atvieglota, ja QS notiekošie procesi ir Markovian (pieprasījumu plūsmas ir vienkāršas, apkalpošanas laiki tiek sadalīti eksponenciāli). Šajā gadījumā visus procesus QS var aprakstīt ar parastiem diferenciālvienādojumiem, bet ierobežojošā gadījumā stacionāriem stāvokļiem ar lineāriem algebriskiem vienādojumiem un, tos atrisinot, var noteikt izvēlētos efektivitātes rādītājus.
Apskatīsim dažu QS piemērus.
2.5.1. Daudzkanālu QS ar kļūmēm
Piemērs 2.5. Trīs ceļu satiksmes inspektori pārbauda kravas automašīnu vadītāju pavadzīmes. Ja vismaz viens inspektors ir brīvs, garāmbraucošā kravas automašīna tiek apturēta. Ja visi inspektori ir aizņemti, kravas automašīna brauc garām neapstājoties. Kravas automašīnu plūsma ir vienkārša, pārbaudes laiks ir nejaušs ar eksponenciālu sadalījumu.
Šo situāciju var modelēt ar trīs kanālu QS ar kļūmēm (bez rindas). Sistēma ir atvērta cilpa, ar viendabīgiem pieprasījumiem, vienfāzes, ar absolūti uzticamiem kanāliem.
Stāvokļu apraksts:
Visi inspektori ir bez maksas;
Viens inspektors ir aizņemts;
Divi inspektori ir aizņemti;
Trīs inspektori ir aizņemti.
Sistēmas stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 2.11.
Rīsi. 2.11.
Grafikā: - kravas auto plūsmas intensitāte; - viena satiksmes inspektora dokumentu pārbaužu intensitāte.
Simulācija tiek veikta, lai noteiktu transportlīdzekļu daļu, kas netiks pārbaudīta.
Risinājums
Nepieciešamā varbūtības daļa ir visu trīs inspektoru nodarbinātības varbūtība. Tā kā stāvokļa grafiks attēlo tipisku “nāves un vairošanās” shēmu, mēs atradīsim, izmantojot atkarības (2.2).
Var raksturot šī satiksmes inspektora posteņa caurlaidspēju relatīvā caurlaidspēja:
Piemērs 2.6. Izlūkošanas grupas ziņojumu saņemšanai un apstrādei biedrības izlūkošanas daļā tika nozīmēta grupa trīs virsnieku sastāvā. Paredzamā atskaišu plūsmas intensitāte ir 15 ziņojumi stundā. Vidējais viena darbinieka viena ziņojuma apstrādes laiks ir . Katrs virsnieks var saņemt ziņojumus no jebkuras izlūkošanas grupas. Atbrīvotais darbinieks apstrādā pēdējo no saņemtajiem ziņojumiem. Ienākošie ziņojumi jāapstrādā ar vismaz 95% varbūtību.
Nosakiet, vai norīkotā trīs virsnieku komanda ir pietiekama, lai izpildītu uzticēto uzdevumu.
Risinājums
Amatpersonu grupa darbojas kā KTO ar neveiksmēm, kas sastāv no trim kanāliem.
Atskaišu plūsma ar intensitāti 
var uzskatīt par vienkāršāko, jo tas ir vairāku izlūkošanas grupu kopums. Pakalpojuma intensitāte 
. Sadales likums nav zināms, bet tas nav svarīgi, jo ir pierādīts, ka sistēmām ar kļūmēm tas var būt patvaļīgs.
QS stāvokļu apraksts un stāvokļa grafiks būs līdzīgs tiem, kas sniegti 2.5. piemērā.
Tā kā stāvokļa grafiks ir “nāves un vairošanās” shēma, tam ir gatavas izteiksmes stāvokļa ierobežojošajām varbūtībām:
Attieksme sauc ņemot vērā pieteikumu plūsmas intensitāti. Tās fiziskā nozīme ir šāda: vērtība atspoguļo vidējo pieprasījumu skaitu, kas tiek saņemti QS vidējā viena pieprasījuma apkalpošanas laikā.
Piemērā 
.
Apskatāmajā QS kļūme rodas, kad visi trīs kanāli ir aizņemti, tas ir. Pēc tam:
Jo neveiksmes varbūtība atskaišu apstrādē ir vairāk nekā 34% (), tad nepieciešams palielināt grupas personālu. Divkāršosim grupas sastāvu, tas ir, TKO tagad būs seši kanāli, un aprēķināsim:
Tādējādi tikai sešu virsnieku grupa varēs apstrādāt ienākošos ziņojumus ar 95% varbūtību.
2.5.2. Daudzkanālu QS ar gaidīšanu
Piemērs 2.7. Upes šķērsošanas posmā ir 15 līdzīgas šķērsošanas vietas. Tehnikas plūsma, kas ierodas pārbrauktuvē, ir vidēji 1 vienība/min, vidējais vienas tehnikas vienības šķērsošanas laiks ir 10 minūtes (ieskaitot pārbrauktuves atgriešanos).
Novērtējiet galvenos krustojuma raksturlielumus, tostarp tūlītējas šķērsošanas iespējamību tūlīt pēc aprīkojuma vienības ierašanās.
Risinājums
Absolūtā caurlaidspēja, t.i., viss, kas tuvojas pārejai, tiek praktiski uzreiz šķērsots.
Vidējais strādājošo šķērsošanas iekārtu skaits:
Prāmju izmantošanas un dīkstāves tarifi:
Piemēra risināšanai tika izstrādāta arī programma. Tiek pieņemts, ka laika intervāli, kad aprīkojums nonāk krustojumā, un šķērsošanas laiks ir sadalīti saskaņā ar eksponenciālo likumu.
Pārbrauktuves izmantošanas rādītāji pēc 50 braucieniem ir gandrīz vienādi: 
.
Maksimālais rindas garums ir 15 vienības, vidējais rindā pavadītais laiks ir aptuveni 10 minūtes.
QS pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts, lai aprēķinātu šādus viena kanāla QS rādītājus:- kanāla atteices varbūtība, brīva kanāla iespējamība, absolūtā caurlaidspēja;
- relatīvā caurlaidspēja, vidējais apkalpošanas laiks, vidējais kanāla dīkstāves laiks.
Norādījumi. Lai atrisinātu šādas problēmas tiešsaistē, atlasiet QS modeli. Norādiet pieprasījuma plūsmas intensitāte λ Un pakalpojuma plūsmas intensitāte μ. Viena kanāla QS ar ierobežotu rindas garumu varat norādīt rindas garums m, un vienkanāla QS ar neierobežotu rindu - lietojumprogrammu skaits rindā (lai aprēķinātu varbūtību, ka šīs programmas atrodas rindā). skatiet risinājuma piemēru. . Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā.
Vienkanāla rindu sistēmu klasifikācija
Piemērs Nr.1. Auto degvielas uzpildes stacijā ir viens degvielas uzpildes stacija. Tiek pieņemts, ka stacijā iebrauc vienkāršākā vagonu plūsma ar intensitāti λ=11 vagoni/stundā. Pieprasījuma apkalpošanas laiks ir nejaušs lielums, kas pakļaujas eksponenciālajam likumam ar parametru μ=14 transportlīdzekļi stundā. Nosakiet vidējo automašīnu skaitu stacijā.
Piemērs Nr.2. Ir punkts, lai veiktu mašīnu profilaktisko apskati ar vienu pārbaudes grupu. Katras iekārtas pārbaude un defektu noteikšana aizņem vidēji 0,4 stundas. Vidēji diennaktī apskatei tiek saņemtas 328 automašīnas. Pieprasījumu un pakalpojumu plūsmas ir visvienkāršākās. Ja automašīna, kas ierodas apskates punktā, neatrod nevienu brīvu kanālu, tā atstāj apskates punktu neapkoptu. Noteikt profilaktiskās apskates punkta apstākļu un apkopes raksturlielumu ierobežojošās varbūtības.
Risinājums. Šeit α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Šie dati ir jāievada kalkulatorā.
Praksē diezgan izplatīti ir vienkanāla QS ar rindu (ārsts, kas apkalpo pacientus, procesors izpilda mašīnas komandas). Tāpēc ir nepieciešams sīkāk apsvērt vienkanāla QS ar rindu.
Lai ir vienkanāla QS ar rindu, kurai nav noteikti nekādi ierobežojumi (ne rindas garumam, ne gaidīšanas laikam). Šis QS saņem pieteikumu plūsmu ar intensitāti l; pakalpojumu plūsmai ir intensitāte m, kas ir apgriezta vidējam pieprasījuma apkalpošanas laikam t about. Nepieciešams atrast QS stāvokļu galīgās varbūtības, kā arī tā efektivitātes raksturlielumus:
L SISTĒMA– vidējais pieprasījumu skaits sistēmā;
W SYST– vidējais pieprasījuma uzturēšanās laiks sistēmā;
L ĻOTI– vidējais pieteikumu skaits rindā;
W ĻOTI– vidējais pieteikuma atrašanās laiks rindā;
P ZAN- varbūtība, ka kanāls ir aizņemts (kanāla slodzes pakāpe).
Kas attiecas uz absolūto caurlaidspēju A un relatīvo Q, tie nav jāaprēķina: tā kā rinda ir neierobežota, katrs pieprasījums agrāk vai vēlāk tiks apkalpots, tāpēc tā paša iemesla dēļ.
Risinājums. Sistēmas stāvoklis, tāpat kā iepriekš, tiks numurēts atbilstoši pieteikumu skaitam QS:
-S 0 – kanāls ir brīvs;
-S 1 – kanāls ir aizņemts (apkalpo pieprasījumu), nav rindas;
-S 2 – kanāls ir aizņemts, viens pieprasījums ir rindā;
-S k – kanāls ir aizņemts, k-1 pieteikumi ir rindā.
Teorētiski stāvokļu skaits ir neierobežots (bezgalīgs). Galīgo varbūtību formulas nāves un vairošanās shēmā tika atvasinātas tikai ierobežota stāvokļu skaita gadījumā, bet mēs pieņemsim, ka mēs tās izmantosim bezgalīgi daudzu stāvokļu gadījumā. Tad vārdu skaits formulā būs bezgalīgs. Mēs iegūstam izteiksmi par p o:
Sērija formulā (17) ir ģeometriska progresija. Mēs zinām, ka sērijas saplūst – tā ir bezgalīgi dilstoša progresija ar saucēju r. Kad sērija atšķiras (kas ir netiešs, kaut arī ne stingrs pierādījums tam, ka stāvokļu galīgās varbūtības p o, 1. lpp, …, p k,...pastāv tikai tad, kad ). Pēc tam:
Noskaidrosim vidējo pieteikumu skaitu TKO L SISTĒMA. Nejaušajam mainīgajam Z - lietojumprogrammu skaitam sistēmā - ir iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., k, ... ar varbūtībām p o, 1. lpp, …, p k,... Tā matemātiskā cerība ir vienāda ar:
Izmantojot Litla formulu (9), mēs atrodam vidējo laiku, kad pieprasījums paliek sistēmā:
Atradīsim vidējo pieteikumu skaitu rindā. Mēs spriedīsim šādi: pieteikumu skaits rindā ir vienāds ar lietojumprogrammu skaitu sistēmā mīnus apkalpoto lietojumprogrammu skaits. Tas nozīmē (saskaņā ar matemātisko gaidu saskaitīšanas noteikumu) vidējo pieteikumu skaitu rindā L ĻOTI vienāds ar vidējo pieteikumu skaitu sistēmā L SISTĒMA atskaitot vidējo apkalpoto pieteikumu skaitu. Apkalpošanas pieprasījumu skaits var būt nulle (ja kanāls ir brīvs) vai viens (ja tas ir aizņemts). Šāda nejauša mainīgā matemātiskā cerība ir vienāda ar varbūtību, ka kanāls ir aizņemts P ZAN. Ir skaidrs, ka:
Tāpēc vidējais apkalpoto pieprasījumu skaits ir:
Izmantojot Litla formulu (9), mēs atrodam vidējo laiku, kad lietojumprogramma paliek rindā.
Notiek ielāde...
