Wykresy funkcji trygonometrycznych Funkcja y = sin x, jej własności Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych metodą przeniesienia równoległego Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych metodą kompresji i rozwinięcia Dla ciekawskichDla ciekawskich…
Funkcje trygonometryczne3 Własności funkcji y = sin x 5. Przedziały znaku stałego: Y>0 przy x (0+2 n; +2 n), n Z Y 0 przy x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> 0 przy x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> 0 przy x (0+2 n; +2 n ), n Z У" title="funkcje trygonometryczne3 Własności funkcji y = sin x 5. Przedziały znaku stałego: Y>0 przy x (0+2 n; +2 n), n Z У"> title="funkcje trygonometryczne3 Własności funkcji y = sin x 5. Przedziały znaku stałego: Y>0 przy x (0+2 n; +2 n), n Z Y"> !}
Funkcje trygonometryczne8 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych Wykres funkcji y = f (x + b) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) poprzez równoległe przesunięcie o (-v) jednostki wzdłuż osi odciętych Wykres funkcji y = f (x) + a otrzymuje się z funkcji wykresu y = f(x) poprzez równoległe przesunięcie o (a) jednostki wzdłuż osi rzędnych
1) wzdłuż osi rzędnych Wykres funkcji y = k f" title="funkcje trygonometryczne14 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez ściskanie i rozciąganie Wykres funkcji y = k f (x) otrzymujemy z wykresu funkcję y = f (x) rozciągając ją k razy (dla k>1) wzdłuż wykresu współrzędnych funkcji y = k f" class="link_thumb"> 14 !} funkcje trygonometryczne14 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykres funkcji y = k f (x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) rozciągając go k razy (dla k>1) wzdłuż wykres rzędnych Wykres funkcji y = k f (x ) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f(x) poprzez kompresję go k razy (w 0 1) wzdłuż osi rzędnych Wykres funkcji y = k f"> 1) wzdłuż osi rzędnych Wykres funkcji y = k f (x) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f(x) poprzez jego kompresję k razy (w 0"> 1) wzdłuż rzędnych osi Wykres funkcji y = k f" title="funkcje trygonometryczne14 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez ściskanie i rozciąganie Wykres funkcji y = k f (x) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) rozciągając go k razy (przy k>1) wzdłuż wykresu współrzędnych funkcji y = k f"> title="funkcje trygonometryczne14 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykres funkcji y = k f (x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) rozciągając go k razy (dla k>1) wzdłuż wykres rzędnych Wykres funkcji y = k f"> !}
1) wzdłuż osi x Wykres funkcji y = f (kx) " title="funkcje trygonometryczne16 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez ściskanie i rozciąganie Otrzymuje się wykres funkcji y = f (kx) z wykresu funkcji y = f (x) przez jej k-krotną kompresję (dla k>1) wzdłuż osi x. Wykres funkcji y = f (kx)." class="link_thumb"> 16 !} funkcje trygonometryczne16 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykres funkcji y = f (kx) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) ściskając go k razy (dla k>1) wzdłuż oś x Wykres funkcji y = f (kx ) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f(x) rozciągając go k razy (w punkcie 0 1) wzdłuż osi odciętych Wykres funkcji y = f (kx) "> 1) wzdłuż osi odciętych Wykres funkcji y = f (kx) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f(x) rozciągając go k razy (w 0"> 1 ) wzdłuż osi x Wykres funkcji y = f (kx) " title="funkcje trygonometryczne16 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie Wykres funkcji funkcję y = f (kx) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) poprzez kompresję k razy (dla k>1) wzdłuż osi x. Wykres funkcji y = f (kx)."> title="funkcje trygonometryczne16 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykres funkcji y = f (kx) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) ściskając go k razy (dla k>1) wzdłuż oś x Wykres funkcji y = f (kx )"> !}
Funkcje trygonometryczne18 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykresy funkcji y = -f (kx) i y=-k f(x) otrzymuje się z wykresów funkcji y = f(kx) i y= k f(x), odpowiednio, odzwierciedlając je względem osi x. sinus jest funkcją nieparzystą, zatem sin(-kx) = - sin (kx) cosinus jest funkcją parzystą, zatem cos(-kx) = cos(kx)
Funkcje trygonometryczne21 Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie Wykres funkcji y = f (kx+b) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f(x) poprzez równoległe przełożenie go przez (-в/k) jednostek wzdłuż osi x i ściskając ją k razy (przy k>1) lub rozciągając k razy (przy 0 1) lub rozciąganie k razy (przy 0"> 
Spis treści 1. Slajd wprowadzający 2. Początek slajdu badania 3. Etapy badania slajd 4. Slajd grup funkcji 5. Definicja i wykres slajdu sinusoidalnego 6. Definicja i wykres slajdu cosinus 7. Definicja i wykres slajdu stycznego 8. Definicja i wykres cotangensu slajd 9. Odwrotne funkcje trzecie slajd 10. Podstawowe wzory slajd 11. Znaczenie trygonometrii slajd 12. Wykorzystana literatura slajd 13. Slajd autora i kompilatora
W starożytności trygonometria powstała w związku z potrzebami astronomii, geodezji i budownictwa, czyli miała charakter czysto geometryczny i reprezentowała głównie „rachunek cięciw”. Z biegiem czasu zaczęły się w nią wplatać momenty analityczne. W pierwszej połowie XVIII wieku nastąpiła gwałtowna zmiana, po której trygonometria przyjęła nowy kierunek i przesunęła się w stronę analizy matematycznej. W tym czasie relacje trygonometryczne zaczęto uważać za funkcje. Ma to znaczenie nie tylko matematyczne i historyczne, ale także metodologiczne i pedagogiczne. W starożytności trygonometria powstała w związku z potrzebami astronomii, geodezji i budownictwa, czyli miała charakter czysto geometryczny i reprezentowała głównie „rachunek cięciw”. Z biegiem czasu zaczęły się w nią wplatać momenty analityczne. W pierwszej połowie XVIII wieku nastąpiła gwałtowna zmiana, po której trygonometria przyjęła nowy kierunek i przesunęła się w stronę analizy matematycznej. W tym czasie relacje trygonometryczne zaczęto uważać za funkcje. Ma to znaczenie nie tylko matematyczne i historyczne, ale także metodologiczne i pedagogiczne.
Obecnie w szkolnym kursie algebry i początkach analizy dużo uwagi poświęca się badaniu funkcji trygonometrycznych właśnie jako funkcji argumentu numerycznego. Istnieje kilka różnych podejść do nauczania tego tematu w ramach zajęć szkolnych i nauczycielowi, zwłaszcza początkującemu, może łatwo nie być zdezorientowanym, które podejście jest najwłaściwsze. Ale funkcje trygonometryczne są najwygodniejszym i wizualnym sposobem badania wszystkich właściwości funkcji (przed użyciem pochodnej), a zwłaszcza takich właściwości wielu procesów naturalnych, jak okresowość. Dlatego należy zwrócić szczególną uwagę na ich badania.
Ponadto duże trudności w studiowaniu tematu „Funkcje trygonometryczne” na kursie szkolnym wynikają z rozbieżności między dość dużą ilością treści a stosunkowo małą liczbą godzin przeznaczonych na naukę tego tematu. Więc problem tego praca badawcza jest konieczność wyeliminowania tej rozbieżności poprzez staranny dobór treści i projektu skuteczne metody prezentacja tego materiału. Przedmiotem badań jest proces studiowania linii funkcjonalnej w trakcie zajęć w szkole średniej. Przedmiotem pracy jest metodologia badania funkcji trygonometrycznych na kursie algebry i rozpoczynania analizy w klasie.
Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne są matematycznymi funkcjami kąta. Są ważne w badaniu geometrii, a także w badaniu procesów okresowych. Zazwyczaj funkcje trygonometryczne definiuje się jako stosunek boków trójkąta prostokątnego lub długości niektórych odcinków okręgu jednostkowego. Nowsze definicje wyrażają funkcje trygonometryczne w postaci sum szeregów lub rozwiązań niektórych równań różniczkowych, co pozwala rozszerzyć zakres definicji tych funkcji na dowolne liczby rzeczywiste, a nawet na liczby zespolone funkcje matematyczne, geometrię kątów procesów okresowych relacje trójkąta prostokątnego długość odcinka koła jednostkowego suma szeregów równań różniczkowych liczby rzeczywiste liczby zespolone
W badaniu funkcji trygonometrycznych można wyróżnić następujące etapy: I. Pierwsze zapoznanie się z funkcjami trygonometrycznymi argumentu kątowego w geometrii. Wartość argumentu jest uwzględniana w przedziale (0о;90о). Na tym etapie uczniowie dowiadują się, że sin, cos, tg i ctg kąta zależą od miary jego stopnia, zapoznają się z wartościami tabelarycznymi, podstawową tożsamością trygonometryczną i niektórymi wzorami redukcyjnymi. II. Uogólnienie pojęć sinus, cosinus, tangens i cotangens dla kątów (0°; 180°). Na tym etapie rozważany jest związek funkcji trygonometrycznych ze współrzędnymi punktu na płaszczyźnie, udowadniane są twierdzenia o sinusach i cosinusach oraz rozważane jest zagadnienie rozwiązywania trójkątów za pomocą relacji trygonometrycznych. III. Wprowadzenie do pojęć funkcji trygonometrycznych argumentu liczbowego. IV. Usystematyzowanie i poszerzenie wiedzy o funkcjach trygonometrycznych liczb, rozpatrywanie wykresów funkcji, prowadzenie badań, w tym z wykorzystaniem pochodnej.
Istnieje kilka sposobów definiowania funkcji trygonometrycznych. Można je podzielić na dwie grupy: analityczne i geometryczne. 1. Metody analityczne obejmują zdefiniowanie funkcji y = sin x jako rozwiązanie równania różniczkowego f (x) = -c*f (x) lub jako sumę szeregu potęgowego sin x = x - x3 /3! + x5! /5! - ... 2. Metody geometryczne obejmują definiowanie funkcji trygonometrycznych na podstawie rzutów i współrzędnych wektora promienia, definiowanie poprzez stosunek boków trójkąta prostokątnego oraz definicje z wykorzystaniem koła liczbowego. Na kursie szkolnym preferowane są metody geometryczne ze względu na ich prostotę i przejrzystość.
Do użycia zapowiedź prezentacje utwórz sobie konto ( konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Wykresy funkcji trygonometrycznych Funkcja y = sin x, jej własności Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych przez przeniesienie równoległe Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez kompresję i rozwinięcie Dla ciekawskich...
funkcje trygonometryczne Wykres funkcji y = sin x jest sinusoidą Własności funkcji: D(y) =R Okresowa (T=2 ) Nieparzysta (sin(-x)=-sin x) Zera funkcji: y =0, sin x=0 przy x = n, n Z y=sin x
funkcje trygonometryczne Własności funkcji y = sin x 5. Przedziały znaku stałego: Y >0 dla x (0+2 n ; +2 n) , n Z Y
funkcje trygonometryczne Własności funkcji y = sin x 6. Przedziały monotoniczności: funkcja rośnie na przedziałach postaci: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = grzech x
funkcje trygonometryczne Własności funkcji y= sin x Przedziały monotoniczności: funkcja maleje na przedziałach postaci: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=grzech x
funkcje trygonometryczne Własności funkcji y = sin x 7. Punkty ekstremalne: X max = / 2 +2 n, n Z X m in = - / 2 +2 n, n Z y=sin x
funkcje trygonometryczne Własności funkcji y = sin x 8. Zakres wartości: E(y) = -1;1 y = sin x
funkcje trygonometryczne Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych Wykres funkcji y = f (x +в) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f(x) poprzez równoległe przesunięcie o (-в) jednostki wzdłuż odciętej funkcję y = f (x) +а otrzymuje się z funkcji wykresu y = f(x) poprzez równoległe przesunięcie o (a) jednostki wzdłuż osi rzędnych
funkcje trygonometryczne Konwertuj wykresy funkcji trygonometrycznych Sporządź wykres Funkcje y = sin(x+ /4) zapamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Konwersja wykresów funkcji trygonometrycznych y =sin (x+ /4) Sporządź wykres funkcji: y=sin (x - /6)
funkcje trygonometryczne Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych y = sin x + Wykreśl wykres funkcji: y = sin (x - /6)
funkcje trygonometryczne Konwersja wykresów funkcji trygonometrycznych y= sin x + Wykres funkcji: y=sin (x + /2) zapamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Wykres funkcji y = cos x jest falą cosinus. Wymień właściwości funkcji y = cos x sin(x+ /2)=cos x
funkcje trygonometryczne Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez ściskanie i rozciąganie Wykres funkcji y = k f (x) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) rozciągając go k razy (dla k>1) wzdłuż wykres rzędnych Wykres funkcji y = k f (x ) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f(x) kompresując go k razy (w 0
funkcje trygonometryczne Przekształcaj wykresy funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie y=sin2x y=sin4x Y=sin0,5x pamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykres funkcji y = f (kx) otrzymuje się z wykresu funkcji y = f (x) poprzez kkrotne ściskanie go (dla k>1) wzdłuż oś x Wykres funkcji y = f (kx ) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f(x) rozciągając go k razy (w punkcie 0
funkcje trygonometryczne Przekształcaj wykresy funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie y = cos2x y = cos 0,5x pamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych metodą ściskania i rozciągania Wykresy funkcji y = -f (kx) i y=- k f(x) otrzymuje się z wykresów funkcji y = f(kx) i y= k f(x), odpowiednio, odzwierciedlając je względem osi x. sinus jest funkcją nieparzystą, zatem sin(-kx) = - sin (kx) cosinus jest funkcją parzystą, zatem cos(-kx) = cos(kx)
funkcje trygonometryczne Przekształcaj wykresy funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie y = - sin3x y = sin3x pamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Przekształcaj wykresy funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie y=2cosx y=-2cosx pamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie Wykres funkcji y = f (kx+b) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f(x) poprzez równoległe przeniesienie go przez (-in /k) jednostek wzdłuż osi x i ściskając ją k razy (przy k>1) lub rozciągając k razy (przy 0
funkcje trygonometryczne Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych poprzez zgniatanie i rozciąganie Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6) ) y = cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x zapamiętaj zasady
funkcje trygonometryczne Dla ciekawskich... Spójrz, jak wyglądają wykresy innych trygonometrów. funkcje: y = 1 / cos x lub y=sec x (odczyt s) y = cosec x lub y= 1/ sin x odczytaj cosecons
Na temat: rozwój metodologiczny, prezentacje i notatki
TsOR „Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych” klasy 10-11
Sekcja programowa: „Funkcje trygonometryczne”. Typ lekcji: cyfrowa zasób edukacyjnyłączona lekcja algebry. Według formy prezentacji materiału: Połączony (uniwersalny) TsOR z...
Opracowanie metodologiczne lekcji matematyki: „Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych”
Opracowanie metodyczne lekcji matematyki: „Przekształcenie wykresów funkcji trygonometrycznych” dla uczniów klas dziesiątych. Lekcji towarzyszy prezentacja....
Slajd 1
Slajd 2
Spis treści Wprowadzenie .................................................. ... ... .......3-5slajd Rozpoczęcie nauki.............................. ....................................6-7 slajd Etapy nauki........................... ............... 8 slajd Grupy funkcyjne........................... ........................9 slajd Definicja i wykres sinusa....... ...................... 10 slajdów Definicja i wykres cosinusa.............. ....11 slajd Definicja i wykres stycznej.........................12 slajd Definicja i wykres cotangens......13 slajd Odwrotność trzecie funkcje..................................14 slajd Podstawowe formuły... ..................................15-16 slajd Znaczenie trygonometrii... ..................................17 slajd Wykorzystana literatura............ ............................18 slajd Autor i kompilator...... .... ..................19 slajd
Slajd 3
W starożytności trygonometria powstała w związku z potrzebami astronomii, geodezji i budownictwa, czyli miała charakter czysto geometryczny i reprezentowała głównie „rachunek cięciw”. Z biegiem czasu zaczęły się w nią wplatać momenty analityczne. W pierwszej połowie XVIII wieku nastąpiła gwałtowna zmiana, po której trygonometria przyjęła nowy kierunek i przesunęła się w stronę analizy matematycznej. W tym czasie relacje trygonometryczne zaczęto uważać za funkcje. Ma to znaczenie nie tylko matematyczne i historyczne, ale także metodologiczne i pedagogiczne.
Slajd 4
Obecnie w szkolnym kursie algebry i początkach analizy dużo uwagi poświęca się badaniu funkcji trygonometrycznych właśnie jako funkcji argumentu numerycznego. Istnieje kilka różnych podejść do nauczania tego tematu w ramach zajęć szkolnych i nauczycielowi, zwłaszcza początkującemu, może łatwo nie być zdezorientowanym, które podejście jest najwłaściwsze. Ale funkcje trygonometryczne są najwygodniejszym i wizualnym sposobem badania wszystkich właściwości funkcji (przed użyciem pochodnej), a zwłaszcza takich właściwości wielu procesów naturalnych, jak okresowość. Dlatego należy zwrócić szczególną uwagę na ich badania.
Slajd 5
Ponadto duże trudności w studiowaniu tematu „Funkcje trygonometryczne” na kursie szkolnym wynikają z rozbieżności między dość dużą ilością treści a stosunkowo małą liczbą godzin przeznaczonych na naukę tego tematu. Wyzwaniem dla niniejszej pracy badawczej jest zatem konieczność zajęcia się tą rozbieżnością poprzez staranny dobór treści i opracowanie skutecznych metod prezentacji tego materiału. Przedmiotem badań jest proces studiowania linii funkcjonalnej w trakcie zajęć w szkole średniej. Przedmiotem zajęć jest metodologia badania funkcji trygonometrycznych na kursie algebry i rozpoczynaniu analizy w klasach 10-11.
Slajd 7
Funkcje trygonometryczne to matematyczne funkcje kąta. Są ważne w badaniu geometrii, a także w badaniu procesów okresowych. Zazwyczaj funkcje trygonometryczne definiuje się jako stosunek boków trójkąta prostokątnego lub długości niektórych odcinków okręgu jednostkowego. Nowsze definicje wyrażają funkcje trygonometryczne w postaci sum szeregów lub rozwiązań niektórych równań różniczkowych, co pozwala rozszerzyć zakres definicji tych funkcji na dowolne liczby rzeczywiste, a nawet liczby zespolone.
Slajd 8
W badaniu funkcji trygonometrycznych można wyróżnić następujące etapy: I. Pierwsze zapoznanie się z funkcjami trygonometrycznymi argumentu kątowego w geometrii. Wartość argumentu jest uwzględniana w przedziale (0о;90о). Na tym etapie uczniowie dowiadują się, że sin, cos, tg i ctg kąta zależą od miary jego stopnia, zapoznają się z wartościami tabelarycznymi, podstawową tożsamością trygonometryczną i niektórymi wzorami redukcyjnymi. II. Uogólnienie pojęć sinus, cosinus, tangens i cotangens dla kątów (0°; 180°). Na tym etapie rozważany jest związek funkcji trygonometrycznych ze współrzędnymi punktu na płaszczyźnie, udowadniane są twierdzenia o sinusach i cosinusach oraz rozważane jest zagadnienie rozwiązywania trójkątów za pomocą relacji trygonometrycznych. III. Wprowadzenie do pojęć funkcji trygonometrycznych argumentu liczbowego. IV. Usystematyzowanie i poszerzenie wiedzy o funkcjach trygonometrycznych liczb, rozpatrywanie wykresów funkcji, prowadzenie badań, w tym z wykorzystaniem pochodnej.
Slajd 9
Istnieje kilka sposobów definiowania funkcji trygonometrycznych. Można je podzielić na dwie grupy: analityczne i geometryczne. Metody analityczne obejmują zdefiniowanie funkcji y = sin x jako rozwiązanie równania różniczkowego f (x) = -c*f (x) lub jako sumę szeregu potęgowego sin x = x - x3 /3! + x5 /5! ! - ... 2. Metody geometryczne obejmują definiowanie funkcji trygonometrycznych na podstawie rzutów i współrzędnych wektora promienia, definiowanie poprzez stosunek boków trójkąta prostokątnego oraz definicje z wykorzystaniem koła liczbowego. Na kursie szkolnym preferowane są metody geometryczne ze względu na ich prostotę i przejrzystość.
Slajd 10
Definicja sinusa Sinus kąta x jest rzędną punktu otrzymaną przez obrót punktu (1; 0) wokół początku układu współrzędnych o kąt x (oznaczony jako sin x).
Slajd 11
Definicja cosinusa Cosinus kąta x jest odciętą punktu otrzymanego przez obrót punktu (1; 0) wokół początku układu współrzędnych o kąt x (oznaczony jako cos x).
Slajd 12
Definicja tangensa Tangens kąta x jest stosunkiem sinusa kąta x do cosinusa kąta x.
Slajd 13
Definicja cotangens Cotangens kąta x jest stosunkiem cosinusa kąta x do sinusa kąta x.
Slajd 14
Odwrotne funkcje trygonometryczne. Dla sin x, cos x, tg x i ctg x można zdefiniować funkcje odwrotne. Są one oznaczone odpowiednio przez arcsin x (czytaj „arcsine x”), arcos x, arctg x i arcctg x.
Przygotowały: Shunailova M., uczennica 11 „D” Opiekunowie: Kragel T.P., Gremyachenskaya T.V.. 2006
Slajd 2
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to stosunki różnych par boków trójkąta prostokątnego 1) Sinus - stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej: sin A = a / c. 2) Cosinus - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej: cos A = b / c. 3) Styczna - stosunek strony przeciwnej do sąsiedniej: tan A = a / b. 4) Cotangens - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego: ctg A = b / a. 5) Sieczna - stosunek przeciwprostokątnej do sąsiedniej nogi: sec A = c / b. 6) Cosecans - stosunek przeciwprostokątnej do przeciwnej strony: cosec A = = c / a. Wzory na inny kąt ostry B są napisane podobnie
Slajd 3
Przykład: Trójkąt prostokątny ABC (rys. 2) ma nogi: a = 4, b = 3. Znajdź sinus, cosinus i tangens kąta A. Rozwiązanie Najpierw znajdź przeciwprostokątną, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: c 2 = a2+ b 2, Zgodnie z powyższymi wzorami mamy: sin A = a / c = 4 / 5 cos A = b / c = 3 / 5 tan A = a / b = 4 / 3
Slajd 4
Dla niektórych kątów można zapisać dokładne wartości ich funkcji trygonometrycznych. Najważniejsze przypadki pokazano w tabeli: Kąty 0° i 90° w trójkącie prostokątnym nie są ostre, jednak przy rozwijaniu pojęcia funkcji trygonometrycznych uwzględnia się również te kąty. Symbol w tabeli oznacza, że wartość bezwzględna funkcji rośnie bez ograniczeń, jeśli kąt zbliża się do określonej wartości.
Slajd 5
Zależność funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
Slajd 6
Funkcje trygonometryczne podwójnego kąta:
sin 2x = 2sinx cosx cos 2x = cos2x -sin2x tg 2x = 2tg x /(1-tg2x) ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)
Slajd 7
Funkcje trygonometryczne połowy kąta
Często przydatne są formuły wyrażające potęgę grzechu i cos prostego argumentu w postaci grzechu i cos wielokrotności, na przykład: Wzory na cos2x i sin2x można wykorzystać do znalezienia wartości T.f. pół argumentu
Slajd 8
Funkcje trygonometryczne sumy kątów
grzech(x+y)= grzech x cos y + cos x grzech y grzech(x-y)= grzech x cos y - cos x grzech y cos(x+y)= cos x cos y - grzech x grzech y cos(x-y) = cos x cos y + grzech x grzech y
Slajd 9
W przypadku dużych wartości argumentu można zastosować tzw. wzory redukcyjne, które pozwalają wyrazić T. f. jakikolwiek argument poprzez T.f. argument x, który upraszcza kompilację tabel T. f. i ich zastosowanie, a także konstrukcja wykresów. Wzory te mają postać: w pierwszych trzech wzorach n może być dowolną liczbą całkowitą, przy czym górny znak odpowiada wartości n = 2k, a dolny znak wartości n = 2k + 1; w tym drugim - n może być tylko liczbą nieparzystą, a znak górny przyjmuje się, gdy n = 4k + 1, a znak dolny, gdy n = 4k - 1.
Slajd 10
Najważniejszymi wzorami trygonometrycznymi są wzory na dodawanie, które wyrażają funkcje techniczne. suma lub różnica wartości argumentu poprzez T. f. te znaczenia: znaki po lewej i prawej stronie wszystkich wzorów są spójne, to znaczy górny (dolny) znak po lewej stronie odpowiada górnemu (dolnemu) znakowi po prawej stronie. Z nich w szczególności uzyskuje się wzory na T.f. wiele argumentów, na przykład:
Slajd 11
Pochodne wszystkich funkcji trygonometrycznych są wyrażane w postaci funkcji trygonometrycznych
Slajd 12
Wykres funkcji y = sinx wygląda następująco:
Slajd 13
Wykres funkcji y = cosx wygląda następująco:
Slajd 14
Wykres funkcji y = tgx wygląda następująco:
Slajd 15
Wykres funkcji y = ctgx wygląda następująco:
Slajd 16
Historia funkcji trygonometrycznych
T.f. powstał po raz pierwszy w związku z badaniami z zakresu astronomii i geometrii. Zależności między odcinkami trójkąta i okręgu, które są w zasadzie funkcjami technicznymi, odnaleziono już w III wieku. PRZED CHRYSTUSEM mi. w pracach matematyków Starożytna Grecja- Euklides, Archimedes, Apoloniusz z Pergi itp. Jednak relacje te nie są dla nich niezależnym przedmiotem badań, dlatego T.f. jako takie nie były badane. T.f. początkowo uważane były za segmenty i w tej formie były używane przez Arystarcha (koniec IV – II połowa III w. p.n.e.)
Slajd 17
Hipparch (II w. p.n.e.), Menelaos (I w. n.e.) i Ptolemeusz (II w. n.e.) przy rozwiązywaniu trójkątów kulistych. Ptolemeusz sporządził pierwszą tablicę cięciw dla kątów ostrych co 30 cali z dokładnością 10-6. Rozwinięcie funkcji liniowych w szeregi potęgowe uzyskał I. Newton (1669). W nowoczesna forma teoria T. f. cytowany przez L. Eulera (XVIII w.). Jest właścicielem definicji T.f. dla argumentów rzeczywistych i złożonych, obecnie przyjęta symbolika, ustalenie powiązania z funkcją wykładniczą, ortogonalność układu sinusów i cosinusów
Wyświetl wszystkie slajdy
Załadunek...
