Dom
Rozważmy jednokanałowy system kolejkowy z oczekiwaniem.
Zakładamy, że przychodzący strumień zapytań o usługę jest najprostszym przepływem o natężeniu λ.
Natężenie przepływu usług wynosi μ. Czas trwania usługi jest zmienną losową podlegającą prawu rozkładu wykładniczego. Przepływ usług to najprostszy przepływ zdarzeń Poissona.Żądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę. Zakładamy, że wielkość kolejki jest ograniczona i nie może pomieścić więcej niż M aplikacje, tj. aplikacja, która znalazła się w momencie jej przybycia do CMO m +1 żądań (m
czeka w kolejce i jeden jest obsługiwany) opuszcza CMO.
(0‑1)
Układ równań opisujący proces w tym układzie ma rozwiązanie:
Mianownik pierwszego wyrażenia jest postępem geometrycznym z pierwszym wyrazem 1 i mianownikiem ρ, skąd otrzymujemy W ρ
(0‑8)
= 1, możesz skorzystać z bezpośrednich obliczeń
Średnia liczba aplikacji w systemie.
(0‑9)
Od średniej liczby aplikacji w systemiegdzie jest średnia liczba obsługiwanych aplikacji, to wiedząc, pozostaje do znalezienia. Ponieważ jest tylko jeden kanał, wówczas liczba obsłużonych żądań może wynosić 0 lub 1 z prawdopodobieństwem P 0 i P 1=1- P 0
(0‑10)
odpowiednio, skąd
(0‑11)
a średnia liczba aplikacji w systemie wynosi.
Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce
tj. średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce jest równy średniej liczbie wniosków w kolejce podzielonej przez intensywność przepływu wniosków.
Średni czas przebywania aplikacji w systemie. Czas przebywania wniosku w systemie jest sumą czasu oczekiwania wniosku w kolejce i czasu obsługi. Jeśli obciążenie systemu wynosi 100%, wówczas =1/μ, w przeciwnym razie =
(0‑13)
q/μ. Stąd.
Treść pracy .
Wykonuje się to analogicznie, zgodnie z ogólnymi zasadami.
Obliczenia z wykorzystaniem modelu analitycznego.
1. Przygotuj poniższą tabelę w programie Microsoft Excel.
2. W kolumnach parametrów QS tabeli zapisz dane początkowe, które są ustalane zgodnie z regułą:
m=1,2,3
(maksymalna długość kolejki).
Dla każdej wartościŻądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę. Zakładamy, że wielkość kolejki jest ograniczona i nie może pomieścić więcej niż konieczne jest znalezienie teoretycznych i eksperymentalnych wartości wskaźników QS dla następujących par wartości:
= <порядковый номер в списке группы>
3. Wpisz odpowiednie formuły w kolumnach ze wskaźnikami modelu analitycznego.
Eksperymentuj na modelu symulacyjnym.
1. Ustaw tryb uruchamiania z wykładniczo rozłożonym czasem obsługi, ustawiając wartość odpowiedniego parametru na 1.
2. Do każdej kombinacjiŻądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę. Zakładamy, że wielkość kolejki jest ograniczona i nie może pomieścić więcej niż i uruchom model.
3. Wyniki serii wpisz do tabeli.
4. W odpowiednie kolumny tabeli wprowadź wzory służące do obliczenia średniej wartości wskaźnika P otwarte, q i A.
Analiza wyników .
1. Analizować wyniki uzyskane metodami teoretycznymi i eksperymentalnymi, porównując wyniki ze sobą.
2. Dla m=3 narysuj zależności na jednym wykresie Otwarte z danych uzyskanych teoretycznie i eksperymentalnie.
Optymalizacja parametrów QS .
Rozwiąż problem optymalizacji wielkości liczby miejsc w kolejceŻądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę. Zakładamy, że wielkość kolejki jest ograniczona i nie może pomieścić więcej niż dla urządzenia o średnim czasie obsługi = z punktu widzenia uzyskania maksymalnego zysku. Jako warunki problemu przyjmij:
- dochód z obsługi jednego wniosku równy 80 USD/godz.,
- koszt utrzymania jednego urządzenia wynosi 1 cu/godz.
1. Do obliczeń zaleca się utworzenie tabeli:
Pierwsza kolumna jest wypełniona wartościami liczb z szeregu naturalnego (1,2,3...).
Wszystkie komórki w drugiej i trzeciej kolumnie są wypełnione wartościami i.
Formuły kolumn tabeli w sekcji 0 są przenoszone do komórek kolumn od czwartej do dziewiątej.
W kolumnach z początkowymi danymi sekcji Przychody, Wydatki i Zysk wprowadź wartości (patrz wyżej).
W kolumnach z obliczonymi wartościami sekcji Przychody, Wydatki i Zysk zapisz formuły obliczeniowe:
- liczba zastosowań w jednostce czasu
N r = A
- całkowity dochód na jednostkę czasu
ja S = ja r * N r
- całkowite zużycie na jednostkę czasu
mi S =E s + mi q *(n-1)
- zysk na jednostkę czasu
P = ja S - E S
Gdzie
Ir - dochód z jednego wniosku,
E.S - koszt eksploatacji jednego urządzenia,
Równ - koszt obsługi jednego miejsca w kolejce.
Wykresy dla P otwarte,
- tabela z danymi, aby znaleźć najlepsze m i wartość m opt,
- wykres zysku na jednostkę czasu w funkcji M.
Pytania bezpieczeństwa :
1) Podaj krótki opis jednokanałowego modelu QS z ograniczoną kolejką.
2) Jakie wskaźniki charakteryzują funkcjonowanie jednokanałowego QS z awariami?
3) Jak oblicza się prawdopodobieństwo p 0 ?
4) Jak obliczane jest prawdopodobieństwo p I?
5) Jak znaleźć prawdopodobieństwo nieobsługiwania aplikacji?
6) Jak znaleźć względną przepustowość?
7) Jaka jest przepustowość bezwzględna?
8) Jak obliczana jest średnia liczba wniosków w systemie?
9) Podaj przykłady QS z ograniczoną kolejką.
Zadania.
1) Port posiada jedno stanowisko ładunkowe do rozładunku statków. Szybkość przepływu wynosi 0,5 wizyt dziennie. Średni czas rozładunku jednego statku wynosi 2 dni. Jeżeli w kolejce do rozładunku stoją 3 statki, wówczas przybywający statek kierowany jest do innego nabrzeża w celu rozładunku. Znajdź wskaźniki wydajności nabrzeża.
2) Informacja telefoniczna na dworcu przyjmuje zgłoszenia telefoniczne z intensywnością 80 zgłoszeń na godzinę. Operator działu pomocy technicznej odbiera połączenie przychodzące średnio w 0,7 minuty. Jeżeli operator jest zajęty, klient otrzymuje komunikat „Czekaj na odpowiedź”; wniosek zostaje umieszczony w kolejce, której długość nie przekracza 4 żądań. Podaj ocenę pracy help desku i możliwość jego reorganizacji
Federalna Agencja Edukacji Federacji Rosyjskiej
FGOU SPO „Perevozsky Construction College”
Zajęcia
w dyscyplinie „Metody matematyczne”
na temat „SMO z ograniczonym czasem oczekiwania. Zamknięta kontrola jakości”
Wstęp................................................. .............. .................................. .............. 2
1. Podstawy teorii kolejek.................................................. ........... 3
1.1 Pojęcie procesu losowego............................................ ............... 3
1.2 Losowy proces Markowa........................................... ............... 4
1.3 Strumienie zdarzeń .................................................. .................. .................................. ............. 6
1.4 Równania Kołmogorowa na prawdopodobieństwa stanu. Prawdopodobieństwa końcowe stanów............................................ .................................................... ........................ 9
1.5 Zagadnienia teorii kolejek .................................................. ........ 13
1.6 Klasyfikacja systemów kolejkowych........................................... ..... 15
2. Systemy kolejkowe z oczekiwaniem............................................ ........... 16
2.1 Jednokanałowy QS z oczekiwaniem.................................. ........................ 16
2.2 Wielokanałowy QS z oczekiwaniem.................................. ........................ 25
3. Zamknięta QS............................................ ...................................................... ... 37
Rozwiązanie problemu .................................................. .................................................... 45
Wniosek................................................. .................................................. ...... .50
Referencje .................................................. .................................. 51
W tym kursie przyjrzymy się różnym systemom kolejkowym (QS) i sieciom kolejkowym (Queuing).
Przez system kolejkowy (QS) rozumie się system dynamiczny, którego zadaniem jest sprawna obsługa przepływu żądań (wymagań usług) przy ograniczeniach zasobów systemowych.
Modele QS są wygodne do opisu poszczególnych podsystemów współczesnych systemów obliczeniowych, takich jak podsystem procesora - pamięć główna, kanał wejścia-wyjścia itp. System obliczeniowy jako całość to zbiór wzajemnie powiązanych podsystemów, których interakcja ma charakter probabilistyczny. Aplikacja rozwiązująca określony problem wprowadzana do systemu komputerowego przechodzi przez sekwencję etapów zliczania, uzyskiwania dostępu do zewnętrznych urządzeń pamięci masowej i urządzeń wejścia-wyjścia. Po wykonaniu określonej sekwencji takich etapów, których liczba i czas trwania zależą od złożoności programu, żądanie uważa się za rozpatrzone i opuszcza system komputerowy. Zatem system obliczeniowy jako całość można przedstawić za pomocą zbioru QS, z których każdy odzwierciedla proces funkcjonowania pojedynczego urządzenia lub grupy podobnych urządzeń wchodzących w skład systemu.
Zbiór wzajemnie połączonych QS nazywany jest siecią kolejkową (sieć stochastyczna).
Na początek przyjrzymy się podstawom teorii QS, następnie przejdziemy do szczegółowego zapoznania się z QS z oczekiwaniami i QS zamkniętym. Kurs obejmuje również część praktyczną, w której szczegółowo nauczymy się, jak zastosować teorię w praktyce.
Teoria kolejek jest jedną z gałęzi teorii prawdopodobieństwa. Ta teoria uważa probabilistyczny problemy i modele matematyczne (wcześniej rozważaliśmy deterministyczne modele matematyczne). Przypomnijmy, że:
Deterministyczny model matematyczny odzwierciedla zachowanie obiektu (systemu, procesu) z perspektywy pełna pewność w teraźniejszości i przyszłości.
Probabilistyczny model matematyczny uwzględnia wpływ czynników losowych na zachowanie obiektu (systemu, procesu) i dlatego ocenia przyszłość z punktu widzenia prawdopodobieństwa wystąpienia określonych zdarzeń.
Te. tutaj, jak na przykład w teorii gier, rozważa się problemy w warunkach niepewność .
Rozważmy najpierw pewne pojęcia charakteryzujące „niepewność stochastyczną”, gdy niepewnymi czynnikami zawartymi w problemie są zmienne losowe (lub funkcje losowe), których charakterystyki probabilistyczne są albo znane, albo można je uzyskać z doświadczenia. Taka niepewność jest również nazywana „korzystną”, „łagodną”.
Ściśle mówiąc, przypadkowe zakłócenia są nieodłącznym elementem każdego procesu. Łatwiej podać przykłady procesu losowego niż procesu „nielosowego”. Nawet np. proces uruchamiania zegara (wydaje się to pracą ściśle skalibrowaną – „działa jak zegar”) podlega przypadkowym zmianom (poruszanie się do przodu, opóźnienie, zatrzymanie). Dopóki jednak zaburzenia te są nieznaczne i mają niewielki wpływ na interesujące nas parametry, możemy je pominąć i uznać proces za deterministyczny, nielosowy.
Niech będzie jakiś system S(urządzenie techniczne, grupa takich urządzeń, system technologiczny – maszyna, obiekt, warsztat, przedsiębiorstwo, przemysł itp.). W systemie S przecieki proces losowy, jeśli zmienia swój stan w czasie (przechodzi z jednego stanu do drugiego), w dodatku w nieznany wcześniej losowy sposób.
Przykłady:
1. System S– układ technologiczny (sekcja maszynowa). Maszyny co jakiś czas się psują i są naprawiane. Proces zachodzący w tym układzie jest losowy.
2. System S- samolot lecący na określonej wysokości po określonej trasie. Czynniki zakłócające - warunki pogodowe, błędy załogi itp., konsekwencje - wyboistość, naruszenie rozkładu lotów itp.
Nazywa się proces losowy zachodzący w systemie Markowski, jeśli na dowolny moment T 0 probabilistyczne cechy procesu w przyszłości zależą wyłącznie od jego stanu w tej chwili T 0 i nie zależą od tego, kiedy i jak system osiągnął ten stan.
Niech układ będzie w pewnym stanie w chwili t 0 S 0. Znamy charakterystykę stanu systemu w teraźniejszości i wszystko, co wydarzyło się w trakcie T <T 0 (historia procesu). Czy potrafimy przewidzieć (przewidzieć) przyszłość, tj. co się stanie kiedy T >T 0? Nie do końca, ale pewne probabilistyczne cechy procesu można znaleźć w przyszłości. Na przykład prawdopodobieństwo, że po pewnym czasie system S będzie mógł S 1 lub pozostanie w stanie S 0 itd.
Przykład. System S- grupa samolotów biorących udział w walkach powietrznych. Pozwalać X– liczba „czerwonych” samolotów, y– liczba „niebieskich” samolotów. Do czasu T 0 liczba ocalałych (nie zestrzelonych) samolotów – odpowiednio – X 0 , y 0. Interesuje nas prawdopodobieństwo, że w danym momencie przewaga liczebna będzie po stronie „czerwonych”. Prawdopodobieństwo to zależy od stanu, w jakim znajdował się w danym momencie system T 0, a nie o tym, kiedy i w jakiej kolejności zestrzeleni ginęli, aż do chwili obecnej T 0 samolotów.
W praktyce nie spotyka się procesów Markowa w czystej postaci. Istnieją jednak procesy, w przypadku których można pominąć wpływ „prehistorii”. A do badania takich procesów można zastosować modele Markowa (teoria kolejek nie uwzględnia systemów kolejek Markowa, ale aparat matematyczny je opisujący jest znacznie bardziej złożony).
W badaniach operacyjnych duże znaczenie mają losowe procesy Markowa o stanach dyskretnych i czasie ciągłym.
Proces nazywa się proces stanu dyskretnego, jeśli są to możliwe stany S 1 , S 2, ... można określić z góry, a przejście systemu ze stanu do stanu następuje „skokiem” niemal natychmiast.
Proces nazywa się ciągły proces czasowy, jeżeli momenty możliwych przejść od stanu do stanu nie są z góry ustalone, ale są niepewne, losowe i mogą wystąpić w dowolnym momencie.
Przykład. System technologiczny (przekrój) S składa się z dwóch maszyn, z których każda może ulec awarii (awarii) w losowym momencie, po czym natychmiast rozpoczyna się naprawa jednostki, która również trwa przez nieznany, losowy czas. Możliwe są następujące stany systemu:
S 0 - obie maszyny pracują;
S 1 - pierwsza maszyna jest w naprawie, druga działa;
S 2 - druga maszyna jest w naprawie, pierwsza działa;
S 3 - obie maszyny są w naprawie.
Przejścia systemowe S przechodzenie ze stanu do stanu następuje niemal natychmiast, w losowych momentach, gdy konkretna maszyna ulegnie awarii lub zakończy się naprawa.
Analizując procesy losowe o stanach dyskretnych, wygodnie jest zastosować schemat geometryczny - wykres stanu. Wierzchołki grafu to stany układu. Łuki wykresu to możliwe przejścia ze stanu do stanu. Dla naszego przykładu wykres stanu pokazano na ryc. 1.
Ryż. 1. Wykres stanu systemu
Notatka. Przejście ze stanu S 0 cali S 3 nie jest pokazany na rysunku, ponieważ zakłada się, że maszyny ulegają awariom niezależnie od siebie. Pomijamy możliwość jednoczesnej awarii obu maszyn.
Strumień wydarzenia– sekwencja jednorodnych zdarzeń następujących po sobie w przypadkowych momentach czasu.
W poprzednim przykładzie jest to przepływ niepowodzeń i przepływ uzupełnień. Inne przykłady: przepływ połączeń w centrali telefonicznej, przepływ klientów w sklepie itp.
Przebieg zdarzeń można wizualnie przedstawić za pomocą serii punktów na osi czasu O T- ryż. 2.
Ryż. 2. Obraz przebiegu zdarzeń na osi czasu
Położenie każdego punktu jest losowe i przedstawiono tutaj tylko jedną implementację przepływu.
Intensywność przepływu zdarzeń ( ) to średnia liczba zdarzeń w jednostce czasu.
Przyjrzyjmy się niektórym właściwościom (typom) strumieni zdarzeń.
Strumień zdarzeń nazywa się stacjonarny, jeśli jego cechy probabilistyczne nie zależą od czasu.
W szczególności intensywność przepływu stacjonarnego jest stała. W przepływie zdarzeń nieuchronnie występują kondensacje lub rozrzedzenia, ale nie mają one charakteru regularnego, a średnia liczba zdarzeń w jednostce czasu jest stała i niezależna od czasu.
Strumień zdarzeń nazywa się przepływ bez konsekwencji, jeśli dla dowolnych dwóch niezachodzących na siebie odcinków czasu i (patrz ryc. 2) liczba zdarzeń przypadających na jeden z nich nie zależy od liczby zdarzeń przypadających na drugi. Innymi słowy oznacza to, że zdarzenia tworzące przepływ pojawiają się w określonych momentach czasu niezależnie od siebie i każdy z nich ma swoje własne przyczyny.
Strumień zdarzeń nazywa się zwykły, jeśli zdarzenia pojawiają się w nim pojedynczo, a nie w grupach po kilka na raz.
Strumień zdarzeń nazywa się najprostszy (lub stacjonarny Poissona), jeśli ma trzy właściwości jednocześnie:
1) stacjonarne;
2) zwykły;
3) nie ma żadnych konsekwencji.
Najprostszy przepływ ma najprostszy opis matematyczny. Odgrywa w przepływach tę samą szczególną rolę, co prawo rozkładu normalnego wśród innych praw rozkładu. Mianowicie, nakładając odpowiednio dużą liczbę niezależnych, stacjonarnych i zwyczajnych przepływów (porównywalnych pod względem intensywności), uzyskuje się przepływ zbliżony do najprostszego.
Dla najprostszego przepływu z interwałem intensywności T pomiędzy sąsiednimi zdarzeniami ma tzw rozkład wykładniczy z gęstością:
gdzie jest parametrem prawa wykładniczego.
Dla zmiennej losowej T, który ma rozkład wykładniczy, oczekiwanie matematyczne jest odwrotnością parametru, a odchylenie standardowe jest równe oczekiwaniu matematycznemu:
Rozważając procesy Markowa o stanach dyskretnych i czasie ciągłym, przyjmuje się, że wszystkie przejścia układu S od stanu do stanu zachodzą pod wpływem prostych przepływów zdarzeń (przepływów wywołań, przepływów awarii, przepływów odzyskiwania itp.). Jeśli wszystkie strumienie zdarzeń przesyłają system S od stanu do stanu najprostszego, wówczas proces zachodzący w układzie będzie procesem Markowskim.
Zatem na system będący w stanie wpływa prosty przepływ zdarzeń. Gdy tylko pojawi się pierwsze zdarzenie tego przepływu, system „przeskakuje” ze stanu do stanu (na wykresie stanu wzdłuż strzałki).
Dla przejrzystości na wykresie stanu systemu dla każdego łuku wskazane jest natężenie przepływu zdarzeń przemieszczających system wzdłuż tego łuku (strzałka). - intensywność przepływu zdarzeń przenoszących system ze stanu do . Taki wykres nazywa się wyraźny. W naszym przykładzie oznaczony wykres pokazano na ryc. 3.
Ryż. 3. Oznaczony wykres stanu systemu
Na tym rysunku - intensywność przepływu awarii; - intensywność przepływu odzysku.
Zakładamy, że średni czas naprawy maszyny nie zależy od tego, czy naprawiana jest jedna maszyna, czy obie na raz. Te. Każda maszyna jest naprawiana przez odrębnego specjalistę.
Niech system będzie w stanie S 0. Uroczyście S 1 przekłada się to na przepływ awarii pierwszej maszyny. Jego intensywność jest równa:
gdzie jest średnim czasem bezawaryjnej pracy pierwszej maszyny.
Od stanu S 1 cal S 0 system jest przenoszony poprzez przepływ „zakończeń naprawy” pierwszej maszyny. Jego intensywność jest równa:
gdzie jest średni czas naprawy pierwszej maszyny.
W podobny sposób obliczane są intensywności strumieni zdarzeń przenoszących system wzdłuż wszystkich łuków wykresu. Mając do dyspozycji oznaczony graf stanów układu, konstruujemy model matematyczny tego procesu.
Weźmy pod uwagę system S ma -możliwe stany. Prawdopodobieństwo tego stanu to prawdopodobieństwo, że w danym momencie system będzie w tym stanie. Jest oczywiste, że w dowolnym momencie suma wszystkich prawdopodobieństw stanu jest równa jeden:
Aby znaleźć wszystkie prawdopodobieństwa stanów jako funkcje czasu, utwórz i rozwiąż Równania Kołmogorowa– specjalny rodzaj równania, w którym nieznanymi funkcjami są prawdopodobieństwa stanów. Zasada komponowania tych równań jest tutaj przedstawiona bez dowodu. Ale zanim to przedstawimy, wyjaśnijmy tę koncepcję ostateczne prawdopodobieństwo stanu .
Co stanie się z prawdopodobieństwami stanu w ? Czy będą dążyć do jakichś ograniczeń? Jeżeli te granice istnieją i nie zależą od stanu początkowego systemu, to nazywa się je prawdopodobieństwa stanu końcowego .
gdzie jest skończoną liczbą stanów systemu.
Prawdopodobieństwa stanu końcowego– to już nie są wielkości zmienne (funkcje czasu), ale liczby stałe. To oczywiste, że:
Prawdopodobieństwo stanu końcowego jest zasadniczo średnim względnym czasem, w którym system pozostaje w tym stanie.
Na przykład system S ma trzy stany S 1 , S 2 i S 3. Ich ostateczne prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio 0,2; 0,3 i 0,5. Oznacza to, że system w granicznym stanie stacjonarnym spędza w tym stanie średnio 2/10 swojego czasu S 1, 3/10 – w stanie S 2 i 5/10 – zdolne S 3 .
Zasada tworzenia układu równań Kołmogorowa: w każdym równaniu układu po lewej stronie jest ostatecznym prawdopodobieństwem danego stanu pomnożonym przez całkowite natężenie wszystkich przepływów, wiodący z tego stanu, A w jego prawej stronie strony– suma iloczynów natężeń wszystkich przepływów, zawarte w -ty stan, na prawdopodobieństwach stanów, z których te przepływy pochodzą.
Korzystając z tej reguły piszemy układ równań dla naszego przykładu :
.
Wydaje się, że ten układ czterech równań z czterema niewiadomymi można całkowicie rozwiązać. Ale te równania są jednorodne (nie mają wolnego terminu) i dlatego określają niewiadome tylko do dowolnego czynnika. Można jednak użyć warunku normalizacji: 
i użyj go do rozwiązania systemu. W takim przypadku jedno (dowolne) z równań można odrzucić (wynika to z pozostałych).
Kontynuacja przykładu. Niech natężenia przepływu będą równe: .
Odrzucamy czwarte równanie i zamiast tego dodajemy warunek normalizacji:
.
Te. w trybie ograniczającym, stacjonarnym system Sśrednio 40% czasu spędzimy w stanie S 0 (obie maszyny są sprawne), 20% - w dobrym stanie S 1 (pierwsza maszyna jest w naprawie, druga działa), 27% - w stanie S 2 (druga maszyna w naprawie, pierwsza pracuje), 13% - w dobrym stanie S 3 (obie maszyny w naprawie). Znajomość tych ostatecznych prawdopodobieństw może pomóc w oszacowaniu średniej wydajności układu i obciążenia narządów naprawczych.
Pozwól systemowi S zdolny S 0 (w pełni sprawny) przynosi dochód w wysokości 8 jednostek konwencjonalnych na jednostkę czasu S 1 – dochód 3 jednostek konwencjonalnych, zdolnych S 2 – dochód 5 jednostek konwencjonalnych, zdolnych S 3 – nie generuje dochodu. Wówczas w trybie ograniczającym, stacjonarnym, średni dochód na jednostkę czasu będzie równy: jednostkom konwencjonalnym.
Maszyna 1 jest naprawiana w ułamku czasu równego: . Maszyna 2 jest naprawiana w ułamku czasu równego: . Powstaje problem optymalizacji. Choć możemy skrócić średni czas naprawy pierwszej lub drugiej maszyny (lub obu), będzie nas to kosztować określoną kwotę. Pytanie brzmi, czy zwiększone przychody związane z szybszymi naprawami pokryją zwiększone koszty napraw? Będziesz musiał rozwiązać układ czterech równań z czterema niewiadomymi.
Przykłady systemów kolejkowych (QS): centrale telefoniczne, warsztaty naprawcze, kasy biletowe, punkty informacyjne, obrabiarki i inne systemy technologiczne, systemy sterowania elastycznych systemów produkcyjnych itp.
Każdy QS składa się z określonej liczby jednostek usługowych, które są nazywane kanały usług(są to maszyny, wózki transportowe, roboty, linie komunikacyjne, kasjerzy, sprzedawcy itp.). Każdy QS został zaprojektowany tak, aby służyć czemuś przepływ aplikacji(wymagania) pojawiające się w przypadkowych momentach w czasie.
Obsługa żądania trwa przez pewien, ogólnie rzecz biorąc, losowy czas, po którym kanał jest zwalniany i gotowy na przyjęcie kolejnego żądania. Losowy charakter przepływu wniosków i czasu obsługi powoduje, że w pewnych okresach czasu na wejściu QS gromadzi się zbyt duża liczba wniosków (albo ustawiają się w kolejce, albo pozostawiają QS bez obsługi). W pozostałych okresach system będzie pracował z niedociążeniem lub będzie całkowicie bezczynny.
Proces działania QS jest procesem losowym o stanach dyskretnych i czasie ciągłym. Stan QS zmienia się gwałtownie w momencie wystąpienia określonych zdarzeń (przybycie nowej aplikacji, koniec obsługi, moment, w którym zmęczona czekaniem aplikacja opuszcza kolejkę).
Przedmiot teorii kolejek– budowa modeli matematycznych łączących dane warunki pracy QS (liczba kanałów, ich produktywność, zasady działania, charakter przepływu żądań) z interesującymi nas cechami – wskaźnikami efektywności QS. Wskaźniki te opisują zdolność CMO do radzenia sobie z napływem wniosków. Mogą to być: średnia liczba aplikacji obsłużonych przez QS w jednostce czasu; średnia liczba zajętych kanałów; średnia liczba wniosków w kolejce; średni czas oczekiwania na obsługę itp.
Analiza matematyczna pracy QS jest znacznie ułatwiona, jeśli proces tej pracy jest Markowski, tj. strumienie zdarzeń przenoszące system ze stanu do stanu są najprostsze. W przeciwnym razie matematyczny opis procesu staje się bardzo skomplikowany i rzadko udaje się sprowadzić go do konkretnych zależności analitycznych. W praktyce procesy inne niż Markowa sprowadza się do procesów Markowa z przybliżeniem. Poniższy aparat matematyczny opisuje procesy Markowa.
Pierwszy podział (ze względu na obecność kolejek):
1. QS z awariami;
2. Kolejka z kolejką.
W QS z awariami wniosek otrzymany w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, zostaje odrzucony, opuszcza QS i nie jest obsługiwany w przyszłości.
W SMO z kolejką aplikacja, która przychodzi w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte, nie wychodzi, tylko ustawia się w kolejce i czeka na możliwość obsłużenia.
QS z kolejkami są podzielone na różne typy w zależności od sposobu organizacji kolejki - ograniczone lub nieograniczone. Ograniczenia mogą dotyczyć zarówno długości kolejki, jak i czasu oczekiwania, „dyscypliny obsługi”.
Rozważane są na przykład następujące QS:
· CMO z niecierpliwymi prośbami (długość kolejki i czas obsługi są ograniczone);
· QS z usługą priorytetową, tj. niektóre wnioski są przetwarzane poza kolejnością itp.
Ponadto QS dzielą się na otwarte QS i zamknięte QS.
W otwartym QS charakterystyka przepływu żądań nie zależy od stanu samego QS (ile kanałów jest zajętych). W zamkniętym QS- zależeć. Przykładowo, jeśli jeden pracownik obsługuje grupę maszyn, które od czasu do czasu wymagają regulacji, to intensywność przepływu „zapotrzebowań” ze strony maszyn zależy od tego, ile z nich jest już sprawnych i czeka na regulację.
Klasyfikacja SMO nie ogranicza się do powyższych odmian, ale to wystarczy.
Rozważmy najprostszy QS z oczekiwaniem - system jednokanałowy (n - 1), który odbiera strumień żądań z intensywnością; intensywność usług (tj. stale zajęty kanał będzie średnio wysyłał żądania obsługi w jednostce (czasu). Żądanie otrzymane w czasie, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę.
System z ograniczoną długością kolejki. Załóżmy najpierw, że ilość miejsc w kolejce jest ograniczona liczbą m, czyli: jeśli wniosek dotrze w momencie, gdy w kolejce znajduje się już m-aplikacji, pozostawia system bez obsługi. W przyszłości kierując m do nieskończoności uzyskamy charakterystykę jednokanałowego QS bez ograniczeń co do długości kolejki.
Będziemy numerować stany QS zgodnie z liczbą aplikacji w systemie (zarówno obsługiwanych, jak i oczekujących na obsługę):
Kanał jest bezpłatny;
Kanał jest zajęty, nie ma kolejki;
Kanał jest zajęty, w kolejce znajduje się jedno żądanie;
Kanał jest zajęty, w kolejce znajdują się wnioski k-1;
Kanał jest zajęty, aplikacje czekają w kolejce.
GSP pokazano na rys. 4. Wszystkie intensywności przepływów zdarzeń wprowadzanych do układu wzdłuż strzałek od lewej do prawej są równe , a od prawej do lewej - . Rzeczywiście, przepływ żądań przesuwa system wzdłuż strzałek od lewej do prawej (gdy tylko nadejdzie żądanie, system przechodzi do następnego stanu), od prawej do lewej - przepływ „zwolnień” zajętego kanału, co ma intensywność (w momencie obsługi kolejnego żądania kanał albo się zwolni, albo zmniejszy się liczba aplikacji w kolejce).
Ryż. 4. Jednokanałowy QS z oczekiwaniem
Pokazane na ryc. Diagram 4 to diagram reprodukcji i śmierci. Zapiszmy wyrażenia na prawdopodobieństwa graniczne stanów:
(5)
lub używając: :
(6)
Ostatni wiersz (6) zawiera postęp geometryczny z pierwszym wyrazem 1 i mianownikiem p, z którego otrzymujemy:
(7)
w związku z czym prawdopodobieństwa graniczne przyjmują postać:
(8).
Wyrażenie (7) obowiązuje tylko dla< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
Określmy charakterystykę QS: prawdopodobieństwo awarii, przepustowość względna q, przepustowość bezwzględna A, średnia długość kolejki, średnia liczba aplikacji powiązanych z systemem, średni czas oczekiwania w kolejce, średni czas przebywania aplikacji w QS .
Prawdopodobieństwo niepowodzenia. Oczywiście wniosek zostanie odrzucony tylko wtedy, gdy kanał będzie zajęty i wszystkie t-miejsca w kolejce również będą zajęte:
(9).
Względna przepustowość:
(10).
Średnia długość kolejki. Znajdźmy średnią liczbę aplikacji w kolejce jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej R-liczba aplikacji w kolejce:
Z prawdopodobieństwem w kolejce jest jedna aplikacja, z prawdopodobieństwem są dwie aplikacje, ogólnie z prawdopodobieństwem w kolejce jest k-1 wniosków itd., z których:
(11).
Ponieważ , sumę z (11) można interpretować jako pochodną sumy postępu geometrycznego:
Podstawiając to wyrażenie do (11) i korzystając z (8), ostatecznie otrzymujemy:
(12).
Średnia liczba aplikacji w systemie. Następnie otrzymujemy wzór na średnią liczbę -żądań związanych z systemem (zarówno stojących w kolejce, jak i obsługiwanych). Ponieważ , gdzie jest średnią liczbą obsługiwanych aplikacji, a k jest znane, pozostaje ustalić . Ponieważ istnieje tylko jeden kanał, liczba obsługiwanych żądań może wynosić 0 (z prawdopodobieństwem ) lub 1 (z prawdopodobieństwem 1 - ), z czego:
.
a średnia liczba wniosków związanych z QS wynosi:
(13).
Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce. Oznaczmy to; jeśli w pewnym momencie do systemu wpłynie żądanie, to z dużym prawdopodobieństwem kanał obsługi nie będzie zajęty i nie będzie musiał czekać w kolejce (czas oczekiwania wynosi zero). Najprawdopodobniej wejdzie do systemu w trakcie obsługi jakiegoś żądania, ale nie będzie przed nią kolejki, a żądanie będzie oczekiwało na rozpoczęcie obsługi przez pewien czas (średni czas obsługi jednego wniosek). Istnieje prawdopodobieństwo, że przed rozpatrzeniem wniosku w kolejce będzie znajdował się kolejny wniosek, a średni czas oczekiwania będzie równy itd.
Jeżeli k=m+1, tj. gdy nowo przychodzące żądanie stwierdzi, że kanał obsługi jest zajęty, a m-żądania znajdują się w kolejce (jest to prawdopodobne), wówczas w tym przypadku żądanie nie trafia do kolejki (i nie jest obsługiwane), więc czas oczekiwania wynosi zero. Średni czas oczekiwania wyniesie:
jeśli podstawimy tutaj wyrażenia za prawdopodobieństwa (8), otrzymamy:
(14).
Korzystamy tu z relacji (11), (12) (pochodna ciągu geometrycznego), a także z (8). Porównując to wyrażenie z (12) zauważamy, że innymi słowy średni czas oczekiwania jest równy średniej liczbie wniosków w kolejce podzielonej przez intensywność przepływu wniosków.
(15).
Średni czas przebywania aplikacji w systemie. Oznaczmy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jako czas przebywania żądania w QS, który jest sumą średniego czasu oczekiwania w kolejce i średniego czasu obsługi. Jeśli obciążenie systemu wynosi 100%, oczywiście, w przeciwnym razie:
.
Przykład 1. Stacja benzynowa (stacja benzynowa) to stacja paliw z jednym kanałem obsługi (jedną pompą).
Powierzchnia stacji pozwala na jednoczesne ustawienie w kolejce do tankowania nie więcej niż trzech samochodów (m = 3). Jeżeli w kolejce stoją już trzy samochody, następny samochód przyjeżdżający na stację nie dołącza do kolejki. Napływ samochodów przyjeżdżających na tankowanie ma natężenie = 1 (samochód na minutę). Proces tankowania trwa średnio 1,25 minuty.
Określić:
prawdopodobieństwo niepowodzenia;
względna i bezwzględna przepustowość stacji benzynowych;
średnia liczba samochodów oczekujących na zatankowanie;
średnia liczba samochodów na stacji benzynowej (w tym serwisowanych);
średni czas oczekiwania na samochód w kolejce;
średni czas, jaki samochód spędza na stacji benzynowej (wliczając serwis).
Inaczej mówiąc, średni czas oczekiwania jest równy średniej liczbie wniosków w kolejce podzielonej przez intensywność przepływu wniosków.
Najpierw znajdujemy zmniejszoną intensywność przepływu aplikacji: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Według wzorów (8):
Prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 0,297.
Względna pojemność QS: q=1-=0,703.
Bezwzględna przepustowość QS: A==0,703 samochodów na minutę.
Średnią liczbę samochodów w kolejce obliczamy korzystając ze wzoru (12):
te. Średnia liczba samochodów oczekujących w kolejce do tankowania na stacji benzynowej wynosi 1,56.
Dodając do tej wartości średnią liczbę pojazdów w eksploatacji:
otrzymujemy średnią liczbę samochodów powiązanych ze stacją benzynową.
Średni czas oczekiwania na samochód w kolejce według wzoru (15):
Dodając do tej wartości otrzymujemy średni czas jaki samochód spędza na stacji benzynowej:
Systemy z nieograniczonym oczekiwaniem. W takich układach wartość m nie jest ograniczona i dlatego główne cechy można uzyskać, przechodząc do granicy we wcześniej uzyskanych wyrażeniach (5), (6) itp.
Należy zauważyć, że mianownik ostatniego wzoru (6) jest sumą nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego. Suma ta jest zbieżna, gdy postęp maleje w nieskończoność, tj. Na<1.
Można to udowodnić<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Jeżeli wówczas relacje (8) mają postać:
(16).
Jeżeli nie ma ograniczeń co do długości kolejki, to każda aplikacja, która wejdzie do systemu zostanie obsłużona, zatem q=1, 
.
Średnią liczbę wniosków w kolejce uzyskujemy z (12) pod adresem:
Średnia liczba wniosków w systemie według wzoru (13) przy:
.
Średni czas oczekiwania oblicza się ze wzoru (14) przy pomocy:
.
Wreszcie średni czas przebywania aplikacji w QS wynosi:
System z ograniczoną długością kolejki. Rozważmy kanał QS z oczekiwaniem, który odbiera strumień żądań z dużą intensywnością; intensywność obsługi (dla jednego kanału); ilość miejsc w kolejce.
Stany systemu numerowane są według liczby żądań powiązanych z systemem:
brak kolejki:
Wszystkie kanały są bezpłatne;
Jeden kanał jest zajęty, reszta jest wolna;
- kanały są zajęte, pozostałe nie;
Wszystkie kanały są zajęte, nie ma wolnych kanałów;
jest kolejka:
Wszystkie n-kanały są zajęte; jedna aplikacja znajduje się w kolejce;
Wszystkie n-kanały, r-żądania w kolejce są zajęte;
Wszystkie n-kanały i r-żądania w kolejce są zajęte.
GSP pokazano na ryc. 17. Każda strzałka oznaczona jest odpowiednią intensywnością przepływów zdarzeń. Wzdłuż strzałek od lewej do prawej, system jest zawsze przesyłany tym samym strumieniem żądań o intensywności
Ryż. 17. Wielokanałowy QS z oczekiwaniem
Wykres jest typowy dla procesów reprodukcji i śmierci, dla których wcześniej uzyskano rozwiązanie. Zapiszmy wyrażenia na prawdopodobieństwa graniczne stanów stosując notację: (tutaj używamy wyrażenia na sumę ciągu geometrycznego z mianownikiem).
W ten sposób znaleziono wszystkie prawdopodobieństwa stanu.
Określmy charakterystykę sprawności systemu.
Prawdopodobieństwo niepowodzenia. Przychodzące żądanie zostaje odrzucone, jeśli wszystkie n-kanały i wszystkie m-miejsc w kolejce są zajęte:
(18)
Względna przepustowość uzupełnia prawdopodobieństwo awarii do jednego:
Bezwzględna przepustowość QS:
(19)
Średnia liczba zajętych kanałów. W przypadku QS z odmową pokrywała się ona ze średnią liczbą wniosków w systemie. Dla QS z kolejką średnia liczba zajętych kanałów nie pokrywa się ze średnią liczbą aplikacji w systemie: ta ostatnia wartość różni się od pierwszej średnią liczbą aplikacji w kolejce.
Oznaczmy średnią liczbę zajętych kanałów przez . Każdy zajęty kanał obsługuje średnio żądania A w jednostce czasu, a QS jako całość obsługuje średnio żądania A w jednostce czasu. Dzieląc jedno przez drugie, otrzymujemy:
Średnią liczbę żądań w kolejce można obliczyć bezpośrednio jako matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej:
(20)
Tutaj znowu (wyrażenie w nawiasie) występuje pochodna sumy postępu geometrycznego (patrz wyżej (11), (12) - (14)), korzystając z zależności do niej otrzymujemy:
Średnia liczba aplikacji w systemie:
Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce. Rozważmy szereg sytuacji, które różnią się stanem, w jakim nowo otrzymane żądanie znajdzie się w systemie oraz czasem oczekiwania na obsługę.
Jeśli żądanie nie stwierdzi, że wszystkie kanały są zajęte, nie będzie musiało w ogóle czekać (odpowiednie elementy w oczekiwaniu matematycznym są równe zeru). Jeśli żądanie dotrze w czasie, gdy wszystkie n-kanały są zajęte i nie ma kolejki, będzie musiało czekać średnio przez czas równy (ponieważ „przepływ zwolnienia” kanałów ma intensywność ). Jeśli żądanie stwierdzi, że wszystkie kanały są zajęte, a jedno żądanie znajduje się przed nim w kolejce, będzie musiało czekać średnio przez pewien czas (dla każdego żądania na początku) itd. Jeśli żądanie znajdzie się w kolejce - żądań, będzie musiał średnio poczekać Jeśli nowo otrzymane żądanie znajdzie już w kolejce m-żądania, to w ogóle nie będzie czekać (ale nie zostanie obsłużone). Średni czas oczekiwania znajdujemy, mnożąc każdą z tych wartości przez odpowiednie prawdopodobieństwa:
(21)
Podobnie jak w przypadku jednokanałowego QS z oczekiwaniem, zauważamy, że wyrażenie to różni się od wyrażenia na średnią długość kolejki (20) jedynie współczynnikiem, tj.
.
Średni czas przebywania żądania w systemie, jak i dla jednokanałowego QS, różni się od średniego czasu oczekiwania przez średni czas obsługi pomnożony przez względną przepustowość:
.
Systemy z nieograniczoną długością kolejek. Rozważaliśmy kanał QS z oczekiwaniem, gdy w kolejce nie może znajdować się jednocześnie więcej niż m-żądań.
Podobnie jak poprzednio, analizując układy bez ograniczeń, należy uwzględnić otrzymane zależności dla .
Prawdopodobieństwa stanów otrzymujemy ze wzorów przechodząc do granicy (at ). Należy zauważyć, że suma odpowiedniego postępu geometrycznego zbiega się i odbiega przy > 1. Zakładając, że<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Prawdopodobieństwo awarii, przepustowość względna i bezwzględna. Ponieważ każde żądanie prędzej czy później zostanie obsłużone, charakterystyka przepustowości QS będzie następująca:
Średnią liczbę wniosków w kolejce oblicza się z (20):
,
a średni czas oczekiwania wynosi od (21):
.
Średnią liczbę zajętych kanałów, jak poprzednio, określa się na podstawie przepustowości bezwzględnej:
.
Średnią liczbę wniosków powiązanych z QS definiuje się jako średnią liczbę wniosków w kolejce plus średnią liczbę wniosków w obsłudze (średnia liczba zajętych kanałów):
Przykład 2. Stacja benzynowa z dwiema pompami (n = 2) obsługuje przepływ samochodów z natężeniem =0,8 (samochodów na minutę). Średni czas serwisu na maszynę:
W okolicy nie ma innej stacji benzynowej, dlatego kolejka samochodów przed stacją benzynową może rosnąć niemal w nieskończoność. Znajdź cechy QS.
Ponieważ<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
itp.
Średnią liczbę zajętych kanałów znajdziemy, dzieląc bezwzględną pojemność QS A = = 0,8 przez intensywność usługi = 0,5:
Prawdopodobieństwo braku kolejki na stacji benzynowej będzie wynosić:
Średnia liczba samochodów w kolejce:
Średnia liczba samochodów na stacjach benzynowych:
Średni czas oczekiwania w kolejce:
Średni czas, jaki samochód spędza na stacji benzynowej:
QS z ograniczonym czasem oczekiwania. Wcześniej rozważaliśmy systemy, w których oczekiwanie jest ograniczone jedynie długością kolejki (liczbą m-żądań jednocześnie w kolejce). W takim QS aplikacja, która urosła w kolejce, nie opuści jej, dopóki nie będzie czekać na obsługę. W praktyce istnieją inne typy QS, w których wniosek po odczekaniu pewnego czasu może opuścić kolejkę (tzw. wnioski „niecierpliwe”).
Rozważmy QS tego typu, zakładając, że ograniczenie czasu oczekiwania jest zmienną losową.
Załóżmy, że istnieje n-kanałowy QS oczekujący, w którym liczba miejsc w kolejce jest nieograniczona, ale czas przebywania żądania w kolejce jest pewną zmienną losową o wartości średniej, zatem każde żądanie w kolejce jest podlega rodzajowi Poissona „przepływowi troski” z intensywnością:
Jeśli ten przepływ jest Poissona, to proces zachodzący w QS będzie procesem Markowskim. Znajdźmy dla niego prawdopodobieństwa stanu. Numeracja stanów systemu jest powiązana z liczbą wniosków w systemie – zarówno obsługiwanych, jak i stojących w kolejce:
brak kolejki:
Wszystkie kanały są bezpłatne;
Jeden kanał jest zajęty;
Dwa kanały są zajęte;
Wszystkie n-kanały są zajęte;
jest kolejka:
Wszystkie n-kanały są zajęte, jedno żądanie znajduje się w kolejce;
Wszystkie n-kanały są zajęte, r-żądania czekają w kolejce itp.
Wykres stanów i przejść układu pokazano na rys. 23.
Ryż. 23. QS z ograniczonym czasem oczekiwania
Oznaczmy ten wykres jak poprzednio; wszystkie strzałki prowadzące od lewej do prawej będą wskazywały intensywność przepływu aplikacji. Dla stanów bez kolejki strzałki prowadzące od nich od prawej do lewej będą, tak jak poprzednio, wskazywać całkowite natężenie przepływu obsługującego wszystkie zajęte kanały. W przypadku stanów z kolejką strzałki prowadzące od nich od prawej do lewej będą miały całkowite natężenie przepływu usług wszystkich n-kanałów plus odpowiadające im natężenie strumienia odjazdów z kolejki. Jeżeli w kolejce znajduje się r-wniosków, to łączne natężenie przepływu odlotów będzie równe .
Jak widać z wykresu, istnieje wzór reprodukcji i śmierci; stosując ogólne wyrażenia na prawdopodobieństwa graniczne stanów tego schematu (stosując zapis skrócony, piszemy:
(24)
Zwróćmy uwagę na pewne cechy QS z ograniczonym oczekiwaniem w porównaniu z wcześniej rozważaną QS z żądaniami „pacjenta”.
Jeśli długość kolejki nie jest ograniczona, a żądania są „cierpliwe” (nie wychodź z kolejki), wówczas stacjonarny reżim limitowy istnieje tylko w przypadku (w odpowiednim nieskończonym postępie geometrycznym rozbieżności, co fizycznie odpowiada nieograniczonemu wzrostowi kolejki o godz.).
I odwrotnie, w QS, w którym „niecierpliwe” żądania prędzej czy później opuszczają kolejkę, ustalony tryb obsługi jest zawsze osiągany, niezależnie od zmniejszonej intensywności przepływu żądań. Wynika to z faktu, że szereg w mianowniku wzoru (24) jest zbieżny dla dowolnych wartości dodatnich i .
W przypadku QS z „niecierpliwymi” prośbami koncepcja „prawdopodobieństwa niepowodzenia” nie ma sensu – każde żądanie trafia do kolejki, ale może nie czekać na obsługę, wychodząc przed czasem.
Względna przepustowość, średnia liczba żądań w kolejce. Względną pojemność q takiego QS można obliczyć w następujący sposób. Oczywiście obsłużone zostaną wszystkie wnioski, za wyjątkiem tych, które opuszczą kolejkę przed terminem. Obliczmy średnią liczbę wniosków, które wcześniej opuszczają kolejkę. W tym celu obliczamy średnią liczbę wniosków w kolejce:
Każde z tych zastosowań podlega „przepływowi odlotów” o natężeniu . Oznacza to, że ze średniej liczby - wniosków w kolejce - średnio - wnioski opuszczą kolejkę bez oczekiwania na obsługę, - wnioski w jednostce czasu i średnio ogółem w jednostce czasu - wnioski zostaną obsłużone. Względna wydajność QS będzie wynosić:
Nadal uzyskujemy średnią liczbę zajętych kanałów, dzieląc bezwzględną szerokość pasma A przez:
(26)
Średnia liczba wniosków w kolejce. Relacja (26) pozwala obliczyć średnią liczbę wniosków w kolejce bez sumowania nieskończonego szeregu (25). Z (26) otrzymujemy:
a średnią liczbę zajętych kanałów ujętą w tym wzorze można znaleźć jako matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, przyjmującej wartości 0, 1, 2,..., n z prawdopodobieństwami:
Podsumowując, zauważamy, że jeśli we wzorach (24) dojdziemy do granicy w (lub, co to samo, w ), to otrzymamy wzory (22), czyli „niecierpliwe” wnioski staną się „cierpliwe”.
Do tej pory rozważaliśmy systemy, w których przepływ dopływający nie jest w żaden sposób powiązany z przepływem wychodzącym. Takie systemy nazywane są pętlą otwartą. W niektórych przypadkach obsłużone żądania są ponownie odbierane na wejściu z opóźnieniem. Takie QS nazywane są zamkniętymi. Przykładami systemów zamkniętych są klinika obsługująca dany obszar, zespół pracowników przypisany do grupy maszyn.
W zamkniętym QS krąży ta sama skończona liczba potencjalnych wymagań. Dopóki potencjalne wymaganie nie zostanie zrealizowane jako żądanie usługi, uważa się, że znajduje się ono w bloku opóźnienia. Z chwilą wdrożenia trafia do samego systemu. Na przykład pracownicy obsługują grupę maszyn. Każda maszyna to potencjalne zapotrzebowanie, które w momencie awarii zamienia się w realne. Maszyna w czasie pracy znajduje się w bloku opóźniającym, a od momentu awarii aż do zakończenia naprawy znajduje się w samym układzie. Każdy pracownik jest kanałem usługowym.
Pozwalać N- liczba kanałów obsługi, S- liczba potencjalnych zastosowań, N <S , - intensywność przepływu wniosków dla każdego potencjalnego zapotrzebowania, μ - intensywność obsługi:
Prawdopodobieństwo przestoju systemu określa wzór
R
0
= 
.
Prawdopodobieństwa końcowe stanów układu:
Pk= o godz k
Za pomocą tych prawdopodobieństw wyraża się średnią liczbę zajętych kanałów
=P 1 + 2P 2 +…+n(Pn +Pn+ 1 +…+P s) Lub
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).
Korzystając z tego, znajdujemy bezwzględną przepustowość systemu:
a także średnią liczbę aplikacji w systemie
M=s- =s- .
Przykład 1. Wejście trójkanałowego QS z awariami odbiera strumień żądań z intensywnością =4 żądania na minutę, czas obsługi żądania przez jeden kanał T obs =1/μ =0,5 min. Czy z punktu widzenia wydajności QS opłaca się wymuszać obsługę zgłoszeń na wszystkich trzech kanałach jednocześnie, a średni czas obsługi skraca się trzykrotnie? Jak wpłynie to na średni czas spędzany przez aplikację w CMO?
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo przestoju trzykanałowego QS znajdujemy za pomocą wzoru
ρ = /μ =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Prawdopodobieństwo niepowodzenia określa wzór:
P otwarte = P N ==
P otwarte = 0,21.
Względna przepustowość systemu:
R obsl = 1-R otwórz 1-0,21=0,79.
Bezwzględna przepustowość systemu:
A= P obsl 3,16.
Średnią liczbę zajętych kanałów określa wzór:
1,58, udział kanałów zajętych przez obsługę,
Q = 0,53.
Średni czas przebywania wniosku w QS oblicza się jako prawdopodobieństwo przyjęcia wniosku do obsługi pomnożone przez średni czas obsługi: t SMO 0,395 minuty
Łącząc wszystkie trzy kanały w jeden, otrzymujemy system jednokanałowy z parametrami μ= 6, ρ= 2/3. W przypadku systemu jednokanałowego prawdopodobieństwo przestoju wynosi:
R 0 = = =0,6,
prawdopodobieństwo niepowodzenia:
P otwarty = ρ P 0 = = 0,4,
przepustowość względna:
R obsl = 1-R otwórz =0,6,
przepustowość bezwzględna:
A=P obs =2,4.
t SMO =P obsl= = 0,1 minuty
W wyniku połączenia kanałów w jeden, przepustowość systemu spadła wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa awarii. Zmniejszył się średni czas spędzany przez aplikację w systemie.
Przykład 2. Wejście trzykanałowego QS z nieograniczoną kolejką odbiera strumień żądań z intensywnością =4 aplikacje na godzinę, średni czas obsługi jednej aplikacji T=1/μ=0,5 godz. Znajdź wskaźniki wydajności systemu.
Dla rozważanego systemu N =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ N =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Średnią liczbę wniosków w kolejce obliczamy korzystając ze wzoru:
L
=
.
L = = .
Średni czas oczekiwania na wniosek w kolejce obliczamy korzystając ze wzoru:
T= = 0,22 godziny.
Średni czas przebywania aplikacji w systemie:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
Przykład 3. W salonie fryzjerskim pracuje 3 fryzjerów, a w poczekalni znajdują się 3 krzesła. Przepływ klientów jest intensywny = 12 klientów na godzinę. Średni czas obsługi T obsl = 20 min. Określ względną i bezwzględną przepustowość systemu, średnią liczbę zajętych krzeseł, średnią długość kolejki, średni czas jaki klient spędza u fryzjera.
Do tego zadania N =3, Żądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę. Zakładamy, że wielkość kolejki jest ograniczona i nie może pomieścić więcej niż =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Prawdopodobieństwo przestoju określa wzór:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Prawdopodobieństwo odmowy usługi określa wzór
P otwarty =P n+m = .
P Otwarte =Pn + M 0,307.
Względna pojemność systemu, tj. prawdopodobieństwo usługi:
P. obł =1-Otwarte 1-0,307=0,693.
Bezwzględna przepustowość:
A= P obsl 12 .
Średnia liczba zajętych kanałów:
.
Średnią długość kolejki określa się ze wzoru:
L
=
L= 
1,56.
Średni czas oczekiwania na obsługę w kolejce:
T= godz.
Średnia liczba wniosków do CMO:
M=L + .
Średni czas przebywania aplikacji w CMO:
T=M/ 0,36 godziny
Przykład 4. Pracownik obsługuje 4 maszyny. Każda maszyna zawodzi z intensywnością = 0,5 awarii na godzinę, średni czas naprawy t rem=1/μ=0,8 h. Określ przepustowość systemu.
Ten problem dotyczy zamkniętego QS, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Prawdopodobieństwo przestoju pracownika określa wzór:
R
0
=
.
P
0
= 
.
Prawdopodobieństwo zatrudnienia pracownika R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = 0,85 μ maszyny na godzinę.
Zadanie:
Dwóch pracowników obsługuje grupę czterech maszyn. Zatrzymania pracującej maszyny występują średnio po 30 minutach. Średni czas konfiguracji wynosi 15 minut. Czas pracy i konfiguracji rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym.
Znajdź średni udział czasu wolnego każdego pracownika i średni czas pracy maszyny.
Znajdź te same cechy dla systemu, w którym:
a) każdemu pracownikowi przydzielono dwie maszyny;
b) dwóch pracowników zawsze obsługuje maszynę wspólnie i z podwójną intensywnością;
c) jedyna wadliwa maszyna jest obsługiwana przez obu pracowników jednocześnie (z podwójną intensywnością), a gdy pojawi się co najmniej jeszcze jedna wadliwa maszyna, rozpoczynają pracę oddzielnie, każdy obsługując jedną maszynę (najpierw opisz system pod kątem procesów śmierć i narodziny).
Rozwiązanie:
Możliwe są następujące stany układu S:
S 0 – wszystkie maszyny działają;
S 1 – 1 maszyna jest w naprawie, pozostałe są w dobrym stanie technicznym;
Maszyna S 2 – 2 w naprawie, reszta sprawna;
Maszyna S 3 – 3 w naprawie, reszta sprawna;
Maszyna S 4 – 4 w naprawie, reszta sprawna;
S 5 – (1, 2) maszyny w naprawie, pozostałe w dobrym stanie technicznym;
S 6 – (1, 3) maszyny w naprawie, pozostałe w dobrym stanie technicznym;
S 7 – (1, 4) maszyny w naprawie, pozostałe w dobrym stanie technicznym;
S 8 – (2, 3) maszyny w naprawie, pozostałe w dobrym stanie technicznym;
S 9 – (2, 4) maszyny w naprawie, pozostałe sprawne;
S 10 – (3, 4) maszyny w naprawie, pozostałe w dobrym stanie technicznym;
S 11 – (1, 2, 3) maszyny w naprawie, 4 maszyna sprawna;
S 12 – (1, 2, 4) maszyny w naprawie, 3 maszyny sprawne;
S 13 – (1, 3, 4) maszyny w naprawie, maszyna 2 sprawna;
S 14 – (2, 3, 4) maszyny w naprawie, 1 maszyna sprawna;
S 15 – wszystkie maszyny są naprawione.
Wykres stanu systemu...
System ten S jest przykładem systemu zamkniętego, gdyż każda maszyna jest potencjalnym wymaganiem, które w momencie awarii zamienia się w realne. Maszyna w czasie pracy znajduje się w bloku opóźniającym, a od momentu awarii aż do zakończenia naprawy znajduje się w samym układzie. Każdy pracownik jest kanałem usługowym.
Jeśli pracownik jest zajęty, ustawia μ-maszyny na jednostkę czasu, wydajność systemu:
Odpowiedź:
Przeciętny udział czasu wolnego przypadający na każdego pracownika wynosi ≈ 0,09.
Średni czas pracy maszyny ≈ 3,64.
a) Każdemu pracownikowi przydzielono dwie maszyny.
Prawdopodobieństwo przestoju pracownika określa wzór:
Prawdopodobieństwo zatrudnienia pracownika:
Jeśli pracownik jest zajęty, ustawia μ-maszyny na jednostkę czasu, wydajność systemu:
Odpowiedź:
Przeciętny udział czasu wolnego przypadający na każdego pracownika wynosi ≈ 0,62.
Średni czas pracy maszyny ≈ 1,52.
b) Dwóch pracowników zawsze obsługuje maszynę wspólnie i z podwójną intensywnością.
c) Jedyna wadliwa maszyna jest obsługiwana przez obu pracowników jednocześnie (z podwójną intensywnością), a gdy pojawi się co najmniej jeszcze jedna wadliwa maszyna, rozpoczynają pracę osobno, każdy obsługując jedną maszynę (najpierw opisz system pod kątem procesów śmierć i narodziny).
Porównanie 5 odpowiedzi:
Najbardziej efektywnym sposobem zorganizowania pracowników przy maszynach będzie początkowa wersja zadania.
Przykłady najprostszych systemów kolejkowych (QS) omówiono powyżej. Termin „pierwotniak” nie oznacza „elementarny”. Modele matematyczne tych układów mają zastosowanie i są z powodzeniem wykorzystywane w obliczeniach praktycznych.
O możliwości zastosowania teorii decyzji w systemach kolejkowych decydują następujące czynniki:
1. Liczba aplikacji w systemie (która jest uważana za QS) musi być dość duża (masowa).
2. Wszystkie wnioski otrzymane na wejściu QS muszą być tego samego typu.
3. Aby obliczyć za pomocą wzorów, musisz znać prawa określające przyjmowanie wniosków i intensywność ich przetwarzania. Co więcej, przepływy zamówień muszą być typu Poissona.
4. Struktura QS, tj. zestaw wymagań przychodzących i kolejność rozpatrywania wniosków muszą być ściśle ustalone.
5. Należy wykluczyć podmioty z systemu lub opisać je jako wymagania o stałej intensywności przetwarzania.
Do wymienionych powyżej ograniczeń możemy dodać jeszcze jedno, które ma silny wpływ na wymiar i złożoność modelu matematycznego.
6. Liczba stosowanych priorytetów powinna być minimalna. Priorytety wniosków muszą być stałe, tj. nie mogą ulec zmianie podczas przetwarzania w ramach QS.
W trakcie pracy główny cel został osiągnięty - przestudiowano główny materiał „QS z ograniczonym czasem oczekiwania” i „Zamknięty QS”, który został ustalony przez nauczyciela dyscypliny akademickiej. Zapoznaliśmy się także z zastosowaniem zdobytej wiedzy w praktyce, tj. utrwalił omawiany materiał.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://rewolucja..
5) Fomin G.P. Metody i modele matematyczne w działaniach komercyjnych. M: Finanse i statystyka, 2001.
6) Gmurman V.E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. M: Szkoła wyższa, 2001.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Modelowanie systemów. M: Szkoła wyższa, 1985.
8) Lifshits A.L. Modelowanie statystyczne QS. M., 1978.
9) Ventzel E.S. Badania operacyjne. M: Nauka, 1980.
10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania w inżynierii. M: Nauka, 1988.
Działanie lub wydajność systemu kolejkowego są następujące.Dla QS z awariami:
Dla SMO z nieograniczonym oczekiwaniem zarówno bezwzględna, jak i względna przepustowość tracą znaczenie, ponieważ każde przychodzące żądanie prędzej czy później zostanie obsłużone. W przypadku takiego QS ważnymi wskaźnikami są:
Dla Typ mieszany QS stosowane są obie grupy wskaźników: zarówno względne, jak i przepustowość bezwzględna oraz cechy oczekiwań.
W zależności od celu operacji kolejkowania, jako kryterium efektywności można wybrać dowolny z podanych wskaźników (lub zestaw wskaźników).
Model analityczny QS to zbiór równań lub wzorów, które pozwalają określić prawdopodobieństwa stanów systemu podczas jego działania i obliczyć wskaźniki wydajności w oparciu o znane charakterystyki przychodzących kanałów przepływu i usług.
Nie ma ogólnego modelu analitycznego dla dowolnego QS. Modele analityczne opracowano dla ograniczonej liczby specjalnych przypadków QS. Modele analityczne, które mniej lub bardziej dokładnie odzwierciedlają rzeczywiste systemy, są zwykle złożone i trudne do wizualizacji.
Analityczne modelowanie QS jest znacznie ułatwione, jeśli procesy zachodzące w QS są markowskie (przepływy żądań są proste, czasy obsługi rozkładają się wykładniczo). W tym przypadku wszystkie procesy w QS można opisać zwykłymi równaniami różniczkowymi, a w skrajnym przypadku dla stanów stacjonarnych liniowymi równaniami algebraicznymi i po ich rozwiązaniu można wyznaczyć wybrane wskaźniki efektywności.
Spójrzmy na przykłady niektórych QS.
2.5.1. Wielokanałowy QS z awariami
Przykład 2.5. Trzej inspektorzy ruchu drogowego sprawdzają listy przewozowe kierowców ciężarówek. Jeżeli choć jeden inspektor jest wolny, przejeżdżająca ciężarówka zostaje zatrzymana. Jeśli wszyscy inspektorzy są zajęci, ciężarówka przejeżdża obok bez zatrzymywania się. Przepływ ciężarówek jest prosty, czas kontroli jest losowy i ma rozkład wykładniczy.
Sytuację tę można zamodelować za pomocą trzykanałowego QS z awariami (brak kolejki). System jest w pętli otwartej, z jednorodnymi żądaniami, jednofazowy, z absolutnie niezawodnymi kanałami.
Opis stanów:
Wszyscy inspektorzy są wolni;
Jeden inspektor jest zajęty;
Dwóch inspektorów jest zajętych;
Trzej inspektorzy są zajęci.
Wykres stanu systemu pokazano na rys. 2.11.
Ryż. 2.11.
Na wykresie: - natężenie przepływu samochodów ciężarowych; - intensywność kontroli dokumentów przez jednego inspektora ruchu drogowego.
Symulacja przeprowadzana jest w celu określenia części pojazdów, która nie będzie badana.
Rozwiązanie
Wymaganą częścią prawdopodobieństwa jest prawdopodobieństwo zatrudnienia wszystkich trzech inspektorów. Ponieważ wykres stanu przedstawia typowy schemat „śmierci i reprodukcji”, znajdziemy go, korzystając z zależności (2.2).
Można scharakteryzować przepustowość tego stanowiska inspektora ruchu drogowego względna przepustowość:
Przykład 2.6. Do przyjmowania i przetwarzania meldunków grupy rozpoznawczej w wydziale wywiadowczym stowarzyszenia powołano grupę trzech funkcjonariuszy. Przewidywana intensywność przepływu raportów wynosi 15 raportów na godzinę. Średni czas rozpatrzenia jednego zgłoszenia przez jednego funkcjonariusza wynosi . Każdy funkcjonariusz może otrzymywać raporty od dowolnej grupy rozpoznawczej. Zwolniony funkcjonariusz przetwarza ostatni z otrzymanych raportów. Przychodzące raporty muszą być przetwarzane z prawdopodobieństwem co najmniej 95%.
Ustal, czy przydzielony zespół trzech funkcjonariuszy jest wystarczający do wykonania powierzonego zadania.
Rozwiązanie
Grupa funkcjonariuszy działa jako CMO z awariami, składająca się z trzech kanałów.
Przepływ raportów z intensywnością 
można uznać za najprostszy, ponieważ jest to suma kilku grup rozpoznawczych. Intensywność obsługi 
. Prawo dystrybucji nie jest znane, ale jest to nieistotne, ponieważ wykazano, że w przypadku systemów z awariami może być dowolne.
Opis stanów i wykres stanu QS będą podobne do podanych w przykładzie 2.5.
Ponieważ wykres stanu jest schematem „śmierci i reprodukcji”, istnieją dla niego gotowe wyrażenia dla granicznych prawdopodobieństw stanu:
Nazywa się to postawą przy danej intensywności przepływu wniosków. Jego fizyczne znaczenie jest następujące: wartość reprezentuje średnią liczbę żądań wpływających do QS w średnim czasie obsługi jednego żądania.
W przykładzie 
.
W rozważanym QS awaria występuje, gdy wszystkie trzy kanały są zajęte, to znaczy. Następnie:
Ponieważ prawdopodobieństwo niepowodzenia w przetwarzaniu raportów wynosi ponad 34% (), wówczas konieczne jest zwiększenie personelu grupy. Podwoimy skład grupy, czyli CMO będzie teraz miał sześć kanałów i obliczmy:
Tym samym jedynie grupa sześciu funkcjonariuszy będzie w stanie z 95% prawdopodobieństwem zająć się napływającymi zgłoszeniami.
2.5.2. Wielokanałowy QS z oczekiwaniem
Przykład 2.7. Na odcinku przeprawy rzecznej znajduje się 15 podobnych obiektów przeprawowych. Przepływ sprzętu docierającego na przejazd wynosi średnio 1 szt./min, średni czas przekroczenia jednej jednostki sprzętu wynosi 10 minut (wliczając powrót pojazdu przejeżdżającego).
Ocenić główne cechy przejścia, w tym prawdopodobieństwo natychmiastowego przekroczenia granicy po przybyciu jednostki wyposażenia.
Rozwiązanie
Absolutna przepustowość, czyli wszystko, co zbliża się do przejścia, jest praktycznie natychmiast przejeżdżane.
Średnia liczba działających obiektów przeprawowych:
Wykorzystanie promu i stawki za przestoje:
Opracowano także program do rozwiązania przykładu. Zakłada się, że odstępy czasu, w których sprzęt dotrze do skrzyżowania, oraz czas przejazdu rozkładają się zgodnie z prawem wykładniczym.
Wskaźniki wykorzystania przeprawy po 50 przejazdach są prawie takie same: 
.
Maksymalna długość kolejki to 15 jednostek, średni czas spędzony w kolejce to około 10 minut.
Cel usługi QS. Kalkulator online przeznaczony jest do obliczania następujących wskaźników jednokanałowego QS:- prawdopodobieństwo awarii kanału, prawdopodobieństwo wolnego kanału, przepustowość bezwzględna;
- przepustowość względna, średni czas obsługi, średni czas przestoju kanału.
Instrukcje. Aby rozwiązać takie problemy online, wybierz model QS. Sprecyzować natężenie przepływu zapotrzebowania λ I natężenie przepływu usług µ. W przypadku jednokanałowego QS z ograniczoną długością kolejki można określić długość kolejki m, a dla jednokanałowego QS z nieograniczoną kolejką - ilość wniosków w kolejce (w celu obliczenia prawdopodobieństwa, że te wnioski znajdą się w kolejce). zobacz przykładowe rozwiązanie. . Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word.
Klasyfikacja jednokanałowych systemów kolejkowych
Przykład nr 1. Stacja benzynowa posiada jeden stacja benzynowa. Przyjmuje się, że najprostszy potok samochodów wjeżdża na stację z natężeniem λ=11 samochodów/godz. Czas obsługi zgłoszenia jest zmienną losową spełniającą prawo wykładnicze z parametrem μ=14 pojazdów/godz. Oblicz średnią liczbę samochodów na stacji.
Przykład nr 2. Istnieje sens przeprowadzania przeglądów prewencyjnych maszyn w ramach jednej grupy kontrolnej. Kontrola i identyfikacja usterek każdej maszyny zajmuje średnio 0,4 godziny. Do kontroli trafia średnio 328 samochodów dziennie. Przepływy żądań i usług są najprostsze. Jeżeli samochód przyjeżdżający na punkt kontroli nie znajdzie ani jednego wolnego kanału, pozostawia punkt kontroli bezobsługowy. Określić graniczne prawdopodobieństwa warunków i charakterystyk utrzymania punktu kontroli zapobiegawczej.
Rozwiązanie. Tutaj α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Dane te należy wprowadzić do kalkulatora.
W praktyce dość powszechne są jednokanałowe QS-y z kolejką (lekarz obsługujący pacjentów, procesor wykonujący polecenia maszyny). Dlatego konieczne jest bardziej szczegółowe rozważenie jednokanałowego QS z kolejką.
Niech będzie jednokanałowy QS z kolejką, na którą nie są nakładane żadne ograniczenia (ani na długość kolejki, ani na czas oczekiwania). Ta QS otrzymuje strumień aplikacji o intensywności l; przepływ usług ma intensywność m odwrotną do średniego czasu obsługi żądań t. Należy znaleźć ostateczne prawdopodobieństwa stanów QS, a także charakterystykę jego efektywności:
SYSTEM L– średnia liczba żądań w systemie;
W SYSTEMIE– średni czas przebywania żądania w systemie;
BARDZO– średnia liczba wniosków w kolejce;
BARDZO– średni czas przebywania aplikacji w kolejce;
P ZAN- prawdopodobieństwo, że kanał jest zajęty (stopień obciążenia kanału).
Jeśli chodzi o przepustowość bezwzględną A i względną Q, nie ma potrzeby ich obliczać: ze względu na to, że kolejka jest nieograniczona, każde żądanie prędzej czy później zostanie obsłużone, a zatem z tego samego powodu.
Rozwiązanie. Stan systemu, tak jak poprzednio, będzie numerowany zgodnie z liczbą wniosków w QS:
-S 0 – kanał wolny;
-S 1 – kanał jest zajęty (obsługuje żądanie), nie ma kolejki;
-S 2 – kanał jest zajęty, w kolejce znajduje się jedno żądanie;
-S k – kanał jest zajęty, k-1 wnioski czekają w kolejce.
Teoretycznie liczba stanów jest nieograniczona (nieskończona). Wzory na prawdopodobieństwa końcowe w schemacie śmierci i reprodukcji wyprowadzono tylko dla przypadku skończonej liczby stanów, przy czym założymy, że będziemy je stosować dla nieskończonej liczby stanów. Wtedy liczba wyrazów we wzorze będzie nieskończona. Otrzymujemy wyrażenie dla po:
Szereg we wzorze (17) jest postępem geometrycznym. Wiemy, że szereg jest zbieżny - jest to ciąg nieskończenie malejący z mianownikiem R. Gdy szereg jest rozbieżny (co jest pośrednim, choć nie ścisłym dowodem, że ostateczne prawdopodobieństwa stanów po, str. 1, …, p.k,...istnieją tylko wtedy, gdy ). Następnie:
Znajdźmy średnią liczbę wniosków do CMO SYSTEM L. Zmienna losowa Z - liczba aplikacji w systemie - ma możliwe wartości 0, 1, 2, ..., k, ... z prawdopodobieństwem po, str. 1, …, p.k,... Jego matematyczne oczekiwanie jest równe:
Korzystając ze wzoru Little’a (9) znajdujemy średni czas przebywania żądania w systemie:
Znajdźmy średnią liczbę wniosków w kolejce. Będziemy rozumować tak: liczba wniosków w kolejce jest równa liczbie wniosków w systemie pomniejszonych o liczbę wniosków obsługiwanych. Oznacza to (zgodnie z zasadą dodawania oczekiwań matematycznych) średnią liczbę wniosków w kolejce BARDZO równa średniej liczbie aplikacji w systemie SYSTEM L minus średnia liczba obsługiwanych wniosków. Liczba żądań objętych obsługą może wynosić zero (jeśli kanał jest wolny) lub jeden (jeśli jest zajęty). Matematyczne oczekiwanie takiej zmiennej losowej jest równe prawdopodobieństwu, że kanał jest zajęty P ZAN. To oczywiste, że:
Zatem średnia liczba żądań objętych obsługą wynosi:
Korzystając ze wzoru Little'a (9) obliczamy średni czas przebywania aplikacji w kolejce.
Załadunek...
