Mozaic Penrose, plăci Penrose - despărțire neperiodică a planului, structuri regulate aperiodice, placare a planului cu două tipuri de romburi - cu unghiuri de 72° și 108° ("rombi groase") și 36° și 144° (" romburi subțiri”), astfel (proporțiile sunt supuse „proporției de aur”) încât oricare două romburi adiacente (adică, având o latură comună) nu formează un paralelogram împreună.Numit după Roger Penrose, care era interesat de problema „teselării”, adică umplerea unui plan cu figuri de aceeași formă, fără goluri sau suprapuneri.
Toate astfel de plăci sunt neperiodice și izomorfe local unele cu altele (adică orice fragment finit al unei plăci Penrose apare în oricare alta). „Auto-asemănarea” - puteți combina plăci de mozaic adiacente în așa fel încât să obțineți din nou un mozaic Penrose.
Pe fiecare dintre cele două plăci pot fi desenate mai multe segmente, astfel încât la așezarea mozaicului, capetele acestor segmente să fie aliniate și să se formeze mai multe familii de linii drepte paralele (dungi Amman) pe plan.
Distanțele dintre liniile paralele adiacente iau exact două valori diferite (și pentru fiecare familie de linii paralele succesiunea acestor valori este auto-similară).
Placile Penrose, care au găuri, acoperă întregul plan, cu excepția unei figuri de suprafață finită. Este imposibil să măriți gaura prin îndepărtarea câtorva (număr finit) de plăci și apoi pavarea completă a părții neacoperite.
Problema este rezolvată prin placarea cu figuri care creează un model care se repetă periodic, dar Penrose a vrut să găsească o astfel de figură care, atunci când este plasată pe un plan, să nu creeze modele care se repetă. Se credea că nu există plăci din care să poată fi construite doar mozaicuri neperiodice. Penrose a selectat multe plăci de diverse forme, până la urmă au fost doar 2 dintre ele, având „proporția de aur”, care stă la baza tuturor relațiilor armonioase. Acestea sunt figuri în formă de diamant cu unghiuri de 108° și 72°. Mai târziu, figurile au fost simplificate la o formă simplă de romb (36° și 144°), bazată pe principiul „triunghiului de aur”.
Modelele rezultate au o formă cvasicristalină care are simetrie axială de ordinul 5. Structura mozaicului este legată de succesiunea Fibonacci.
(
Wikipedia)
Mozaic Penrose. Punctul alb marchează centrul simetriei de rotație de ordinul 5: o rotație în jurul lui cu 72° transformă mozaicul în sine.
Lanțuri și mozaicuri (revista Science and Life, 2005 nr. 10)
Să luăm mai întâi în considerare următorul model idealizat. Fie ca particulele aflate în stare de echilibru să fie situate de-a lungul axei de transport z și să formeze un lanț liniar cu perioadă variabilă, care se modifică conform legii progresiei geometrice:
an = a1·Dn-1,
unde a1 este perioada inițială dintre particule, n este numărul de serie al perioadei, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339... este numărul proporției de aur.
Lanțul construit de particule servește ca exemplu de cvasicristal unidimensional cu ordine de simetrie pe distanță lungă. Structura este absolut ordonată, există o aranjare sistematică a particulelor pe axă - coordonatele lor sunt determinate de o singură lege. În același timp, nu există repetabilitate - perioadele dintre particule sunt diferite și cresc tot timpul. Prin urmare, structura unidimensională rezultată nu are simetrie translațională, iar acest lucru este cauzat nu de aranjarea haotică a particulelor (ca în structurile amorfe), ci de raportul irațional a două perioade adiacente (D este un număr irațional).
O continuare logică a structurii unidimensionale considerate a unui cvasicristal este o structură bidimensională, care poate fi descrisă prin metoda de construire a mozaicurilor (modele) neperiodice constând din două elemente diferite, două celule elementare. Un astfel de mozaic a fost dezvoltat în 1974 de un fizician teoretician de la Universitatea Oxford. R. Penrose. A găsit un mozaic de două romburi cu laturile egale. Unghiurile interne ale unui romb îngust sunt de 36° și 144°, iar ale unui romb lat - 72° și 108°.
Unghiurile acestor romburi sunt legate de raportul de aur, care se exprimă algebric prin ecuația x2 - x - 1 = 0 sau ecuația y2 + y - 1 = 0. Rădăcinile acestor ecuații pătratice pot fi scrise în formă trigonometrică:
x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.
Această formă neconvențională de reprezentare a rădăcinilor ecuațiilor arată că aceste romburi pot fi numite romburi de aur înguste și late.
În mozaicul Penrose, planul este acoperit cu romburi aurii fără goluri sau suprapuneri și poate fi extins la infinit în lungime și lățime. Dar pentru a construi un mozaic infinit, trebuie respectate anumite reguli, care diferă semnificativ de repetarea monotonă a celulelor elementare identice care alcătuiesc un cristal. Dacă regula de ajustare a diamantelor aurii este încălcată, atunci după un timp creșterea mozaicului se va opri, deoarece vor apărea inconsecvențe de neînlăturat.
În mozaicul infinit al lui Penrose, romburi aurii sunt aranjate fără periodicitate strictă. Cu toate acestea, raportul dintre numărul de diamante de aur largi și numărul de diamante de aur înguste este exact egal cu numărul de aur D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Deoarece numărul D este irațional, într-un astfel de mozaic este imposibil să se selecteze o celulă elementară cu un număr întreg de romburi de fiecare tip, a cărui translație ar putea obține întregul mozaic.
Mozaicul Penrose are, de asemenea, propriul farmec aparte ca obiect al matematicii distractive. Fără a intra în toate aspectele acestei probleme, observăm că până și primul pas - construirea unui mozaic - este destul de interesant, deoarece necesită atenție, răbdare și o anumită inteligență. Și poți da dovadă de multă creativitate și imaginație dacă faci mozaicul multicolor. Colorarea, care se transformă imediat într-un joc, se poate face în numeroase moduri originale, ale căror variante sunt prezentate în imagini (mai jos). Punctul alb marchează centrul mozaicului, o rotație în jurul căreia cu 72° îl transformă în sine.
Mozaicul Penrose este un exemplu minunat al modului în care o construcție frumoasă, situată la intersecția diferitelor discipline, își găsește în mod necesar propria aplicație. Dacă punctele nodale sunt înlocuite cu atomi, mozaicul Penrose va deveni un bun analog al unui cvasicristal bidimensional, deoarece are multe proprietăți caracteristice acestei stări a materiei. Și iată de ce.
În primul rând, construcția mozaicului este implementată conform unui anumit algoritm, în urma căruia se dovedește a fi nu o structură aleatorie, ci ordonată. Orice parte finită a acesteia apare de nenumărate ori pe tot parcursul mozaicului.
În al doilea rând, în mozaic se pot distinge multe decagoane regulate care au exact aceleași orientări. Ele creează o ordine de orientare pe rază lungă, numită cvasiperiodică. Aceasta înseamnă că există o interacțiune între structurile de mozaic îndepărtate care coordonează locația și orientarea relativă a diamantelor într-un mod foarte specific, deși ambiguu.
În al treilea rând, dacă pictați succesiv peste toate romburile cu laturile paralele cu orice direcție selectată, acestea vor forma o serie de linii întrerupte. De-a lungul acestor linii întrerupte, puteți desena linii drepte paralele distanțate unele de altele la aproximativ aceeași distanță. Datorită acestei proprietăți, putem vorbi despre o anumită simetrie translațională în mozaicul Penrose.
În al patrulea rând, diamantele umbrite secvenţial formează cinci familii de linii paralele similare care se intersectează la unghiuri care sunt multipli de 72°. Direcțiile acestor linii întrerupte corespund direcțiilor laturilor unui pentagon obișnuit. Prin urmare, mozaicul Penrose are, într-o oarecare măsură, simetrie rotațională de ordinul al 5-lea și în acest sens este similar cu un cvasicristal.
În 1973, matematicianul englez Roger Penrose a creat un mozaic special de forme geometrice, care a devenit cunoscut sub numele de mozaic Penrose.
Mozaicul Penrose este un model asamblat din plăci poligonale de două forme specifice (rombi ușor diferite). Ele pot pava un avion nesfârșit fără goluri.
Mozaic Penrose conform creatorului său.
Este asamblat din două tipuri de romburi,
unul cu un unghi de 72 de grade, celălalt cu un unghi de 36 de grade.
Imaginea se dovedește a fi simetrică, dar nu periodică.
Imaginea rezultată pare a fi un fel de ornament „ritmic” - o imagine cu simetrie translațională. Acest tip de simetrie înseamnă că puteți selecta o anumită piesă într-un model care poate fi „copiat” pe un plan și apoi să combinați aceste „duplicate” între ele prin transfer paralel (cu alte cuvinte, fără rotație și fără mărire).
Cu toate acestea, dacă te uiți cu atenție, poți vedea că modelul Penrose nu are astfel de structuri repetate - este aperiodic. Dar ideea nu este o iluzie optică, ci faptul că mozaicul nu este haotic: are simetrie de rotație de ordinul cinci.
Aceasta înseamnă că imaginea poate fi rotită cu un unghi minim egal cu 360/n grade, unde n este ordinul simetriei, în acest caz n = 5. Prin urmare, unghiul de rotație, care nu schimbă nimic, trebuie să fie multiplu. de 360 / 5 = 72 de grade.
Timp de aproximativ un deceniu, invenția lui Penrose a fost considerată nimic mai mult decât o abstractizare matematică drăguță. Cu toate acestea, în 1984, Dan Shechtman, profesor la Institutul de Tehnologie din Israel (Technion), în timp ce studia structura unui aliaj de aluminiu-magneziu, a descoperit că difracția are loc pe rețeaua atomică a acestei substanțe.
Ideile anterioare care existau în fizica stării solide au exclus această posibilitate: structura modelului de difracție are simetrie de ordinul cinci. Părțile sale nu pot fi combinate prin transfer paralel, ceea ce înseamnă că nu este deloc un cristal. Dar difracția este caracteristică rețelei cristaline! Oamenii de știință au fost de acord că această opțiune s-ar numi cvasicristale - ceva ca o stare specială a materiei. Ei bine, frumusețea descoperirii este că un model matematic pentru ea a fost de mult gata - mozaicul Penrose.
Și destul de recent a devenit clar că această construcție matematică este mult mai veche decât ne-am putea imagina. În 2007, Peter J. Lu, un fizician de la Universitatea Harvard, împreună cu un alt fizician, Paul J. Steinhardt, dar de la Universitatea Princeton, au publicat un articol în Science on mosaics Penrose. S-ar părea că aici nu există puține neașteptate: descoperirea cvasicristalelor a atras un mare interes pentru această temă, ceea ce a dus la apariția a o grămadă de publicații în presa științifică.
Cu toate acestea, punctul culminant al lucrării este că nu este dedicat științei moderne. Și în general - nu știință. Peter Lu a atras atenția asupra modelelor care acoperă moscheile din Asia, construite în Evul Mediu. Aceste modele ușor de recunoscut sunt realizate din plăci de mozaic. Ele sunt numite girihi (din cuvântul arab pentru „nod”) și sunt un design geometric caracteristic artei islamice și constând din forme poligonale.
Un exemplu de aspect al plăcilor prezentat într-un manuscris arab din secolul al XV-lea.
Cercetătorii au folosit culori pentru a evidenția zonele care se repetă.
Toate modelele geometrice sunt construite pe baza acestor cinci elemente.
maeștri arabi medievali. Elemente care se repetă
nu coincid neapărat cu limitele plăcilor.
Există două stiluri în ornamentul islamic: geometric - girikh și floral - islimi.
Girikh(pers.) - un model geometric complex format din linii stilizate în forme dreptunghiulare și poligonale. În cele mai multe cazuri, este folosit pentru decorarea exterioară a moscheilor și a cărților din publicațiile mari.
Islimi(pers.) – un tip de ornament construit pe combinația de lind și spirală. Întruchipează într-o formă stilizată sau naturalistă ideea unui lăstaș de frunziș înflorit în continuă evoluție și include o varietate nesfârșită de opțiuni. Este cel mai răspândit în îmbrăcăminte, cărți, decorațiuni interioare ale moscheilor și feluri de mâncare.
Coperta Coranului din 1306-1315 și desen de fragmente geometrice,
pe care se bazează modelul. Acesta și următoarele exemple nu se potrivesc
Rețele Penrose, dar au simetrie rotațională de ordinul cinci
Înainte de descoperirea lui Peter Lu, se credea că arhitecții antici au creat modele giriha folosind o riglă și o busolă (dacă nu prin inspirație). Cu toate acestea, cu câțiva ani în urmă, în timp ce călătorea în Uzbekistan, Lou a devenit interesat de modelele de mozaic care decorau arhitectura medievală locală și a observat ceva familiar în ele. Revenind la Harvard, omul de știință a început să examineze motive similare în mozaicuri de pe pereții clădirilor medievale din Afganistan, Iran, Irak și Turcia.
Acest exemplu este datat într-o perioadă ulterioară - 1622 (moscheea indiană).
Privind la el și la desenul structurii sale, nu se poate să nu admiri munca grea
cercetători. Și, desigur, maeștrii înșiși.
Peter Lu a descoperit că modelele geometrice ale girikh-urilor erau aproape identice și a putut identifica elementele de bază utilizate în toate modelele geometrice. În plus, a găsit desene ale acestor imagini în manuscrise antice, pe care artiștii antici le foloseau ca un fel de foaie de înșelăciune pentru decorarea pereților.
Pentru a crea aceste modele, au folosit nu contururi simple, inventate aleatoriu, ci figuri care au fost aranjate într-o anumită ordine. Modelele antice s-au dovedit a fi exact construcții ale mozaicurilor Penrose!
Aceste imagini evidențiază aceleași zone,
deși acestea sunt fotografii de la o varietate de moschei
În tradiția islamică, a existat o interdicție strictă a descrierii oamenilor și animalelor, astfel încât modelele geometrice au devenit foarte populare în proiectarea clădirilor. Maeștrii medievali au reușit cumva să-l diversifice. Dar nimeni nu știa care este secretul „strategiei” lor. Așadar, secretul se dovedește a fi în utilizarea mozaicurilor speciale care, rămânând simetrice, pot umple planul fără a se repeta.
Un alt „truc” al acestor imagini este că, „copiind” astfel de scheme în diferite temple în funcție de desene, artiștii ar trebui inevitabil să permită distorsiuni. Dar încălcările de această natură sunt minime. Acest lucru poate fi explicat doar prin faptul că desenele la scară mare nu aveau rost: principalul lucru era principiul după care să construim imaginea.
Pentru a asambla girikh-urile, au fost folosite cinci tipuri de plăci (rombi cu zece și pentagonale și „fluturi”), care au fost asamblate într-un mozaic adiacent între ele, fără spațiu liber între ele. Mozaicele create din ele puteau avea fie simetrie rotațională și translațională simultan, fie doar simetrie rotațională de ordinul cinci (adică erau mozaicuri Penrose).
Fragment din ornamentul mausoleului iranian din 1304. În dreapta – reconstrucția girikh-urilor
După ce au examinat sute de fotografii ale site-urilor musulmane medievale, Lu și Steinhardt au putut data tendința în secolul al XIII-lea. Treptat, această metodă a câștigat o popularitate tot mai mare și, în secolul al XV-lea, a devenit larg răspândită. Datarea coincide aproximativ cu perioada de dezvoltare a tehnicii de decorare a palatelor, moscheilor și diferitelor clădiri importante cu plăci ceramice smălțuite colorate în formă de diverse poligoane. Adică, plăcile ceramice de forme speciale au fost create special pentru girikhs.
Cercetătorii au considerat că sanctuarul imamului Darb-i din orașul iranian Isfahan, datând din 1453, este un exemplu de structură quasi-cristalină aproape ideală.
Portalul altarului imamului Darb-i din Isfahan (Iran).
Aici două sisteme de girikh-uri sunt suprapuse unul peste altul.
Coloana din curtea unei moschei din Turcia (circa 1200)
și zidurile unei madrasei din Iran (1219). Acestea sunt lucrări timpurii
și folosesc doar două elemente structurale găsite de Lu
Acum rămâne de găsit răspunsuri la o serie de mistere din istoria lui Girikh și mozaicurile Penrose. Cum și de ce au descoperit matematicienii antici structuri cvasicristaline? Arabii medievali au dat mozaicurilor vreun alt sens decât artistic? De ce un concept matematic atât de interesant a fost uitat timp de o jumătate de mileniu? Și cel mai interesant lucru este ce alte descoperiri moderne sunt noi, care de fapt sunt vechi bine uitate?
Și cei din vechimemodele islamice
A finalizat prezentarea
elev de clasa a 7-a B, Centrul Central de Învățământ Nr.1679
Zherder Marina.
Managerii de proiect
Sinyukova E.V. și Zherder V.M.
5klass.net
Ce este mozaicul
Cadouri în mozaicun model
realizate din gresie
diferite forme. de către ei
poate fi asfaltat
fără sfârşit
avion fără
spatii. Un mozaic periodic este un mozaic,
modelul căruia se repetă prin
intervale egale.
Un mozaic neperiodic este un mozaic,
un model care poate fi repetat
la intervale neregulate.
Mozaice în natură
Există, de asemenea, multe exemple în naturămozaic periodic. Practic este
cristale de solide - de exemplu:
cristal de sare
Cristal de diamant
Cristal de grafit
Cristal de grafen
Mozaice în picturile lui Escher
Mozaicele sunt un subiect important înartă. Artist
M.C. Escher este celebru pentru el
mozaicuri și nu reale
tablouri.
Ce este un mozaic Penrose?
În 1973engleză
matematicianul Roger
Penrose (Roger
Penrose) creat
mozaic deosebit
din geometric
cifre, care
a devenit cunoscut sub numele de mozaic Penrose.
Plăci poligonale de mozaic
Mozaicul Penrose reprezintămozaic asamblat din poligonal
plăci de două forme specifice.
Simetria mozaicului
Imaginea rezultată arată caca și cum ar fi un fel de „ritmic”
ornament - o imagine,
posedând
difuzat
simetrie.
Simetrie
Simetria translațională înseamnăCe poți alege din model?
o anumită piesă care poate fi
„copie” în avion și apoi
combina aceste „duplicate” între ele
transfer paralel.
10. Structura mozaicurilor
Cu toate acestea, dacă te uiți cu atenție, poțivezi ca nu exista asa ceva in modelul Penrose
structuri repetate - it
neperiodică. Dar nu este o chestiune de
iluzie optică, ci faptul că mozaicul
nu haotic: ea
are
rotativ
a cincea simetrie
comanda.
11. Unghiul minim
Aceasta înseamnă căimaginea este posibilă
porniți
unghi minim,
egal cu 360/n grade,
unde n este ordinul
simetrie, în aceasta
cazul n = 5.
Prin urmare, unghiul
intoarce ca nu e nimic
nu se schimba, ar trebui sa fie
multiplu de 360 / 5 = 72
grade.
12. Fenomen neobișnuit
În 1984 DanShekhtman studiind
studiind structura
aliaj aluminiu-magneziu,
a descoperit că pe
rețea atomică
această substanță
se întâmplă
neobișnuit pentru
cristale
fenomen fizic.
13. Cristale „greșite”.
O mostră dintr-o substanță supusămetoda rapida speciala
răcire, a împrăștiat fasciculul de electroni
astfel încât pe placa fotografică a
pronunţat
difracţie
pictura cu simetrie
al cincilea ordin în
locaţie
difracţie
maxime
(simetria icosaedrului).
14. Cvasicristale
Oamenii de știință au căzut de acordacela dat
va exista o varianta
identificați-vă
cvasicristale -
ceva de genul special
starea materiei. ŞI
a trecut mult timp pentru el
era gata
model matematic
- Mozaic Penrose.
15.
Publicație 2007În 2007, fizicienii Peter Lu și Paul
Steinhardt a publicat în revistă
Articol științific despre mozaicuri
Penrose.
16. Interes pentru cvasicristale
S-ar păreaneașteptat aici
putin: deschidere
cvasicristale
atras în direct
interes pentru asta
subiect care a condus
la aspectul unei grămezi
publicații în
presa stiintifica.
17. Modele în Asia
Cu toate acestea, punctul culminant al lucrării este cănu este dedicată științei moderne.
Și în general - nu știință. Peter Lu
a observat tiparele
acoperind moscheile
în Asia, construit
înapoi în Evul Mediu.
18.
Stiluri GirikhÎn ornamentul islamic există două
stil:
Girikh (pers.) – complex
ornament geometric,
compus din stilizat
dreptunghiulară și poligonală
forme de linii. În majoritatea cazurilor
folosit pentru exterior
design de moschei și cărți în mare
publicare.
19. Islimi
Islimi (pers.) – un tip de ornament,construită pe legătura de bindweed și
spirale. Intruchipează în stilizat
sau forma naturalistă a ideii
înflorire în continuă dezvoltare
lăstar de foioase. Cel mai grozav
s-a răspândit în îmbrăcăminte,
cărți, decorarea interioară a moscheilor,
feluri de mâncare
20. Mozaici din Uzbekistan
În timp ce călătoresc înUzbekistan, Lou a devenit interesat de modele
mozaicuri care au decorat localul
arhitectura medievală, și observat în
ceva familiar despre ei.
Coperta Coranului 1306-1315 și
desen
geometric
fragmente
pe care se bazează
model.
21. Mozaice din diferite țări
Înapoi înăuntruHarvard, a devenit om de știință
considera
motive similare în
mozaicuri pe pereți
medieval
cladiri
Afganistan, Iran,
Irak și Turcia.
22. mozaicuri islamice
Acest exemplu este datat mai târziuperioada - 1622 (moscheea indiană).
23. Scheme Girikh
Peter Lu a descoperit acel geometriccircuitele girikh sunt aproape identice și
a putut identifica elementele principale
folosit in toate
modele geometrice. In plus,
a găsit desene ale acestor imagini în
manuscrise antice, care
artiștii antici au folosit
ca un fel de cheat sheet pe
decorarea peretelui.
24. Ordin de construcție
Pentru a crea aceste modele am folosit nrcontururi simple, inventate aleatoriu,
iar figurile care se aflau în
într-o anumită ordine. Modele antice
s-au dovedit a fi construcții precise de mozaic
Penrose!
25.
Tradiții islamiceÎn tradiția islamică
a fost o strictă
interzicerea imaginii
oameni si animale,
deci în proiectare
clădiri mari
a câștigat popularitate
geometric
ornament.
26. Secretul maeștrilor antici
Maeștri medievalia făcut-o
diverse. Dar ce
era secretul lor
„strategii” – nimeni
știa. Deci, iată secretul cum
ori se dovedește a fi
utilizare
mozaicuri speciale,
cine poate, ramanand
simetric,
umple avionul, nu
repetându-se.
27. „concentrare”
Un alt „truc” din acestea„Smecheria” imaginilor este că,
„copierea” unor astfel de scheme în
diverse temple din jur
desene, artiști
ar trebui inevitabil
permite distorsiuni. Dar
încălcări ale acesteia
caracterul este minim.
Acest lucru poate fi explicat doar prin
că stăpânii nu sunt
desene folosite când
construirea unui mozaic.
28. Placi
Pentru asamblarea greutățilorplăci folosite de cinci
specii (zece și
romburi pentagonale şi
„fluturi”), care sunt
au fost compilate mozaicuri,
adiacente unul altuia
fara liber
spatiu intre
ei.
29. Simetria mozaicurilor
Mozaice create din ele,ar fi putut imediat
rotational si
difuzat
simetrie, asta-i tot
simetria rotationala
al cincilea ordin (adică
erau mozaicuri
Penrose).
30. Girihi
Fragment din ornamentul mausoleului iranian1304 ani. În dreapta – reconstrucția girikh-urilor
31. Data apariției mozaicurilor
După ce am cercetat suteData
aspect
fotografii
mozaicuri
medieval
musulman
atractii,
Lou și Steinhardt au putut
data apariția
tendință similară XIII
secol. Treptat asta
modalitate de a obține totul
mare popularitate și
Secolul al XV-lea a devenit larg
răspândită.
32. Placi ceramice
Dating aproximativcoincide cu perioada
dezvoltarea tehnologiei
decorare
palate, moschei,
diverse importante
clădiri vitrate
culoare
placi ceramice
sub formă de diverse
poligoane. Că
exista una ceramica
placi speciale
au fost create formulare
special pentru girikhs.
ceramică
ţiglă
33. Concluzie
Ce a descoperit știința occidentalăbazată pe o uriașă generalizare
experiență spinoasă, știință orientală
realizate pe baza intuiției și simțirii
frumos. Iar rezultatele sunt evidente: în
întruchiparea legilor geometriei în
practica gânditorilor orientali
înaintea celor occidentale cu cinci secole!
Slide 1
Și modele islamice antice
mozaic Penrose
Prezentarea a fost făcută de o elevă de clasa a 7-a B, Centrul Educațional Central Nr. 1679, Marina Zherder. Managerii de proiect Sinyukova E.V. și Zherder V.M.
Slide 2
Ce este mozaicul
Mozaicul este un model asamblat din plăci de diferite forme. Ele pot pava un avion nesfârșit fără goluri.
Slide 3
Un mozaic periodic este un mozaic al cărui model se repetă la intervale regulate. Un mozaic neperiodic este un mozaic al cărui model poate fi repetat la intervale neregulate.
Slide 4
Mozaice în natură
Există, de asemenea, multe exemple de mozaicuri periodice în natură. Acestea sunt în principal cristale de solide - de exemplu: Cristal de sare Cristal de diamant Cristal de grafit Cristal de grafen
Slide 5
Mozaice în picturile lui Escher
Mozaicele sunt o temă importantă în artă. Artistul M.C Escher este cunoscut pentru mozaicurile sale și picturile nereale.
Slide 6
Ce este un mozaic Penrose?
În 1973, matematicianul englez Roger Penrose a creat un mozaic special de forme geometrice, care a devenit cunoscut sub numele de mozaic Penrose.
Slide 7
Plăci poligonale de mozaic
Mozaicul Penrose este un mozaic asamblat din plăci poligonale de două forme specifice.
Slide 8
Simetria mozaicului
Imaginea rezultată pare a fi un fel de ornament „ritmic” - o imagine cu simetrie translațională.
Slide 9
Simetrie
Simetria translațională înseamnă că puteți selecta o anumită piesă dintr-un model care poate fi „copiat” pe un plan și apoi să combinați aceste „duplicate” între ele prin transfer paralel.
Slide 10
Structura mozaicurilor
Cu toate acestea, dacă te uiți cu atenție, poți vedea că modelul Penrose nu are astfel de structuri repetate - este neperiodic. Dar ideea nu este o iluzie optică, ci faptul că mozaicul nu este haotic: are simetrie de rotație de ordinul cinci.
Slide 11
Unghiul minim
Aceasta înseamnă că imaginea poate fi rotită cu un unghi minim egal cu 360/n grade, unde n este ordinul simetriei, în acest caz n = 5. Prin urmare, unghiul de rotație, care nu schimbă nimic, trebuie să fie multiplu. de 360 / 5 = 72 de grade.
Slide 12
Fenomen neobișnuit
În 1984, Dan Shechtman, în timp ce studia structura unui aliaj de aluminiu-magneziu, a descoperit că pe rețeaua atomică a acestei substanțe se produce un fenomen fizic neobișnuit pentru cristale.
Slide 13
Cristale „greșite”.
O probă de substanță, supusă unei metode speciale de răcire rapidă, a împrăștiat un fascicul de electroni, astfel încât pe placa fotografică s-a format un model de difracție pronunțat cu simetrie de ordinul cinci în locația maximelor de difracție (simetrie icosaedrică).
Slide 14
Quasicristale
Oamenii de știință au fost de acord că această opțiune s-ar numi cvasicristale - ceva ca o stare specială a materiei. Și un model matematic pentru acesta a fost de mult gata - mozaicul Penrose.
Slide 15
În 2007, fizicienii Peter Lu și Paul Steinhardt au publicat un articol în revista Science on Penrose mozaicuri.
Publicație 2007
Slide 16
Interes pentru cvasicristale
S-ar părea că aici nu există puține neașteptate: descoperirea cvasicristalelor a atras un mare interes pentru această temă, ceea ce a dus la apariția a o grămadă de publicații în presa științifică.
Slide 17
Modele în Asia
Cu toate acestea, punctul culminant al lucrării este că nu este dedicat științei moderne. Și în general - nu știință. Peter Lu a atras atenția asupra modelelor care acoperă moscheile din Asia, construite în Evul Mediu.
Slide 18
Există două stiluri în ornamentul islamic: Girikh (pers.) - un ornament geometric complex compus din linii stilizate în forme dreptunghiulare și poligonale. În cele mai multe cazuri, este folosit pentru decorarea exterioară a moscheilor și a cărților din publicațiile mari.
Stiluri Girikh
Slide 19
Islimi (pers.) – un tip de ornament construit pe combinația de lind și spirală. Întruchipează într-o formă stilizată sau naturalistă ideea unui lăstar cu frunze înflorită în continuă dezvoltare. Este cel mai răspândit în îmbrăcăminte, cărți, decorațiuni interioare ale moscheilor și feluri de mâncare.
Slide 20
Mozaici din Uzbekistan
În timp ce călătorea în Uzbekistan, Lou a devenit interesat de modelele de mozaic care împodobeau arhitectura medievală locală și a observat ceva familiar despre ele.
Coperta Coranului din 1306-1315 și desen al fragmentelor geometrice pe care se bazează modelul.
Slide 21
Mozaice din diferite țări
Revenind la Harvard, omul de știință a început să examineze motive similare în mozaicuri de pe pereții clădirilor medievale din Afganistan, Iran, Irak și Turcia.
Slide 23
Scheme Girikh
Peter Lu a descoperit că modelele geometrice ale girikh-urilor erau aproape identice și a putut identifica elementele de bază utilizate în toate modelele geometrice. În plus, a găsit desene ale acestor imagini în manuscrise antice, pe care artiștii antici le foloseau ca un fel de foaie de înșelăciune pentru decorarea pereților.
Slide 24
Comanda de constructie
Pentru a crea aceste modele, au folosit nu contururi simple, inventate aleatoriu, ci figuri care au fost aranjate într-o anumită ordine. Modelele antice s-au dovedit a fi exact construcții ale mozaicurilor Penrose!
Slide 25
În tradiția islamică, a existat o interdicție strictă a descrierii oamenilor și animalelor, astfel încât modelele geometrice au devenit foarte populare în proiectarea clădirilor.
Tradiții islamice
Slide 26
Secretul maeștrilor antici
Maeștrii medievali au făcut-o variată. Dar nimeni nu știa care este secretul „strategiei” lor. Așadar, secretul se dovedește a fi în utilizarea mozaicurilor speciale care, rămânând simetrice, pot umple planul fără a se repeta.
Participanții la proiect
Nikiforov Kirill, elev în clasa a VIII-a
Rudneva Oksana, elevă în clasa a VIII-a
Poturaeva Ksenia, elevă în clasa a VIII-a
Tema de cercetare
mozaic Penrose
Întrebare problematică
Ce este un mozaic Penrose?
Ipoteza cercetării
Există o teselație neperiodică a planului
Obiectivele studiului
Familiarizați-vă cu mozaicul Penrose și aflați de ce se numește mozaicul „de aur”.
Rezultate obtinute
mozaic Penrose
Placarea planului acoperă întregul plan cu forme care nu se suprapun. În matematică, problema umplerii complete a unui plan cu poligoane fără goluri sau suprapuneri se numește parchete sau mozaicuri. Probabil, interesul pentru pavaj a apărut mai întâi în legătură cu construcția de mozaicuri, ornamente și alte modele. Chiar și grecii antici știau că această problemă era ușor de rezolvat prin acoperirea planului cu triunghiuri, pătrate și hexagoane regulate.
Această placă a planului se numește periodică. Mai târziu am învățat cum să efectuăm placarea folosind o combinație de mai multe poligoane regulate.
O sarcină mai dificilă a fost crearea unui parchet nu tocmai „corect” sau „aproape” periodic. Multă vreme s-a crezut că această problemă nu are soluție. Cu toate acestea, în anii 60 ai secolului trecut a fost rezolvat în sfârșit, dar acest lucru a necesitat un set de mii de poligoane de diferite tipuri. Pas cu pas, numărul speciilor a fost redus și, în cele din urmă, la mijlocul anilor 1970, profesorul de la Universitatea Oxford Roger Penrose, un om de știință remarcabil al timpului nostru, care lucrează activ în diferite domenii ale matematicii și fizicii, a rezolvat problema folosind doar două tipuri. de romburi.
Roger Penrose
Am explorat o metodă de construire a unui astfel de mozaic, care se numește acum mozaic Penrose. Pentru a face acest lucru, desenați diagonale într-un pentagon obișnuit (pentagon). Obținem un nou pentagon și două tipuri de triunghiuri isoscele, care se numesc „de aur”. Raportul dintre șold și bază în astfel de triunghiuri este egal cu proporția „de aur”. Unghiurile din triunghiuri sunt 36°, 72° și 72° într-unul și 108°, 36° și 36° în celălalt. Să conectăm două triunghiuri identice și să obținem romburi „de aur”. Omul de știință le-a folosit în construcția parchetului, iar parchetul în sine a fost numit „aur”.
mozaic Penrose
Mozaicul Penrose are următoarele proprietăți:
1. raportul dintre numărul de romburi subțiri și numărul celor groase este întotdeauna egal cu așa-numitul număr „de aur” 1.618...
Încărcare...
