Slide 3
Modelare matematică
este o descriere aproximativă a unei clase de fenomene, exprimată în limbajul unei teorii matematice (folosind un sistem de ecuații și inecuații algebrice, ecuații diferențiale sau integrale, funcții, un sistem de propoziții geometrice, vectori etc.).
Slide 4
Clasificarea modelului
Clasificarea formală a modelelor Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Deseori construite sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii: Modele liniare sau neliniare [; Sisteme concentrate sau distribuite; Determinist sau Stochastic; Static sau dinamic; Discret sau continuu. etc. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic, ... Firește, sunt posibile și tipuri mixte: într-o privință, concentrate (din punct de vedere al parametrilor), în alta, modele distribuite etc.
Slide 5
Clasificarea după modul în care este prezentat obiectul Modele structurale sau funcționale Modelele structurale reprezintă un obiect ca un sistem cu dispozitiv și mecanism propriu de funcționare. Modele funcționale nu utilizați astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, uneori denumite modele „cutie gri”.
Slide 6
Modele de fond și formale Aproape toți autorii descriu procesul modelare matematică, indică faptul că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, un model semnificativ. Iar construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării acestui model semnificativ. Construcția unui model semnificativ se poate face folosind un set de idealizări gata făcute, adică ele oferă elemente structurale gata făcute pentru modelarea semnificativă.
Slide 7
Slide 8
Tip 1: Ipoteza (ar putea fi)
Aceste modele „reprezintă o descriere tentativă a fenomenului, iar autorul fie crede în posibilitatea lui, fie chiar consideră că este adevărat”. Nicio ipoteză în știință nu este dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a formulat foarte clar acest lucru: Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și este posibil să se concentreze asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar.
Slide 9
Tipul 2: Model fenomenologic (se comportă ca și cum...)
Modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modele ipotetice de primul tip, iar acestea pot fi traduse în al doilea.
Slide 10
Tipul 3: Aproximare (luați în considerare ceva foarte mare sau foarte mic)
Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. Tehnica general acceptată în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare.
Slide 11
Tip 4: simplificare (omiteți câteva detalii pentru claritate)
Într-un model de tip 4, sunt aruncate detalii care pot avea un efect vizibil și nu întotdeauna controlabil asupra rezultatului. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximare) sau 4 (omițând unele detalii pentru claritate) - depinde de fenomenul pentru care este utilizat modelul. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe, atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice.
Slide 12
Tipul 5: model euristic (nu există dovezi cantitative, dar modelul oferă o perspectivă mai profundă)
Modelul euristic păstrează doar o aparență calitativă a realității și face predicții doar „în ordinea mărimii”. Oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate, difuzie, conductivitate termică, în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii.
Slide 13
Tip 6: Analogie (să luăm în considerare doar câteva caracteristici)
Similaritate, egalitate de relații; asemănarea obiectelor, fenomenelor, proceselor, cantităților ..., în orice proprietăți, precum și cunoașterea, ținând cont doar de unele trăsături.
Slide 14
Tip 7: experiment de gândire (principalul este să respingi posibilitatea)
tip de activitate cognitivă, în care cheia pentru unul sau altul teorie științifică situația este jucată nu într-un experiment real, ci în imaginație. În unele cazuri, un experiment de gândire dezvăluie contradicții între teorie și „conștiința de zi cu zi”, ceea ce este departe de a fi întotdeauna dovada că teoria este incorectă.
Slide 15
Tipul 8: Demonstrarea unei oportunități (principalul este să arăți consistența internă a oportunității)
Acestea sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, care demonstrează că presupusul fenomen este consecvent cu principiile de bază și consecvent intern. Aceasta este principala diferență față de modelele Type 7, care dezvăluie contradicții ascunse. Clasificarea de fond se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Opt tipuri de modele conform lui R. Peierls sunt opt tipuri de posturi de cercetare în modelare.
Slide 16
Principalele etape ale modelării matematice
1. Construirea unui model. În această etapă, este stabilit un anumit obiect „non-matematic” - un fenomen natural, o structură, un plan economic, proces de fabricație etc. În acest caz, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă. În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și conexiunile dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă etapă a modelării.
Slide 17
2. Rezolvarea problemei matematice la care duce modelul. În această etapă, se acordă multă atenție dezvoltării algoritmilor și metodelor numerice pentru rezolvarea problemei pe un computer, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu precizia necesară și într-un timp rezonabil. 3. Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic. Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în domeniul dat.
Slide 18
4. Verificarea adecvării modelului. În această etapă, se constată dacă rezultatele experimentale sunt în acord cu consecințele teoretice ale modelului cu o anumită acuratețe. 5. Modificarea modelului. În această etapă, există fie o complicare a modelului pentru ca acesta să fie mai adecvat realității, fie o simplificare a acestuia pentru a obține o soluție practic acceptabilă.
Slide 19
În acest caz, trebuie respectate următoarele cerințe:
modelul trebuie să reflecte în mod adecvat cele mai esențiale (din punctul de vedere al unei formulări specifice a problemei) proprietăți ale obiectului, făcând abstracție de proprietățile sale nesemnificative; modelul trebuie să aibă o anumită zonă de aplicabilitate, datorită ipotezelor adoptate în timpul construcției sale; modelul ar trebui să permită obținerea de noi cunoștințe despre obiectul studiat.
Slide 20
MULTUMESC PENTRU ATENTIE
Vizualizați toate diapozitivele
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Modele matematice
05.05.17 Modele matematice Principalul limbaj al modelării informației în știință este limbajul matematicii. Modelele construite folosind concepte și formule matematice se numesc modele matematice. Model matematic - un model informațional în care parametrii și relațiile dintre ei sunt exprimați în formă matematică.
05.05.17 De exemplu, binecunoscuta ecuație S = vt, unde S - distanță, v - viteza t - timp, este un model de mișcare uniformă, exprimat în formă matematică.
05.05.17 Considerând sistemul fizic: un corp de masă m, care se rostogolește pe un plan înclinat cu accelerația a sub acțiunea unei forțe F, Newton a obținut relația F = ma. Este un model matematic al unui sistem fizic.
05.05.17 Metoda de modelare face posibilă aplicarea aparatului matematic la soluție sarcini practice... Conceptele de numere, figuri geometrice, ecuații, sunt exemple de modele matematice. La metoda modelării matematice în proces educațional trebuie să recurgă la rezolvarea oricărei probleme cu conținut practic. Pentru a rezolva o astfel de problemă prin mijloace matematice, ea trebuie mai întâi tradusă în limbajul matematicii (pentru a construi un model matematic). Modelare matematică
05.05.17 În modelarea matematică, studiul unui obiect se realizează prin studierea unui model formulat în limbajul matematicii. Exemplu: trebuie să determinați suprafața tabelului. Măsurați lungimea și lățimea tabelului, apoi înmulțiți numerele rezultate. Acest lucru înseamnă efectiv că obiectul real - suprafața mesei - este înlocuit cu un model matematic abstract cu un dreptunghi. Aria acestui dreptunghi este considerată a fi cea dorită. Dintre toate proprietățile mesei, s-au distins trei: forma suprafeței (dreptunghi) și lungimile celor două laturi. Nici culoarea mesei, nici materialul din care este confectionata, nici modul in care este folosita nu sunt importante. Presupunând că suprafața tabelului este un dreptunghi, este ușor să specificați intrarea și ieșirea. Ele sunt legate prin relația S = ab.
05/05/17 Să luăm în considerare un exemplu de reducere a soluției unei probleme specifice la un model matematic. Prin hubloul navei scufundate, trebuie să scoți un cufăr cu bijuterii. Sunt date câteva ipoteze despre forma ferestrelor cufărului și hubloului și datele inițiale pentru rezolvarea problemei. Ipoteze: Hubloul este circular. Pieptul are forma unui paralelipiped dreptunghiular. Date inițiale: D - diametrul ferestrei; x este lungimea pieptului; y este lățimea pieptului; z este înălțimea pieptului. Rezultat final: Mesaj: poate sau nu poate fi scos.
05/05/17 Dacă, atunci pieptul poate fi scos, iar dacă, atunci este imposibil. O analiză sistematică a enunțului problemei a relevat relația dintre dimensiunea ferestrei și dimensiunea cufărului, ținând cont de forma acestora. Informațiile obținute în urma analizei au fost afișate în formule și relațiile dintre acestea, așa că a luat naștere un model matematic. Modelul matematic pentru rezolvarea acestei probleme este următoarele dependențe între datele inițiale și rezultat:
05/05/17 Exemplul 1: Calculați cantitatea de vopsea pentru a acoperi podeaua într-o sală de sport. Pentru a rezolva problema, trebuie să cunoașteți suprafața podelei. Pentru a finaliza această sarcină, măsurați lungimea, lățimea podelei și calculați aria acestuia. Obiectul real - podeaua sălii - este ocupat de un dreptunghi, pentru care aria este produsul lungimii și lățimii. Când cumpără vopsea, ei află câtă zonă poate fi acoperită cu conținutul unei cutii și calculează suma necesară conserve. Fie A lungimea podelei, B lățimea podelei, S 1 zona care poate fi acoperită cu conținutul unei cutii, N numărul de cutii. Suprafața podelei este calculată folosind formula S = A × B, iar numărul de cutii necesare pentru vopsirea halei este N = A × B / S 1.
05.05.17 Exemplul 2: Piscina se umple prin prima conductă în 30 de ore, prin a doua conductă - în 20 de ore. Câte ore vor dura ca piscina să se umple prin două conducte? Soluție: Să desemnăm timpul de umplere a piscinei prin prima și a doua conductă A și, respectiv, B. Luăm întregul volum al piscinei ca 1 și notăm timpul necesar cu t. Deoarece piscina este umplută prin prima țeavă în A ore, atunci 1 / A este partea din piscină umplută cu prima țeavă în 1 oră; 1 / B - o parte a piscinei umplută cu a doua țeavă în 1 oră. Prin urmare, rata de umplere a piscinei cu prima și a doua țeavă împreună va fi: 1 / A + 1 / B. Puteți scrie: (1 / A + 1 / B) t = 1. a obținut un model matematic care descrie procesul de umplere a unei piscine din două conducte. Timpul necesar poate fi calculat cu formula:
05/05/17 Exemplul 3: Punctele A și B sunt situate pe autostradă, situate la o distanță de 20 km unul de celălalt. Motociclistul a părăsit punctul B în sens invers față de A cu o viteză de 50 km/h. Să compunem un model matematic care descrie poziția motociclistului față de punctul A în t ore. În t ore, motociclistul va parcurge 50 t km și va fi din A la o distanță de 50 t km + 20 km. Dacă notăm distanța (în kilometri) a motociclistului până la punctul A cu litera s, atunci dependența acestei distanțe de timpul deplasării poate fi exprimată prin formula: S = 50t + 20, unde t> 0.
05/05/17 Primul număr este egal cu x, iar al doilea este cu 2,5 mai mult decât primul. Se știe că 1/5 din primul număr este egal cu 1/4 din al doilea. Faceți modele matematice ale acestor situații: Misha are x note, iar Andrey are o dată și jumătate mai multe. Dacă Misha îi dă lui Andrey 8 note, atunci Andrey va avea de două ori mai multe note decât va avea Misha. Al doilea atelier angajează x oameni, în primul - de 4 ori mai mult decât în al doilea, iar în al treilea - cu 50 de persoane mai mult decât în al doilea. În total, 470 de oameni sunt angajați în trei ateliere ale fabricii. Să verificăm: Următoarele dependențe între datele inițiale și rezultat sunt modelul matematic pentru rezolvarea acestei probleme: Misha avea mărci; Andrey are 1,5x. Misha are x-8, Andrey 1,5x + 8. După condiția problemei, 1,5x + 8 = 2 (x-8). Modelul matematic pentru rezolvarea acestei probleme este următoarele dependențe între datele inițiale și rezultat: x oameni lucrează în al doilea magazin, 4x în primul și x + 50 în al treilea. x + 4x + x + 50 = 470. Modelul matematic pentru rezolvarea acestei probleme este următoarele dependențe între datele inițiale și rezultat: primul număr x; secunda x + 2,5. După condiția problemei, x / 5 = (x + 2,5) / 4.
05/05/17 Acesta este modul în care se aplică de obicei matematica viata reala... Modelele matematice nu sunt doar algebrice (sub formă de egalitate cu variabile, ca în exemplele discutate mai sus), ci și sub altă formă: tabelară, grafică și altele. Ne vom familiariza cu alte tipuri de modele în următoarea lecție.
05/05/17 Treaba acasă: § 9 (p. 54-58) Nr., 2, 4 (p. 60) în caiet
05/05/17 Mulțumesc pentru lecție!
05.05.17 Surse Informatică și TIC: un manual pentru clasa a 8-a http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (grafice, diagrame) http://images.yandex.ru (imagini)
Algoritm elaborarea unui model matematic:
- Faceți o scurtă înregistrare a stării problemei:
A) află câte cantități sunt implicate în sarcină;
B) identificați relația dintre aceste cantități.
2. Realizați un desen pentru problema (în probleme de mișcare sau în probleme de conținut geometric) sau un tabel.
3. Desemnați pentru X una dintre valori (de preferință o valoare mai mică).
4. Ținând cont de conexiuni, întocmește un model matematic.
Sarcina 1. (Nr. 86 (1)).
Apartamentul este format din 3 camere cu o suprafata totala de 42 mp. Prima cameră este de 2 ori mai mică decât a doua, iar a doua are 3 metri pătrați. m mai mult decât al treilea. Care este suprafața fiecărei camere din acest apartament?
Problema 2. (Nr. 86 (2)).
Sasha a plătit 11.200 de ruble pentru carte, pix și caiet. Un stilou este de 3 ori mai scump decât un caiet și 700 de ruble. mai ieftin decât o carte. Cât costă un notebook?
Problema 3. (Nr. 86 (3)).
Motociclistul a parcurs distanța dintre cele două orașe egală cu
980 km, in 4 zile. În prima zi, a parcurs cu 80 km mai puțin decât în a doua zi, în a treia zi - jumătate din distanța parcursă în primele două zile, iar în a patra zi - restul de 140 km. Cât de departe a parcurs motociclistul în a treia zi?
Problema 4. (Nr. 86 (4))
Perimetrul patrulaterului este de 46 dm. Prima sa latură este de 2 ori mai mică decât a doua și de 3 ori mai mică decât a treia latură, iar a patra latură este cu 4 cm mai mare decât prima latură. Care sunt lungimile laturilor acestui patrulater?
Problema 5. (Nr. 87)
Unul dintre numere este cu 17 mai mic decât al doilea, iar suma lor este 75. Aflați cel mai mare dintre aceste numere.
Problema 6. (Nr. 99)
20 de participanți au cântat în trei părți ale concertului. În a doua parte, au fost de 3 ori mai puțini participanți decât în prima, iar în a treia - cu 5 mai mulți participanți decât în a doua. Câți participanți la concert au susținut în fiecare secțiune?
Pot (sau nu):
Aptitudini
Puncte
0 sau 1
Identificați numărul de cantități implicate în sarcină
Dezvăluie relațiile dintre cantități
Înțeleg ce înseamnă
C) „totul”
Pot face un model matematic
Pot să compun o nouă problemă pentru un model matematic dat
Teme pentru acasă:
1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);
2) Creați o problemă pentru modelul matematic al problemei
Literatură 1. Samarskiy AA, Mikhailov AP Modelare matematică: idei. Metode. Exemple - M .: Nauka, Volkov E.A. Metode numerice. - M .: Nauka, Turchak LI Fundamentele metodelor numerice. - M .: Nauka, Kopchenova NV, Maron IA Matematică computațională în exemple și probleme. - M .: Nauka, 1972.
Un pic de istorie de la manipularea obiectelor până la manipularea conceptelor despre obiecte înlocuirea obiectului, procesului sau fenomenului studiat cu o incapacitate mai simplă și mai accesibilă pentru cercetare echivalentă de a lua în considerare întregul set de factori care determină proprietățile și comportamentul un obiect
Rolul modelelor Clădirea este urâtă, fragilă sau nu se încadrează în peisajul înconjurător Demonstrarea sistemelor circulatorii în natură este inumană Tensiunile, de exemplu, în aripi, pot fi prea mari Colectați circuite electrice nu este economic pentru măsurători
Legarea modelului cu originalul Crearea unui model presupune păstrarea unor proprietăți ale originalului, iar în diferite modele aceste proprietăți pot fi diferite. Clădirea din carton este mult mai mică decât cea reală, dar îți permite să-i judeci aspect; posterul face ca sistemul circulator să fie de înțeles, deși nu are nicio legătură cu organele și țesuturile; modelul aeronavei nu zboară, dar tensiunile din corpul său corespund condițiilor de zbor.
De ce sunt folosite modele? 1. Un model este mai accesibil pentru cercetare decât un obiect real, 2. Este mai ușor și mai ieftin să studiezi un model decât obiectele reale, 3. unele obiecte nu pot fi studiate direct: nu este încă posibil, de exemplu, să construiești un dispozitiv pentru fuziunea termonucleară sau efectuarea de experimente în interiorul stelelor, 4. experimentele cu trecutul sunt imposibile, experimentele economice sau sociale sunt inacceptabile
Scopul modelelor 1. Folosind modelul, puteți identifica cei mai importanți factori care formează proprietățile unui obiect. Deoarece modelul reflectă doar unele caracteristici ale obiectului - originalul, apoi prin variarea setului acestor caracteristici ca parte a modelului, este posibil să se determine gradul de influență a anumitor factori asupra adecvării comportamentului modelului.
Modelul este necesar: 1. Pentru a înțelege cum este aranjat un anumit obiect: care este structura lui, proprietățile, legile dezvoltării și interacțiunii cu lumea exterioară. 2. Pentru a învăța cum să controlați un obiect sau un proces și să determinați cele mai bune moduri management pentru scopurile și criteriile date. 3. Pentru a prezice comportamentul obiectului și a evalua consecințele căi diferiteși forme de impact asupra obiectului (modele meteorologice, modele de dezvoltare a biosferei).
Proprietatea corectă a modelului Construit corect, model bun are o proprietate remarcabilă: studiul său vă permite să obțineți noi cunoștințe despre obiect - originalul, în ciuda faptului că, la crearea modelului, au fost utilizate numai unele dintre caracteristicile principale ale originalului
Modelarea materialului Modelul reproduce caracteristicile de bază geometrice, fizice, dinamice și funcționale ale obiectului studiat, atunci când un obiect real este comparat cu copia lui mărită sau redusă, ceea ce permite cercetarea în condiții de laborator cu transferul ulterior al proprietăților obiectului studiat. procese și fenomene de la model la obiect bazate pe teoria similitudinii (planetarium, modele de clădiri și aparate etc.). Procesul de cercetare în acest caz este strâns legat de impactul material asupra modelului, adică constă într-un experiment natural. Astfel, modelarea materialelor este prin natura sa o metoda experimentala.
Tipuri de modelare ideală Intuitiv - modelarea obiectelor care nu se pretează la formalizare sau nu au nevoie de ea. Experiența de viață a unei persoane poate fi considerată modelul său intuitiv al lumii din jurul său Semn - modelare folosind transformările semnelor ca modele alt fel: diagrame, grafice, desene, formule etc. si continand un set de legi prin care puteti opera cu elementele modelului
Modelare matematica Studiul unui obiect se realizeaza pe baza unui model formulat in limbajul matematicii si investigat folosind anumite metode matematice.realizarea acestor modele cu ajutorul calculatorului.
Mat de clasificare. modele După scop: simulare de optimizare descriptivă După natura ecuațiilor: liniar neliniar Prin luarea în considerare a modificărilor din sistem în timp: dinamic static După proprietatea domeniului de definire a argumentelor: continuu discret După natura procesului: determinist stocastică
Descrierea prezentării pentru diapozitive individuale:
1 tobogan
Descriere slide:
2 tobogan
Descriere slide:
Un model matematic este o reprezentare matematică a realității, una dintre variantele unui model, ca sistem, al cărui studiu permite obținerea de informații despre un alt sistem. Procesul de construire și studiere a modelelor matematice se numește modelare matematică. Toate științele naturale și sociale care folosesc aparatul matematic, de fapt, sunt angajate în modelarea matematică: ele înlocuiesc obiectul cercetării cu modelul său matematic și apoi îl studiază pe acesta din urmă. Legătura modelului matematic cu realitatea se realizează folosind un lanț de ipoteze, idealizări și simplificări. Metodele matematice sunt folosite pentru a descrie, de regulă, un obiect ideal construit în stadiul modelării semnificative. Informații generale
3 slide
Descriere slide:
Nicio definiție nu poate acoperi pe deplin activitățile de modelare matematică din viața reală. În ciuda acestui fapt, definițiile sunt utile prin aceea că încearcă să evidențieze cele mai semnificative caracteristici. Potrivit lui Lyapunov, modelarea matematică este un studiu practic sau teoretic indirect al unui obiect, în care nu obiectul care ne interesează este studiat direct, ci un sistem (model) artificial sau natural auxiliar, care este într-o corespondență obiectivă cu obiectul. fiind cunoscut, capabil să-l înlocuiască în anumite privințe și să ofere, în investigația sa, în cele din urmă, informații despre obiectul modelat însuși. În alte versiuni, modelul matematic este definit ca un obiect substitut pentru obiectul original, care oferă studiul unora dintre proprietățile originalului, ca „echivalentul” obiectului, reflectând în formă matematică proprietățile sale cele mai importante - legile cărora le respectă, conexiunile inerente părților sale constitutive”, ca sistem de ecuații, sau rapoarte aritmetice, sau figuri geometrice, sau o combinație a ambelor, al căror studiu prin matematică ar trebui să răspundă la întrebările puse despre proprietățile unui anumit set de proprietăți ale unui obiect din lumea reală, ca un set de rapoarte matematice, ecuații, inegalități care descriu legile de bază inerente procesului, obiectului sau sistemului studiat. Definiții
4 slide
Descriere slide:
Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Deseori construite sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii: Modele liniare sau neliniare; Sisteme concentrate sau distribuite; Determinist sau Stochastic; Static sau dinamic; Discret sau continuu și așa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: într-o privință, concentrate (din punct de vedere al parametrilor), în alta, modele distribuite etc. Clasificarea formală a modelelor
5 slide
Descriere slide:
Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care este reprezentat obiectul: Modele structurale sau funcționale. Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu structură proprie și mecanism de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al unui obiect. În expresia lor extremă, sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, uneori denumite modele „cutie gri”. Modelele matematice ale sistemelor complexe pot fi împărțite în trei tipuri: Modele de tip cutie neagră (fenomenologice), Modele de tip cutie gri (un amestec de modele fenomenologice și mecaniciste), Modele de tip cutie albă (mecanistice, axiomatice). Reprezentarea schematică a modelelor de cutie neagră, cutie gri și cutie albă Clasificare după reprezentarea obiectului
6 slide
Descriere slide:
Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că la început se construiește o structură ideală specială, un model semnificativ. Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal un model conceptual, un model speculativ sau un pre-model. În acest caz, construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării unui model semnificativ (pre-model) dat. Construcția unui model semnificativ poate fi realizată folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcuri ideale, corpuri rigide, penduluri ideale, medii elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru o modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative devine mult mai complicată. Conținut și modele formale
7 slide
Descriere slide:
În lucrarea lui Peierls, o clasificare a modelelor matematice utilizate în fizică și, mai larg, în Stiintele Naturii... În cartea lui A. N. Gorban și R. G. Khlebopros, această clasificare este analizată și extinsă. Această clasificare se concentrează în primul rând pe etapa construirii unui model semnificativ. Modelele de ipoteză de primul tip sunt ipoteze („aceasta ar putea fi”), „sunt o descriere tentativă a unui fenomen, iar autorul fie crede în posibilitatea acestuia, fie chiar îl consideră adevărat”. Potrivit lui Peierls, acestea sunt, de exemplu, modelul lui Ptolemeu al sistemului solar și modelul lui Copernic (îmbunătățit de Kepler), modelul atomului lui Rutherford și modelul Big Bang. Ipotezele-model în știință nu pot fi dovedite o dată pentru totdeauna, se poate vorbi doar despre infirmarea sau neinfirmarea lor ca urmare a unui experiment. Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și este posibil să se concentreze asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar. Modelul fenomenologic Al doilea tip - modelul fenomenologic („ne comportăm ca și cum...”), conține un mecanism de descriere a fenomenului, deși acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile, sau nu este de acord. bine cu teoriile existente și cunoștințele acumulate despre obiect... Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Peierls se referă la al doilea tip, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare. Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele de ipoteză de primul tip și pot fi traduse în al doilea. Clasificarea substanțială a modelelor
8 slide
Descriere slide:
Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice și-au făcut drum de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei. Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls identifică trei tipuri de simplificări de modelare. Aproximarea Al treilea tip de model este aproximarea („considerăm că ceva este foarte mare sau foarte mic”). Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. Tehnica general acceptată în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplu standard- Legea lui Ohm. Dacă folosim modelul de gaz ideal pentru a descrie gazele suficient de rarefiate, atunci acesta este un model de tip 3 (aproximativ). La densități mai mari de gaz, este de asemenea util să ne imaginăm o situație mai simplă cu un gaz ideal pentru înțelegere și evaluări calitative, dar atunci acesta este deja tipul 4. Simplificare Al patrulea tip este simplificarea („omiteți câteva detalii pentru claritate”), în acest sens. se aruncă detalii care pot influența rezultatul în mod vizibil și nu întotdeauna controlabile. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximare) sau 4 (omițând unele detalii pentru claritate) - depinde de fenomenul pentru care este utilizat modelul. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe (adică ecuațiile neliniare nu sunt liniarizate, dar ecuațiile liniare care descriu obiectul sunt căutate pur și simplu), atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice și aparțin urmând tipul 4 (toate detaliile neliniare „omitem pentru claritate). Exemple: aplicarea modelului de gaz ideal la gazul imperfect, ecuația de stare van der Waals, majoritatea modelelor fizice solid, lichide și fizica nucleară. Calea de la microdescriere la proprietățile corpurilor (sau mediilor) constând dintr-un număr mare de particule, Clasificarea de fond a modelelor (continuare)
9 slide
Descriere slide:
foarte lung. Multe detalii trebuie aruncate. Acest lucru duce la al patrulea tip de modele. Modelul euristic Al cincilea tip este un model euristic („nu există nicio confirmare cantitativă, dar modelul contribuie la o perspectivă mai profundă a esenței problemei”), un astfel de model păstrează doar o aparență calitativă a realității și oferă predicții doar „în ordin de mărime." Un exemplu tipic este aproximarea medie a drumului liber în teoria cinetică. Oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate, difuzie, conductivitate termică, în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii. Dar atunci când se construiește o nouă fizică, este departe de a fi imediat posibil să se obțină un model care să ofere cel puțin o descriere calitativă a unui obiect - un model de al cincilea tip. În acest caz, un model este adesea folosit prin analogie, reflectând realitatea cel puțin într-un fel. Analogie Al șaselea tip este un model de analogie („să luăm în considerare doar câteva dintre caracteristici”). Peierls oferă o istorie a utilizării analogiilor în prima lucrare a lui Heisenberg despre natura forțelor nucleare. Experiment de gândire Al șaptelea tip de model este un experiment de gândire („principalul este să respingi posibilitatea”). Acest tip de modelare a fost adesea folosit de Einstein, în special, unul dintre astfel de experimente a condus la construirea teoriei speciale a relativității. Să presupunem că în fizica clasică urmărim o undă luminoasă cu viteza luminii. Vom observa o schimbare periodică în spațiu și constantă în timp a câmpului electromagnetic. Conform ecuațiilor lui Maxwell, acest lucru nu poate fi. Prin urmare, Einstein a concluzionat: fie legile naturii se schimbă atunci când cadrul de referință se schimbă, fie viteza luminii nu depinde de cadrul de referință și a ales a doua opțiune. Demonstrarea posibilității Al optulea tip este demonstrarea posibilității („principalul este de a arăta consistența internă a posibilității”), astfel de modele sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, demonstrând că presupusul fenomen este în concordanță cu principiul de bază. principii și clasificarea substanțială a modelelor (continuare)
10 diapozitive
Descriere slide:
consecvent intern. Aceasta este principala diferență față de modelele Type 7, care dezvăluie contradicții ascunse. Unul dintre cele mai faimoase dintre aceste experimente este geometria lui Lobachevsky. (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”.) Un alt exemplu este producția în masă de modele cinetice formale de oscilații chimice și biologice, undele auto. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un experiment de gândire pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice, dar într-un mod neplanificat, de-a lungul timpului, s-a transformat într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității teleportării cuantice a informațiilor. Clasificarea de fond se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Cele opt tipuri de modele Peierls sunt cele opt tipuri de posturi de cercetare în modelare. Clasificarea de fond a modelelor (continuare)
11 diapozitiv
Descriere slide:
12 slide
Descriere slide:
practic inutil. Adesea mai mult model simplu vă permite să explorați mai bine și mai profund un sistem real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”). Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte care sunt departe de fizică, statutul său semnificativ poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model la populațiile biologice, cel mai probabil ar trebui să fie clasificat ca analogie de tip 6 („să luăm în considerare doar câteva dintre caracteristici”). Exemplu (continuare)
13 diapozitiv
Descriere slide:
14 slide
Descriere slide:
Cele mai importante modele matematice au de obicei o importantă proprietate a universalității: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: oscilații mici ale unui pendul, oscilații ale nivelului lichidului într-un vas în formă de U sau o modificare a intensității curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor exprimat prin modele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice este fapta lui Ludwig von Bertalanffy de a crea „ teorie generală sisteme”. Versatilitatea modelelor
15 slide
Descriere slide:
Există multe probleme asociate modelării matematice. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului modelat, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind stabilit ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs. unele detalii sunt aruncate ca nesemnificative, se fac calcule, se compară cu măsurători, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în bază elementele constitutive... În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse. Sarcină directă: structura modelului și toți parametrii săi sunt considerați cunoscuți, sarcina principală- efectuarea unui studiu model pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică va rezista podul? Cum va reacționa el la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren pe viteză diferită), cum un avion sparge bariera sunetului, fie că se prăbușește din cauza flutterului - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se setează întrebările potrivite atunci podul s-ar putea prăbuși chiar dacă s-ar construi un model bun pentru comportamentul său. Așadar, în 1879, în Marea Britanie, un pod feroviar metalic peste Tay s-a prăbușit, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru un factor de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant în acelea. locuri. Și după un an și jumătate, s-a prăbușit. În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu) problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații. Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, este necesară selectarea unui model specific pe baza unor date suplimentare Probleme directe și inverse de modelare matematică
Se încarcă...
