Типові математичні моделі. СМО з очікуванням (чергою) Одноканальна смо з необмеженою чергою приклад

Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування з очікуванням.

Припускатимемо, що вхідний потік заявок на обслуговування є найпростішим потоком з інтенсивністю λ.

Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює μ. Тривалість обслуговування – випадкова величина, підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є найпростішим пуассонівським потоком подій.

Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування. Вважатимемо, що розмір черги обмежений і не може вмістити більше m заявок, тобто. заявка, що залишила в момент свого приходу до СМО m +1 заявок (m тих, хто чекає в черзі і одну, яка перебуває на обслуговуванні), залишає СМО.

Система рівнянь, що описують процес у цій системі, має рішення:

(0‑1)

Знаменник першого виразу є геометричною прогресією з першим членом 1 і знаменником ρ, звідки отримуємо

При ρ = 1 можна вдатися до прямого підрахунку

(0‑8)

Середня кількість заявок, що знаходяться в системі.

Оскільки середня кількість заявок, що знаходяться в системі

(0‑9)

де - середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, знаючи залишається знайти. Т.к. канал один, то кількість заявок, що обслуговуються, може дорівнювати або 0, або 1 з ймовірностями P 0 і P 1 = 1-P 0 відповідно, звідки

(0‑10)

і середня кількість заявок, що знаходяться в системі, дорівнює

(0‑11)

Середній час очікування заявки у черзі.

(0‑12)

тобто, середній час очікування заявки в черзі дорівнює середній кількості заявок у черзі, поділеному на інтенсивність потоку заявок.

Середній час перебування заявки у системі.

Час перебування заявки у системі складається з часу очікування заявки у черзі та часу обслуговування. Якщо завантаження системи становить 100%, то =1/μ, інакше = q/μ. Звідси

(0‑13)

Зміст роботи.

Підготовка інструментарію експерименту .

Виконується аналогічно відповідно до загальних правил.

Розрахунок на аналітичній моделі.

1. У Microsoft Excel підготуйте таблицю такого вигляду.

2. У стовпцях для параметрів СМО таблиці запишіть вихідні дані, що визначаються за правилом:

m=1,2,3

(максимальна довжина черги).

Для кожного значення m необхідно знайти теоретичні та експериментальні значення показників СМО для таких пар значень:

= <порядковый номер в списке группы>

3. У стовпчиках з показниками аналітичної моделі впишіть відповідні формули.

Експеримент на імітаційній моделі.

1. Встановіть режим запуску з експоненційно розподіленим часом обслуговування, задавши значення відповідного параметра 1.

2. Для кожної комбінації m , та здійсніть запуск моделі.

3. Результати запусків внесіть до таблиці.

4. Внесіть у відповідні стовпці таблиці формули для розрахунку середнього значення показника P отк, q і А.

Аналіз результатів .

1. Проаналізуйте результати, отримані теоретичним та експериментальним способами, порівнявши результати між собою.

2. Для m=3 побудуйте одній діаграмі графіки залежності P відк від теоретично та експериментально отриманих даних.

Оптимізація параметрів СМО .

Розв'яжіть задачу оптимізації розміру числа місць у черзі m для приладу із середнім часом обслуговування = з погляду отримання максимального прибутку. Як умови завдання візьміть:

- дохід від обслуговування однієї заявки рівним 80 у.о./год.,

- вартість утримання одного приладу рівним 1у.о./год.

1. Для розрахунків доцільно створити таблицю:

Перший стовпець заповнюється значеннями чисел натурального ряду (1,2,3…).

Всі клітини другого та третього стовпців заповнюються значеннями і.

У клітини стовпців з четвертого до дев'ятого переносяться формули для стовпців таблиці розділу 0.

У стовпці з вихідними даними розділів Дохід, Витрата, Прибуток внесіть значення (див. вище).

У стовпцях з значеннями розділів, що обчислюються, Дохід, Витрата, Прибуток запишіть розрахункові формули:

- кількість заявок за одиницю часу

N r =A

- сумарний дохід за одиницю часу

I S = I r *N r

- сумарна витрата в одиницю часу

E S = E s + E q * (n-1)

- прибуток у одиницю часу

P = I S - E S

де

I r - Дохід від однієї заявки,

E s - Витрата на експлуатацію одного приладу,

E q - Витрата на експлуатацію одного місця в черзі.

Графіки для P отк ,

- таблицю з даними для знаходження найкращого m і значення m опт,

- графік залежності прибутку в одиницю часу від m.

Контрольні питання :

1) Дайте короткий опис одноканальної моделі СМО з обмеженою чергою.

2) Якими показниками характеризується функціонування одноканальної СМО із відмовами?

3) Як розраховується ймовірність p 0 ?

4) Як розраховуються ймовірності p i?

5) Як знайти можливість відмови від обслуговування заявки?

6) Як знайти відносну пропускну спроможність?

7) Чому дорівнює абсолютна пропускна спроможність?

8) Як підраховується середня кількість заявок у системі?

9) Наведіть приклади СМО з обмеженою чергою.

Завдання.

1) Порт має один вантажний причал для розвантаження суден. Інтенсивність потоку становить 0,5 заходи на добу. Середній час розвантаження одного судна 2 доби. Якщо в черзі на розвантаження стоять 3 судна, то судно, що приходить, направляється для розвантаження на інший причал. Знайти показники ефективності роботи причалу.

2) До довідкової залізничного вокзалу надходять телефонні запити з інтенсивністю 80 заявок на годину. Оператор довідкової відповідає на дзвінок, що надійшов, в середньому 0,7 хв. Якщо оператор зайнятий, клієнту видається повідомлення "Чекайте на відповідь", запит стає в чергу, довжина якої не перевищує 4 запитів. Дайте оцінку роботи довідкової та варіант її реорганізації

Федеральне агентство з освіти РФ

ФГОУ СПО «Перевізський будівельний коледж»

Курсова робота

з дисципліни «Математичні методи»

на тему «СМО з обмеженим часом очікування. Замкнуті СМО»

Вступ................................................. .................................................. ....... 2

1. Основи теорії масового обслуговування............................................ ...... 3

1.1 Поняття випадкового процесу.............................................. .................... 3

1.2 Марківський випадковий процес.............................................. ................ 4

1.3 Потоки подій............................................... .......................................... 6

1.4. Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів. Фінальні ймовірності станів............................................... .................................................. ........ 9

1.5 Завдання теорії масового обслуговування............................................. .. 13

1.6 Класифікація систем масового обслуговування 15

2. Системи масового обслуговування з очікуванням 16

2.1 Одноканальна СМО з очікуванням ............................................. ........... 16

2.2 Багатоканальна СМО з очікуванням ............................................. ......... 25

3. Замкнуті СМО.............................................. .......................................... 37

Розв'язання задачі................................................ ............................................. 45

Висновок................................................. .................................................. .

Список литературы................................................ ....................................... 51

У цьому курсі ми розглядатимемо різні системи масового обслуговування (СМО) та мережі масового обслуговування (СМО).

Під системою масового обслуговування (СМО) розуміють динамічну систему, призначену ефективного обслуговування потоку заявок (вимог обслуговування) при обмеження ресурси системи.

Моделі СМО зручні описи окремих підсистем сучасних обчислювальних систем, як-от підсистема процесор - основна пам'ять, канал вводу-вывода тощо. буд. Обчислювальна система загалом є сукупність взаємозалежних підсистем, взаємодія яких носить імовірнісний характер. Заявка на вирішення деякої задачі, що надходить в обчислювальну систему, проходить послідовність етапів рахунку, звернення до зовнішніх пристроїв і пристроїв введення-виведення. Після виконання деякої послідовності таких етапів, число та тривалість яких залежить від трудомісткості програми, заявка вважається обслуженою та залишає обчислювальну систему. Таким чином, обчислювальну систему в цілому можна представляти сукупністю СМО, кожна з яких відображає функціонування окремого пристрою або групи однотипних пристроїв, що входять до складу системи.

Сукупність взаємозалежних СМО називається мережею масового обслуговування (стохастичною мережею).

Для початку ми розглянемо основи теорії СМО, потім перейдемо до ознайомлення у докладному змісті до СМО з очікуванням та замкненим СМО. Також в курс включено практичну частину, в якій ми докладно познайомимося з тим, як застосувати теорію на практиці.

Теорія масового обслуговування становить один із розділів теорії ймовірностей. У цій теорії розглядаються імовірніснізавдання та математичні моделі (до цього нами розглядалися детерміновані математичні моделі). Нагадаємо, що:

Детермінована математична модельвідображає поведінку об'єкта (системи, процесу) з позицій повної визначеностіу теперішньому та майбутньому.

Ймовірнісна математична модельвраховує вплив випадкових чинників поведінка об'єкта (системи, процесу) і, отже, оцінює майбутнє з позицій ймовірності тих чи інших подій.

Тобто. тут як, наприклад, у теорії ігор задачі розглядаються в умовах невизначеності .

Розглянемо спочатку деякі поняття, які характеризують «стохастичну невизначеність», коли невизначені фактори, що входять до завдання, є випадковими величинами (або випадковими функціями), ймовірнісні характеристики яких або відомі, або можуть бути отримані з досвіду. Таку невизначеність називають ще «сприятливою», «доброякісною».

Строго кажучи, випадкові обурення притаманні будь-якому процесу. Простіше навести приклади випадкового, ніж «невипадкового» процесу. Навіть, наприклад, процес ходу годинника (начебто це сувора вивірена робота – «працює як годинник») схильний до випадкових змін (догляд вперед, відставання, зупинка). Але доки ці обурення несуттєві, мало впливають на цікаві для нас параметри, ми можемо ними знехтувати і розглядати процес як детермінований, невипадковий.

Нехай є деяка система S(Технічне пристрій, група таких пристроїв, технологічна система - верстат, ділянка, цех, підприємство, галузь промисловості тощо). У системі Sпротікає випадковий процесякщо вона з часом змінює свій стан (переходить з одного стану в інший), причому, заздалегідь невідомим випадковим чином.

Приклади:

1. Система S- технологічна система (дільниця верстатів). Верстати іноді виходять з ладу і ремонтуються. Процес, який у цій системі, випадковий.

2. Система S- Літак, що здійснює рейс на заданій висоті за певним маршрутом. Обурювальні чинники – метеоумови, помилки екіпажу тощо, наслідки – «болтанка», порушення графіка польотів тощо.

Випадковий процес, що протікає в системі, називається Марківськимякщо для будь-якого моменту часу t 0 ймовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t 0 і не залежать від того, коли і як система прийшла до цього стану.

Нехай зараз t 0 система знаходиться у певному стані S 0 . Ми знаємо характеристики стану системи в теперішньому і все, що було при t <t 0 (передісторію процесу). Чи можемо передбачити (передбачити) майбутнє, тобто. що буде за t >t 0? В точності – ні, але якісь ймовірні характеристики процесу в майбутньому знайти можна. Наприклад, ймовірність того, що через деякий час система Sвиявиться в стані S 1 або залишиться в стані S 0 і т.д.

приклад. Система S- Група літаків, що беруть участь у повітряному бою. Нехай x– кількість «червоних» літаків, y- кількість "синіх" літаків. На момент часу t 0 кількість літаків, що збереглися (не збитих) відповідно – x 0 , y 0 . Нас цікавить ймовірність того, що в момент часу чисельна перевага буде на боці червоних. Ця ймовірність залежить від того, в якому стані знаходилася система у момент часу t 0 , а не від того, коли і в якій послідовності гинули збиті до моменту t 0 літаки.

Насправді Марківські процеси у чистому вигляді зазвичай зустрічаються. Але є процеси, котрим впливом «передісторії» можна знехтувати. І при вивченні таких процесів можна застосовувати Марківські моделі (теоретично масового обслуговування розглядаються і не Марківські системи масового обслуговування, але математичний апарат, який їх описує, набагато складніше).

У дослідженні операцій велике значення мають Марківські випадкові процеси з дискретними станами та безперервним часом.

Процес називається процесом із дискретним станом, якщо його можливі стани S 1 , S 2, … можна заздалегідь визначити, і перехід системи зі стану в стан відбувається «стрибком» практично миттєво.

Процес називається процесом з безперервним часом, якщо моменти можливих переходів зі стану стан не фіксовані заздалегідь, а невизначені, випадкові і можуть статися в будь-який момент.

приклад. Технологічна система (дільниця) Sскладається з двох верстатів, кожен з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу (відмовити), після чого миттєво починається ремонт вузла, що теж триває наперед невідомий, випадковий час. Можливі такі стани системи:

S 0 - обидва верстати справні;

S 1 - перший верстат ремонтується, другий справний;

S 2 - другий верстат ремонтується, перший справний;

S 3 - обидва верстати ремонтуються.

Переходи системи Sзі стану в стан відбуваються практично миттєво, у випадкові моменти виходу з ладу того чи іншого верстата чи закінчення ремонту.

При аналізі випадкових процесів із дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою – графом станів. Вершини графа – стану системи. Дуги графа - можливі переходи зі стану в стан. Для нашого прикладу граф станів наведено на рис. 1.

Мал. 1. Граф станів системи

Примітка. Перехід із стану S 0 в S 3 малюнку не позначений, т.к. передбачається, що верстати виходять з ладу незалежно один від одного. Імовірністю одночасного виходу з ладу обох верстатів ми нехтуємо.

Потік подій- Послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною в якісь випадкові моменти часу.

У попередньому прикладі – це потік відмов та потік відновлень. Інші приклади: потік дзвінків на телефонній станції, потік покупців у магазині тощо.

Потік подій можна зобразити поруч точок на осі часу O t- Мал. 2.

Мал. 2. Зображення потоку подій на осі часу

Положення кожної точки випадково, і тут зображена лише одна реалізація потоку.

Інтенсивність потоку подій ( ) - Це середня кількість подій, що припадає на одиницю часу.

Розглянемо деякі властивості (види) потоків подій.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його ймовірні характеристики не залежать від часу.

Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку стала. Потік подій неминуче має згущення чи розрідження, але де вони носять закономірного характеру, і середнє число подій, що припадає на одиницю часу, завжди і від часу залежить.

Потік подій називається потоком без наслідків, якщо для будь-яких двох ділянок часу, що не перетинаються, і (див. рис. 2) кількість подій, що потрапляють на одну з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на іншу. Іншими словами, це означає, що події, що утворюють потік, з'являються в ті чи інші моменти часу незалежно один від одногота викликані кожне своїми власними причинами.

Потік подій називається ординарнимякщо події в ньому з'являються поодинці, а не групами по кілька відразу.

Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським),якщо він має відразу три властивості:

1) стаціонарний;

2) ординарний;

3) немає наслідків.

Найпростіший потік має найпростіший математичний опис. Він відіграє серед потоків таку ж особливу роль, як закон нормального розподілу серед інших законів розподілу. А саме, при накладенні досить великої кількості незалежних, стаціонарних та ординарних потоків (порівняних між собою за інтенсивністю) виходить потік, близький до найпростішого.

Для найпростішого потоку з інтенсивністю інтервал Tміж сусідніми подіями має так зване показовий (експоненційний) розподіліз щільністю:

де – параметр показового закону.

Для випадкової величини T, Що має показовий розподіл, математичне очікування є величина, обернена параметру, а середнє квадратичне відхилення дорівнює математичному очікуванню:

Розглядаючи Марківські процеси з дискретними станами та безперервним часом, мається на увазі, що всі переходи системи Sзі стану в стан відбуваються під дією найпростіших потоків подій (потоків викликів, потоків відмов, потоків відновлень тощо). Якщо всі потоки подій, що переводять систему Sзі стану в стан найпростіші, то процес, що протікає в системі, буде Марковським.

Отже, на систему, що перебуває у стані, діє найпростіший потік подій. Як тільки з'явиться перша подія цього потоку, відбувається «перескок» системи зі стану до стану (на графі станів за стрілкою).

Для наочності на графі станів системи у кожної дуги проставляють інтенсивності потоку подій, який переводить систему з цієї дузі (стрілці). - Інтенсивність потоку подій, що переводить систему зі стану в. Такий граф називається розміченим. Для нашого прикладу розмічений граф наведено на рис. 3.

Мал. 3. Розмічений граф станів системи

На цьому малюнку – інтенсивності потоку відмов; - Інтенсивності потоку відновлень.

Припускаємо, що середній час ремонту верстата не залежить від того, чи ремонтується один верстат або обидва одночасно. Тобто. ремонтом кожного верстата зайнятий окремий спеціаліст.

Нехай система перебуває в стані S 0 . У стан S 1 її переводить потік відмов першого верстата. Його інтенсивність дорівнює:

де – середній час безвідмовної роботи першого верстата.

Зі стану S 1 в S 0 систему переводить потік «закінчень ремонтів» першого верстата. Його інтенсивність дорівнює:

де – середній час ремонту першого верстата.

Аналогічно обчислюються інтенсивності потоків подій, що переводять систему за всіма дугами графа. Маючи у своєму розпорядженні розмічений граф станів системи, будується математична модельцього процесу.

Нехай система, що розглядається Sмає -можливих станів. Імовірність -го стану - це ймовірність того, що в момент часу система буде перебувати в стані. Очевидно, що для будь-якого моменту часу сума всіх ймовірностей станів дорівнює одиниці:

Для знаходження всіх ймовірностей станів як функцій часу складаються та вирішуються рівняння Колмогорова– особливого виду рівняння, у яких невідомими функціями є ймовірність станів. Правило складання цих рівнянь наведемо тут без доказів. Але перш, ніж його наводити, пояснимо поняття фінальної ймовірності стану .

Що відбуватиметься з ймовірностями станів при ? Чи прагнутимуть якихось меж? Якщо ці межі існують і не залежать від початкового стану системи, то вони називаються фінальними ймовірностями станів .

де – кінцеве число станів системи.

Фінальні ймовірності станів– це не змінні величини (функції часу), а постійні числа. Очевидно, що:

Фінальна ймовірність стану- Це по-суті середнє відносне час перебування системи в цьому стані.

Наприклад, система Sмає три стани S 1 , S 2 та S 3 . Їхні фінальні ймовірності рівні відповідно 0,2; 0,3 та 0,5. Це означає, що система у граничному стаціонарному стані в середньому 2/10 часу проводить у стані S 1 , 3/10 – у стані S 2 та 5/10 – у стані S 3 .

Правило складання системи рівнянь Колмогорова: у кожному рівнянні системи у лівій його частиністоїть фінальна ймовірність цього стану, помножена на сумарну інтенсивність всіх потоків, провідних із цього стану, а у правій його частини- Сума творів інтенсивностей всіх потоків, що входять до -е стан, На ймовірність тих станів, з яких ці потоки виходять.

Користуючись цим правилом, напишемо систему рівнянь для нашого прикладу :

.

Цю систему чотирьох рівнянь із чотирма невідомими, здавалося б, можна цілком вирішити. Але ці рівняння однорідні (не мають вільного члена), отже, визначають невідомі лише з точністю до довільного множника. Однак можна скористатися нормувальною умовою: та з його допомогою вирішити систему. При цьому одне (будь-яке) з рівнянь можна відкинути (воно випливає як наслідок з інших).

Продовження прикладу. Нехай значення інтенсивностей потоків дорівнюють: .

Четверте рівняння відкидаємо, додаючи замість нього нормувальну умову:

.

Тобто. у граничному, стаціонарному режимі система Sв середньому 40% часу проводитиме в стані S 0 (обидва верстати справні), 20% - у стані S 1 (перший верстат ремонтується, другий працює), 27% - у стані S 2 (другий верстат ремонтується, перший працює), 13% - у стані S 3 (обидва верстати ремонтуються). Знання цих фінальних ймовірностей може допомогти оцінити середню ефективність роботи системи та завантаження ремонтних органів.

Нехай система Sу стані S 0 (цілком справна) приносить в одиницю часу дохід 8 умовних одиниць, в стані S 1 – дохід 3 умовні одиниці, у стані S 2 – дохід 5 умовних одиниць, може S 3 – не дає доходу. Тоді в граничному, стаціонарному режимі середній дохід в одиницю часу дорівнюватиме: умовних одиниць.

Верстат 1 ремонтується частку часу, що дорівнює: . Верстат 2 ремонтується частку часу, що дорівнює: . Виникає завдання оптимізації. Нехай ми можемо зменшити середній час ремонту першого або другого верстата (або обох), але це обійдеться нам у певну суму. Постає питання, чи окупить збільшення доходу, пов'язане з прискоренням ремонту, підвищені витрати на ремонт? Потрібно буде вирішити систему чотирьох рівнянь із чотирма невідомими.

Приклади систем масового обслуговування: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, довідкові бюро, верстатні та інші технологічні системи, системи управління гнучких виробничих систем і т.д.

Кожна СМО складається з якоїсь кількості обслуговуючих одиниць, які називаються каналами обслуговування(це верстати, транспортні візки, роботи, лінії зв'язку, касири, продавці тощо). Будь-яка СМО призначена для обслуговування якогось потоку заявок(вимог), які у якісь випадкові моменти часу.

Обслуговування заявки триває якийсь, взагалі кажучи, випадковий час, після чого канал звільняється і готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок та часу обслуговування призводить до того, що в якісь періоди часу на вході СМО накопичується зайво велика кількість заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуженими). В інші періоди СМО працюватиме з недовантаженням або взагалі простоюватиме.

Процес роботи СМО – випадковий процес із дискретними станами та безперервним часом. Стан СМО змінюється стрибком у моменти появи якихось подій (приходу нової заявки, закінчення обслуговування, моменту, коли заявка, на яку набридло чекати, залишає чергу).

Предмет теорії масового обслуговування- Побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх продуктивність, правила роботи, характер потоку заявок) з цікавими для нас характеристиками - показниками ефективності СМО. Ці показники описують здатність СМО справлятися з потоком заявок. Ними можуть бути: середня кількість заявок, які обслуговуються СМО в одиницю часу; середня кількість зайнятих каналів; середня кількість заявок у черзі; середній час очікування на обслуговування і т.д.

Математичний аналіз роботи СМО дуже полегшується, якщо процес роботи Марковський, тобто. потоки подій, що переводять систему зі стану на стан – найпростіші. Інакше математичний опис процесу дуже ускладнюється та його рідко вдається довести до конкретних аналітичних залежностей. Насправді не Марківські процеси з наближенням наводяться до Марківським. Наведений далі математичний апарат визначає Марківські процеси.

Перший поділ (за наявності черг):

1. СМО з відмовами;

2. СМО з чергою.

У СМО з відмовамизаявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і надалі не обслуговується.

У СМО з чергоюзаявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає на можливість бути обслуженою.

СМО з чергами поділяютьсяна різні види залежно від того, як організовано чергу – обмежена або не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування, дисципліни обслуговування.

Отже, наприклад, розглядаються такі СМО:

· СМО з нетерплячими заявками (довжина черги та час обслуговування обмежений);

· СМО з обслуговуванням із пріоритетом, тобто. деякі заявки обслуговуються позачергово тощо.

Крім цього СМО діляться на відкриті СМО та замкнуті СМО.

У відкритій СМОПоказники потоку заявок не залежить від того, в якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутій СМО- Залежать. Наприклад, якщо один робітник обслуговує групу верстатів, іноді потребують налагодження, то інтенсивність потоку «вимог» з боку верстатів залежить від того, скільки на них вже справно і чекає налагодження.

Класифікація СМО далеко не обмежується наведеними різновидами, але цього достатньо.

Розглянемо найпростішу СМО з очікуванням - одноканальну систему (n - 1), в яку надходить потік заявок з інтенсивністю; інтенсивність обслуговування (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю (часу). Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування).

Система з обмеженою довжиною черги. Припустимо спочатку, кількість місць у черзі обмежена числом m, тобто. якщо заявка прийшла в момент, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона залишає систему не обслуженою. Надалі, спрямувавши m до нескінченності, ми отримаємо характеристики одноканальної СМО без обмежень довжини черги.

Нумеруватимемо стани СМО за кількістю заявок, що знаходяться в системі (як обслуговуються, так і тих, що очікують обслуговування):

Канал вільний;

Канал зайнятий, черги немає;

Канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі;

Канал зайнятий, k-1 заявок стоять у черзі;

Канал зайнятий, т-заявок стоять у черзі.

ГСП показано на рис. 4. Усі інтенсивності потоків подій, що переводять у систему за стрілками зліва направо, рівні , а справа наліво - . Дійсно, за стрілками зліва направо систему переводить потік заявок (як тільки прийде заявка, система переходить у наступний стан), справа ж ліворуч - потік «звільнень» зайнятого каналу, що має інтенсивність (як тільки буде обслуговано чергову заявку, канал або звільниться, або зменшиться кількість заявок у черзі).

Мал. 4. Одноканальна СМО з очікуванням

Зображена на рис. 4 схема являє собою схему розмноження та загибелі. Напишемо вирази для граничних ймовірностей станів:

(5)

або з використанням:

(6)

Останній рядок (6) містить геометричну прогресію з першим членом 1 і знаменником р, звідки отримуємо:

(7)

у зв'язку з чим граничні ймовірності набувають вигляду:

(8).

Вираз (7) справедливо лише за< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

Визначимо характеристики СМО: ймовірність відмови, відносну пропускну здатність q, абсолютну пропускну здатність А, середню довжину черги, середню кількість заявок, пов'язаних із системою, середній час очікування в черзі, середній час перебування заявки до СМО.

Ймовірність відмови. Очевидно, заявка отримує відмову тільки у випадку, коли канал зайнятий і все місце в черзі теж:

(9).

Відносна пропускна спроможність:

(10).

Середня довжина черги. Знайдемо середню кількість -заявок, що у черзі, як математичне очікування дискретної випадкової величини R-числа заявок, що у черги:

З ймовірністю в черзі стоїть одна заявка, з ймовірністю - дві заявки, взагалі з ймовірністю в черзі стоять k-1 заявок, і т.д., звідки:

(11).

Оскільки , суму (11) можна трактувати як похідну від суми геометричної прогресії:

Підставляючи цей вираз у (11) і використовуючи з (8), остаточно отримуємо:

(12).

Середня кількість заявок, що у системі. Отримаємо формулу для середнього числа -заявок, пов'язаних із системою (як стоять у черзі, так і що знаходяться на обслуговуванні). Оскільки , де - середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, а k відомо, то залишається визначити . Оскільки канал один, кількість заявок, що обслуговуються, може дорівнювати 0 (з ймовірністю ) або 1 (з ймовірністю 1 - ), звідки:

.

та середня кількість заявок, пов'язаних із СМО, дорівнює:

(13).

Середній час очікування заявки у черзі. Позначимо його; якщо заявка приходить в систему в якийсь момент часу, то з ймовірністю канал обслуговування не буде зайнятий, і їй не доведеться стояти в черзі (час очікування дорівнює нулю). З ймовірністю вона прийде в систему під час обслуговування якоїсь заявки, але перед нею не буде черги, і заявка чекатиме на початок свого обслуговування протягом часу (середній час обслуговування однієї заявки). З ймовірністю в черзі перед заявкою буде стояти ще одна, і час очікування в середньому буде дорівнює , і т.д.

Якщо ж k=m+1, тобто. коли заявка, що знову приходить, застає канал обслуговування зайнятим і m-заявок у черзі (ймовірність цього), то в цьому випадку заявка не стає в чергу (і не обслуговується), тому час очікування дорівнює нулю. Середній час очікування дорівнюватиме:

якщо підставити сюди вирази для ймовірностей (8), отримаємо:

(14).

Тут використані співвідношення (11), (12) (похідна геометричної прогресії), а також (8). Порівнюючи це вираз з (12), зауважуємо, що інакше кажучи, середній час очікування дорівнює середній кількості заявок у черзі, поділеному на інтенсивність потоку заявок.

(15).

Середній час перебування заявки у системі. Позначимо - маточіння випадкової величини - час перебування заявки в СМО, що складається із середнього часу очікування в черзі та середнього часу обслуговування. Якщо завантаження системи складає 100%, очевидно, в іншому випадку:

.

Приклад 1. Автозаправна станція (АЗС) є СМО з одним каналом обслуговування (одною колонкою).

Майданчик при станції допускає перебування у черзі на заправку трохи більше трьох машин одночасно (m = 3). Якщо в черзі вже три машини, чергова машина, яка прибула до станції, в чергу не стає. Потік машин, що прибувають для заправки, має інтенсивність = 1 (машина за хвилину). Процес заправки продовжується в середньому 1,25 хв.

Визначити:

ймовірність відмови;

відносну та абсолютну пропускну здатність АЗС;

середня кількість машин, що очікують заправки;

середня кількість машин, що знаходяться на АЗС (включаючи обслуговувану);

середній час очікування машини у черзі;

середній час перебування машини на АЗС (включно з обслуговуванням).

Інакше висловлюючись, середній час очікування дорівнює середньому числу заявок у черзі, поділеному інтенсивність потоку заявок.

Знаходимо спочатку наведену інтенсивність потоку заявок: = 1/1,25 = 0,8; = 1/0,8 = 1,25.

За формулами (8):

Імовірність відмови 0,297.

Відносна пропускна здатність СМО: q=1-=0,703.

Абсолютна пропускна здатність СМО: A==0,703 машини за хв.

Середню кількість машин у черзі знаходимо за формулою (12):

тобто. середня кількість машин, які чекають у черзі на заправку, дорівнює 1,56.

Додаючи до цієї величини середня кількість машин, що знаходяться під обслуговуванням:

отримуємо середню кількість машин, пов'язаних із АЗС.

Середній час очікування машини у черзі за формулою (15):

Додаючи до цієї величини, отримаємо середній час, який машина проводить на АЗС:

Системи із необмеженим очікуванням. У таких системах значення т не обмежена і, отже, основні характеристики можуть бути отримані шляхом граничного переходу раніше отриманих виразах (5), (6) і т.п.

Зауважимо, що при цьому знаменник в останній формулі (6) є сумою нескінченного числа членів геометричної прогресії. Ця сума сходиться, коли прогресія нескінченно спадна, тобто. при<1.

Може бути доведено, що<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Якщо, то співвідношення (8) набувають вигляду:

(16).

За відсутності обмежень за довжиною черги кожна заявка, яка прийшла в систему, буде обслуговується, тому q=1, .

Середню кількість заявок у черзі отримаємо з (12) при:

Середня кількість заявок у системі за формулою (13) при:

.

Середній час очікування отримаємо з формули (14) за:

.

Зрештою, середній час перебування заявки до СМО є:

Система з обмеженою довжиною черги. Розглянемо канальну СМО з очікуванням, яку надходить потік заявок з інтенсивністю ; інтенсивність обслуговування (для одного каналу); кількість місць у черзі.

Стан системи нумерується за кількістю заявок, пов'язаних системою:

немає черги:

Усі канали вільні;

Зайнятий один канал, інші вільні;

Зайняті-каналів, решта немає;

Зайняті всі каналів, вільних немає;

є черга:

Зайняті всі n-каналів; одна заявка стоїть у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок у черзі.

ДСП наведено на рис. 17. У кожної стрілки проставлено відповідні інтенсивності потоків подій. За стрілками зліва направо систему переводить завжди той самий потік заявок з інтенсивністю , по стрілках праворуч наліво систему переводить потік обслуговування, інтенсивність якого дорівнює , помноженому на кількість зайнятих каналів.

Мал. 17. Багатоканальна СМО з очікуванням

Граф типовий для процесів розмноження та загибелі, на яку рішення раніше отримано. Напишемо вирази для граничних ймовірностей станів, використовуючи позначення : (тут використовується вираз суми геометричної прогресії зі знаменником ).

Отже, всі ймовірності станів знайдено.

Визначимо показники ефективності системи.

Ймовірність відмови. Заявка, що надійшла, отримує відмову, якщо зайняті всі n-каналів і всі m-місць у черзі:

(18)

Відносна пропускна здатність доповнює можливість відмови до одиниці:

Абсолютна пропускна здатність СМО:

(19)

Середня кількість зайнятих каналів. Для СМО з відмовами воно збігалося із середнім числом заявок, що перебувають у системі. Для СМО з чергою середня кількість зайнятих каналів не збігається із середнім числом заявок, що у системі: остання величина відрізняється від першої на середнє число заявок, що у черзі.

Позначимо середню кількість зайнятих каналів. Кожен зайнятий канал обслуговує в середньому -заявок в одиницю часу, а СМО в цілому обслуговує в середньому А-заявок в одиницю часу. Розділивши одне на інше, отримаємо:

Середню кількість заявок у черзі можна обчислити безпосередньо як математичне очікування дискретної випадкової величини:

(20)

Тут знову (вираз у дужках) зустрічається похідна суми геометричної прогресії (див. вище (11), (12) - (14)), використовуючи співвідношення для неї, отримуємо:

Середня кількість заявок у системі:

Середній час очікування заявки у черзі. Розглянемо ряд ситуацій, що відрізняються тим, у якому стані застане систему знову прийшла заявка і скільки часу їй доведеться чекати на обслуговування.

Якщо заявка застане в повному обсязі канали зайнятими, їй взагалі доведеться чекати (відповідні члени в математичному очікуванні рівні нулю). Якщо заявка прийде в момент, коли зайняті всі n-каналів, а черги немає, їй доведеться чекати в середньому час, рівний (бо «потік звільнень»-каналів має інтенсивність). Якщо заявка застане всі канали зайнятими і одну заявку перед собою в черзі, їй доведеться в середньому чекати протягом часу (по кожну попереду заявку, що стоїть) і т. д. Якщо заявка застане в черзі -заявок, їй доведеться чекати в середньому протягом часу. Якщо заявка, що знову прийшла, застане в черзі вже m-заявок, то вона взагалі не чекатиме (але й не буде обслужена). Середній час очікування знайдемо, помножуючи кожне із цих значень на відповідні ймовірності:

(21)

Так само, як і у випадку одноканальної СМО з очікуванням, відзначимо, що цей вираз відрізняється від виразу для середньої довжини черги (20) лише множником , тобто.

.

Середній час перебування заявки в системі, як і для одноканальної СМО, відрізняється від середнього часу очікування на середній час обслуговування, помножений на відносну пропускну здатність:

.

Системи із необмеженою довжиною черги. Ми розглянули канальну СМО з очікуванням, коли в черзі одночасно можуть бути не більше m-заявок.

Також, як і раніше, при аналізі систем без обмежень необхідно розглянути отримані співвідношення при .

Імовірність станів отримаємо з формул граничним переходом (при ). Зауважимо, що сума відповідної геометричної прогресії сходить при і розходиться при >1. Припустивши, що<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(22)

Імовірність відмови, відносна та абсолютна пропускна спроможність. Оскільки кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, характеристики пропускної спроможності СМО складуть:

Середню кількість заявок у черзі отримаємо при (20):

,

а середній час очікування – з (21):

.

Середня кількість зайнятих каналів, як і раніше, визначається через абсолютну пропускну здатність:

.

Середня кількість заявок, пов'язаних із СМО, визначається як середня кількість заявок у черзі плюс середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням (середня кількість зайнятих каналів):

Приклад 2. Автозаправна станція із двома колонками (n = 2) обслуговує потік машин з інтенсивністю =0,8 (машин на хвилину). Середній час обслуговування однієї машини:

У даному районі немає іншої АЗС, тож черга машин перед АЗС може зростати практично необмежено. Знайти властивості СМО.

Оскільки<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

і т.д.

Середня кількість зайнятих каналів знайдемо, розділивши абсолютну пропускну здатність СМО А==0,8 на інтенсивність обслуговування =0,5:

Імовірність відсутності черги біля АЗС буде:

Середня кількість машин у черзі:

Середня кількість машин на АЗС:

Середній час очікування у черзі:

Середній час перебування машини на АЗС:

СМО з обмеженим часом очікування. Раніше розглядалися системи з очікуванням, обмеженим лише довжиною черги (числом m-заявок, що одночасно перебувають у черзі). У такій СМО заявка, що розростала в чергу, не залишає її, доки не дочекається обслуговування. Насправді зустрічаються СМО іншого типу, у яких заявка, почекавши деякий час, може піти з черги (так звані «нетерплячі» заявки).

Розглянемо СМО такого типу, припускаючи, що обмеження часу очікування є випадковою величиною.

Припустимо, що є n-канальна СМО з очікуванням, в якій кількість місць у черзі не обмежена, але час перебування заявки в черзі є деякою випадковою величиною із середнім значенням, таким чином, на кожну заявку, яка стоїть у черзі, діє свого роду пуасонівський. потік доглядів» з інтенсивністю:

Якщо цей пуасонівський потік, то процес, що протікає в СМО, буде марківським. Знайдемо йому ймовірності станів. Нумерація станів системи пов'язується з кількістю заявок у системі - як обслуговуваних, так і стоять у черзі:

немає черги:

Усі канали вільні;

Зайнятий один канал;

Зайнято два канали;

Зайняті всі n-каналів;

є черга:

Зайняті всі n-каналів, одна заявка стоїть у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок стоять у черзі тощо.

Граф станів та переходів системи показаний на рис. 23.

Мал. 23. СМО з обмеженим часом очікування

Розмітимо цей граф, як і раніше; у всіх стрілок, що ведуть зліва направо, стоятиме інтенсивність потоку заявок. Для станів без черги у стрілок, що ведуть з них справа наліво, буде, як і раніше, стояти сумарна інтенсивність потоку обслуговування всіх зайнятих каналів. Що стосується станів з чергою, то у стрілок, що ведуть з них справа наліво, стоятиме сумарна інтенсивність потоку обслуговування всіх n-каналів плюс відповідна інтенсивність потоку відходів з черги. Якщо у черзі стоять r-заявок, то сумарна інтенсивність потоку доглядів дорівнюватиме .

Як видно з графа, має місце схема розмноження та загибелі; застосовуючи загальні вирази для граничних ймовірностей станів у цій схемі (використовуючи скорочені позначення, запишемо:

(24)

Зазначимо деякі особливості СМО з обмеженим очікуванням порівняно з раніше розглянутими СМО з «терплячими» заявками.

Якщо довжина черги не обмежена і заявки «терплячі» (не йдуть з черги), то стаціонарний граничний режим існує лише у разі (при відповідній нескінченній геометричній прогресії розходиться, що фізично відповідає необмеженому зростанню черги при ).

Навпаки, в СМО з «нетерплячими» заявками, що йдуть рано чи пізно з черги, режим обслуговування, що встановився, досягається завжди, незалежно від наведеної інтенсивності потоку заявок . Це випливає з того, що ряд для знаменника формули (24) сходиться при будь-яких позитивних значеннях і .

Для СМО з «нетерплячими» заявками поняття «імовірність відмови» не має сенсу – кожна заявка стає в чергу, але може і не дочекатися обслуговування, пішовши раніше.

Відносна пропускна спроможність, середня кількість заявок у черзі. Відносну пропускну здатність q такий СМО можна підрахувати в такий спосіб. Очевидно, обслуговуватимуться всі заявки, окрім тих, які підуть із черги достроково. Підрахуємо, яка в середньому кількість заявок залишає чергу достроково. Для цього обчислимо середню кількість заявок у черзі:

На кожну з цих заявок діє «потік догляду» з інтенсивністю. Значить, із середнього числа -заявок у черзі в середньому йтиме, не дочекавшись обслуговування, -заявок в одиницю часу і всього в одиницю часу в середньому обслуговуватиметься -заявок. Відносна пропускна здатність СМО складатиме:

Середню кількість зайнятих каналів, як і раніше, отримуємо, ділячи абсолютну пропускну здатність А на :

(26)

Середня кількість заявок у черзі. Співвідношення (26) дозволяє обчислити середню кількість заявок у черзі, не підсумовуючи нескінченного ряду (25). З (26) отримуємо:

а середнє число зайнятих каналів, що входить у цю формулу, можна знайти як математичне очікування випадкової величини Z, що приймає значення 0, 1, 2,..., n з ймовірностями ,:

На закінчення зазначимо, що й у формулах (24) перейти до межі при (чи, що те, при ), то при вийдуть формули (22), т. е. «нетерплячі» заявки стануть «терплячими».

Досі ми розглядали системи, в яких вхідний потік ніяк не пов'язаний із тим, що виходить. Такі системи називаються розімкненими. У деяких випадках обслужені вимоги після затримки знову надходять на вхід. Такі СМО називаються замкнутими. Поліклініка, що обслуговує цю територію, бригада робітників, закріплена за групою верстатів, є прикладами замкнутих систем.

У замкнутій СМО циркулює одне й те саме кінцеве число потенційних вимог. Поки потенційна вимога не реалізувалася як вимога на обслуговування, вважається, що вона знаходиться у блоці затримки. У момент реалізації воно надходить у саму систему. Наприклад, робітники обслуговують групу верстатів. Кожен верстат є потенційною вимогою, перетворюючись на реальне на момент своєї поломки. Поки верстат працює, він знаходиться у блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у самій системі. Кожен робітник є каналом обслуговування.

Нехай n- Число каналів обслуговування, s- Число потенційних заявок, n <s , - Інтенсивність потоку заявок кожної потенційної вимоги, μ - Інтенсивність обслуговування:

Імовірність простою системи визначається формулою

Р 0 = .

Фінальні ймовірності станів системи:

P k= при k = при .

Через ці ймовірності виражається середня кількість зайнятих каналів

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s)або

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Через знаходимо абсолютну пропускну здатність системи:

а також середня кількість заявок у системі

М=s-=s-.

Приклад 1. На вхід триканальної СМО з відмовами надходить потік заявок з інтенсивністю =4 заявки за хвилину, час обслуговування заявки одним каналом tобсл =1/μ =0,5 хв. Чи вигідно з точки зору пропускної спроможності СМО змусити всі три канали обслуговувати заявки відразу, причому середній час обслуговування зменшується втричі? Як це позначиться на середньому часі перебування заявки до СМО?

Рішення.Знаходимо можливість простою триканальної СМО за формулою

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

Р 0 = = = 0,158.

Імовірність відмови визначаємо за формулою:

Р відк = Р n ==

Pвідк = 0,21.

Відносна пропускна спроможність системи:

Р обсл = 1-Р відк 1-0,21=0,79.

Абсолютна пропускна спроможність системи:

А = Р обсл 3,16.

Середня кількість зайнятих каналів визначаємо за формулою:

1,58, частка каналів, зайнятих обслуговуванням,

q = 0,53.

Середній час перебування заявки в СМО знаходимо як ймовірність того, що заявка приймається до обслуговування, помножену на середній час обслуговування: t СМО 0,395 хв.

Поєднуючи всі три канали в один, отримуємо одноканальну систему з параметрами μ= 6, ρ= 2/3. Для одноканальної системи ймовірність простою:

Р 0 = = =0,6,

ймовірність відмови:

Р відк = ρ Р 0 = = 0,4,

відносна пропускна здатність:

Р обсл = 1-Р відк =0,6,

абсолютна пропускна спроможність:

А = Робсл =2,4.

t СМО =Р обсл= = 0,1 хв.

В результаті об'єднання каналів в одну пропускну здатність системи знизилася, оскільки збільшилася ймовірність відмови. Середній час перебування заявки у системі зменшився.

Приклад 2. На вхід триканальної СМО з необмеженою чергою надходить потік заявок з інтенсивністю =4 заявки на годину, середній час обслуговування однієї заявки t=1/μ=0,5 год. Знайти показники ефективності роботи системи.

Для аналізованої системи n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

Р= .

P 0 = =1/9.

Середню кількість заявок у черзі знаходимо за формулою:

L =.

L = = .

Середній час очікування заявки у черзі вважаємо за формулою:

t= = 0,22 год.

Середній час перебування заявки у системі:

Т=t+ 0,22+0,5=0,72.

Приклад 3. У перукарні працюють 3 майстри, а в залі очікування розташовані 3 стільці. Потік клієнтів має інтенсивність = 12 клієнтів на годину. Середній час обслуговування tобсл = 20 хв. Визначити відносну та абсолютну пропускну спроможність системи, середню кількість зайнятих крісел, середню довжину черги, середній час, який клієнт проводить у перукарні.

Для цього завдання n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Імовірність простою визначаємо за формулою:

Р 0 =.

P 0 = 0,012.

Імовірність відмови в обслуговуванні визначаємо за формулою

Р відк = Р n + m = .

P відк =P n + m 0,307.

Відносна пропускну здатність системи, тобто. ймовірність обслуговування:

P обсл =1-P відк 1-0,307=0,693.

Абсолютна пропускна спроможність:

А = Р обсл 12 .

Середня кількість зайнятих каналів:

.

Середня довжина черги визначається за такою формулою:

L =

L= 1,56.

Середній час очікування обслуговування у черзі:

t= год.

Середня кількість заявок до СМО:

M=L + .

Середній час перебування заявки до СМО:

Т=М/ 0,36 год.

Приклад 4. Робочий обслуговує 4 верстати. Кожен верстат відмовляє з інтенсивністю =0,5 відмови у годину, середній час ремонту t рем=1/μ=0,8 год. Визначити пропускну спроможність системи.

Це завдання розглядає замкнуту СМО, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Імовірність простою робітника визначаємо за формулою:

Р 0 =.

P 0 = .

Імовірність зайнятості робітника Р зан = 1-Р 0 . А = ( 1-P 0 )μ =0,85μ верстатів на годину.

Завдання:

Два робітники обслуговують групу з чотирьох верстатів. Зупинки верстата, що працює, відбуваються в середньому через 30 хв. Середній час налагодження становить 15 хв. Час роботи та час налагодження розподілено за експоненційним законом.

Знайдіть середню частку вільного часу кожного робочого і середній час роботи верстата.

Знайдіть ті ж характеристики для системи, в якій:

а) за кожним робітником закріплено два верстати;

б) два робочі завжди обслуговують верстат разом, причому з подвійною інтенсивністю;

в) єдиний несправний верстат обслуговують обидва робітники відразу (з подвійною інтенсивністю), а при появі ще хоча б одного несправного верстата вони починають працювати порізно, причому кожен обслуговує один верстат (спочатку опишіть систему в термінах загибелі та народження).

Рішення:

Можливі такі стани системи S:

S 0 - Всі верстати справні;

S 1 – 1 верстат ремонтується, інші справні;

S 2 – 2 верстат ремонтується, інші справні;

S 3 – 3 верстат ремонтується, інші справні;

S 4 – 4 верстат ремонтується, інші справні;

S 5 - (1, 2) верстати ремонтуються, інші справні;

S 6 - (1, 3) верстати ремонтуються, інші справні;

S 7 – (1, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 8 – (2, 3) верстати ремонтуються, інші справні;

S 9 - (2, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 10 - (3, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 11 - (1, 2, 3) верстати ремонтуються, 4 верстат справний;

S 12 - (1, 2, 4) верстати ремонтуються, 3 верстат справний;

S 13 - (1, 3, 4) верстати ремонтуються, 2 верстат справний;

S 14 - (2, 3, 4) верстати ремонтуються, 1 верстат справний;

S 15 – усі верстати ремонтуються.

Граф станів системи.

Дана система S є прикладом замкнутої системи, тому що кожен верстат є потенційною вимогою, перетворюючись на реальне в момент своєї поломки. Поки верстат працює, він знаходиться у блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у системі. Кожен робітник є каналом обслуговування.

Якщо робітник зайнятий, він налагоджує μ-верстатів в одиницю часу, пропускна здатність системи:

Відповідь:

Середня частка вільного часу для кожного робітника - 0,09.

Середній час роботи верстата - 3,64.

а) За кожним робітником закріплено два верстати.

Імовірність простою робітника визначається за формулою:

Імовірність зайнятості робітника:

Якщо робітник зайнятий, він налагоджує μ-верстатів в одиницю часу, пропускна здатність системи:

Відповідь:

Середня частка вільного часу для кожного робітника - 0,62.

Середній час роботи верстата - 1,52.

б) Два робітники завжди обслуговують верстат разом, причому з подвійною інтенсивністю.

в) Єдиний несправний верстат обслуговують обидва робітники відразу (з подвійною інтенсивністю), а при появі ще хоча б одного несправного верстата вони починають працювати порізно, причому кожен обслуговує один верстат (спочатку опишіть систему в термінах загибелі та народження).

Порівняння 5 відповідей:

Найбільш ефективним способом організації робітників за верстатами буде початковий варіант завдання.

Вище було розглянуто приклади найпростіших систем масового обслуговування (СМО). Поняття "найпростіші" не означає "елементарні". Математичні моделі цих систем застосовні та успішно використовуються у практичних розрахунках.

Можливість застосування теорії прийняття рішень у системах масового обслуговування визначається такими факторами:

1. Кількість заявок у системі (яка розглядається як СМО) має бути досить великою (масово).

2. Усі заявки, що надходять на вхід СМО, мають бути однотипними.

3. Для розрахунків за формулами необхідно знати закони, що визначають надходження заявок та інтенсивність їх обробки. Більше того, потоки заявок мають бути Пуассонівськими.

4. Структура СМО, тобто. набір вимог, що надходять, і послідовність обробки заявки, повинна бути жорстко зафіксована.

5. Необхідно виключити із системи суб'єктів чи описувати їх як вимоги з постійною інтенсивністю обробки.

До перерахованих вище обмежень можна додати ще одне, що впливає на розмірність і складність математичної моделі.

6. Кількість пріоритетів, що використовуються, повинна бути мінімальною. Пріоритети заявок би мало бути постійними, тобто. вони можуть змінюватися у процесі обробки всередині СМО.

У ході виконання роботи було досягнуто основної мети – вивчено основний матеріал «СМО з обмеженим часом очікування» та «Замкнуті СМО», яка була поставлена ​​викладачем навчальної дисципліни. Також ми ознайомилися застосуванням отриманих знань практично, тобто. закріпили пройдений матеріал.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolution.

5) Фомін Г.П. Математичні методи та моделі у комерційній діяльності. М: Фінанси та статистика, 2001.

6) Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2001.

7) Рад Б.А., Яковлєв С.А. Моделювання систем. М: Вища школа, 1985.

8) Ліфшиц О.Л. Статистичне моделювання СМО. М., 1978.

9) Вентцель О.С. Дослідження операцій. М: Наука, 1980.

10) Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Теорія ймовірностей та її інженерні програми. М: Наука, 1988.

операції чи ефективності системи масового обслуговування є такі.

Для СМО з відмовами:

Для СМО з необмеженим очікуваннямяк абсолютна, так і відносна пропускна здібності втрачають сенс, так як кожна заявка, що надійшла, рано чи пізно буде обслужена. Для таких СМО важливими показниками є:

Для СМО змішаного типувикористовуються обидві групи показників: як відносна та абсолютна пропускна здатність, і характеристики очікування.

Залежно від мети операції масового обслуговування будь-який із наведених показників (або сукупність показників) може бути обраний як критерій ефективності.

Аналітичною моделлюСМО є сукупність рівнянь або формул, що дозволяють визначати ймовірності станів системи у процесі її функціонування та розраховувати показники ефективності за відомими характеристиками вхідного потоку та каналів обслуговування.

Загальної аналітичної моделі для довільної СМО немає. Аналітичні моделі розроблені для обмеженої кількості окремих випадків СМО. Аналітичні моделі, що більш-менш точно відображають реальні системи, як правило, складні та важкооглядні.

Аналітичне моделювання СМО суттєво полегшується, якщо процеси, що протікають у СМО, марківські (потоки найпростіших заявок, часи обслуговування розподілені експоненційно). У цьому випадку всі процеси в СМО можна описати звичайними диференціальними рівняннями, а в граничному випадку, для стаціонарних станів - лінійними рівняннями алгебри і, вирішивши їх, визначити обрані показники ефективності.

Розглянемо приклади деяких СМО.

2.5.1. Багатоканальна СМО з відмовами

Приклад 2.5. Три автоінспектори перевіряють дорожні листи у водіїв вантажних автомобілів. Якщо хоча б один інспектор вільний, вантажівку, що проїжджає, зупиняють. Якщо всі інспектори зайняті, вантажівка, не затримуючись, проїжджає повз. Потік вантажівок найпростіший, час перевірки випадковий з експонентним розподілом.

Таку ситуацію можна моделювати триканальним СМО з відмовами (без черги). Система розімкнена, з однорідними заявками, однофазна, з абсолютно надійними каналами.

Опис станів:

Усі інспектори вільні;

Зайнятий один інспектор;

Зайняті два інспектори;

Зайнято трьох інспекторів.

Граф станів системи наведено на рис. 2.11.

Мал. 2.11.

На графі: - Інтенсивність потоку вантажних автомобілів; - Інтенсивність перевірок документів одним автоінспектором.

Моделювання проводиться з метою визначення частини автомобілів, які не будуть перевірені.

Рішення

Шукана частина ймовірності – ймовірності зайнятості всіх трьох інспекторів. Оскільки граф станів представляє типову схему " загибелі та розмноження " , то знайдемо , використовуючи залежності (2.2).

Пропускну здатність цієї посади автоінспекторів можна характеризувати відносною пропускною здатністю:

Приклад 2.6. Для прийому та обробки донесень від розвідгрупи у розвідвідділі об'єднання призначено групу у складі трьох офіцерів. Очікувана інтенсивність потоку донесень - 15 донесень на годину. Середній час обробки одного повідомлення одним офіцером - . Кожен офіцер може приймати повідомлення від будь-якої розвідгрупи. Офіцер, що звільнився, обробляє останнє з донесень, що надійшли. Донесення, що надходять, повинні оброблятися з ймовірністю не менше 95%.

Визначити, чи достатньо призначеної групи із трьох офіцерів для виконання поставленого завдання.

Рішення

Група офіцерів працює як СМО з відмовами, що складається із трьох каналів.

Потік донесень з інтенсивністю можна вважати найпростішим, тому що він сумарний від кількох розвідгруп. Інтенсивність обслуговування . Закон розподілу невідомий, але це несуттєво, оскільки показано, що з систем з відмовими може бути довільним.

Опис станів та граф станів СМО будуть аналогічні наведеним у прикладі 2.5.

Оскільки граф станів - це схема "загибелі та розмноження", то для неї є готові вирази для граничних ймовірностей стану:

Ставлення називають наведеною інтенсивністю потоку заявок. Фізичний зміст її наступний: величина є середнім числом заявок, які приходять до СМО за середній час обслуговування однієї заявки.

У прикладі .

У аналізованої СМО відмова настає при зайнятості всіх трьох каналів, тобто . Тоді:

Бо ймовірність відмовиу обробці донесень становить понад 34 % (), необхідно збільшити особовий склад групи. Збільшимо склад групи вдвічі, тобто СМО матиме тепер шість каналів, і розрахуємо:

Таким чином, тільки група з шести офіцерів зможе обробляти донесення, що надходять, з ймовірністю 95 %.

2.5.2. Багатоканальна СМО з очікуванням

Приклад 2.7. На ділянці форсування річки є 15 однотипних переправних засобів. Потік надходження техніки на переправу в середньому становить 1 од./хв, середній час переправи однієї одиниці техніки – 10 хв (з урахуванням повернення назад переправного засобу).

Оцінити основні характеристики переправи, у тому числі ймовірність негайної переправи відразу після прибуття одиниці техніки.

Рішення

Абсолютна пропускна спроможність, тобто все, що підходить до переправи, відразу практично переправляється.

Середня кількість працюючих переправних засобів:

Коефіцієнти використання та простою переправи:

Для вирішення прикладу було також розроблено програму. Інтервали часу надходження техніки на переправу, час переправи прийнято розподіленими за експонентним законом.

Коефіцієнти використання переправи після 50 прогонів практично збігаються: .

Максимальна довжина черги 15 од., середній час перебування у черзі близько 10 хв.

Призначення сервісу СМО. Онлайн-калькулятор призначений для розрахунку наступних показників одноканальних СМО:

• можливість відмови каналу, можливість вільного каналу, абсолютна пропускна здатність;
• відносна пропускна здатність, середній час обслуговування, середній час простою каналу.

Інструкція. Щоб вирішити подібні завдання в режимі онлайн, виберіть модель СМО. Вкажіть інтенсивність потоку заявок λі інтенсивність потоку обслуговування μ. Для одноканальної СМО з обмеженою довжиною черги можна вказати довжину черги m, а для одноканальної СМО з необмеженою чергою - кількість заявок у черзі (для розрахунку ймовірності знаходження цих заявок у черзі). див. приклад рішення. . Отримане рішення зберігається у файлі Word.

Класифікація одноканальних систем масового обслуговування

Приклад №1. Авто заправна станція має однубензоколонку. Передбачається, що найпростіший потік автомашин надходить на станцію з інтенсивністю λ=11 автомашин/год. Час обслуговування заявки випадкова величина, яка підпорядковується експоненційному закону з параметром μ=14 автомашин/год. Визначити середню кількість машин на станції.

Приклад №2. Є пункт проведення профілактичного огляду машин із однією групою проведення огляду. На огляд та виявлення дефектів кожної машини витрачається в середньому 0,4 години. На огляд надходить у середньому 328 машин на добу. Потоки заявок та обслуговувань – найпростіші. Якщо машина, яка прибула до пункту огляду, не застає жодного каналу вільним, вона залишає пункт огляду необслуженою. Визначити граничні ймовірності станів та характеристики обслуговування пункту профілактичного огляду.
Рішення. Тут α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Ці дані необхідно ввести до калькулятора.

Насправді часто зустрічаються одноканальні СМО з чергою (лікар, обслуговуючий пацієнтів, процесор, виконує машинні команди). Тому необхідно розглянути одноканальні СМО з чергою докладніше.

Нехай є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладено жодних обмежень (ні за довжиною черги, ні за часом очікування). Цю СМО надходить потік заявок з інтенсивністю l; потік обслуговування має інтенсивність m, зворотну середньому часу обслуговування заявки t про. Потрібно знайти фінальні ймовірності станів СМО, а також характеристики її ефективності:

L СИСТ- Середня кількість заявок до систем;

W СИСТ– середній час перебування заявки у системі;

L ОЧ– середня кількість заявок у черзі;

W ОЧ– середній час перебування заявки у черзі;

P ЗАН- Імовірність того, що канал зайнятий (ступінь завантаження каналу).

Що стосується абсолютної пропускної спроможності A і відносної Q, то обчислювати їх немає необхідності: через те, що черга необмежена, кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, тому з тієї ж причини .

Рішення. Стан системи, як і раніше, будемо нумерувати за кількістю заявок, які перебувають у СМО:

- S 0 – канал вільний;

- S 1 – канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає;

- S 2 – канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі;

- S k – канал зайнятий, k-1заявок стоять у черзі.

Теоретично кількість станів нічим не обмежена (нескінченно). Формули для фінальних ймовірностей у схемі загибелі та розмноження виводилися тільки для випадку кінцевого числа станів, але зробимо припущення – скористаємося ними і для нескінченного стану. Тоді кількість доданків у формулі буде нескінченною. Отримаємо вираз для p о:

Ряд у формулі (17) є геометричною прогресією. Ми знаємо, що ряд сходиться – це нескінченно спадна прогресія зі знаменником r.При ряд розходиться (що є непрямим, хоч і не суворим доказом того, що фінальні ймовірності станів p о, p 1, …, p k,… Існують тільки при ). Тоді:

Знайдемо середню кількість заявок у СМО L СИСТ. Випадкова величина Z – кількість заявок у системі – має можливі значення 0, 1, 2, …, k, … з ймовірностями p о, p 1, …, p k,… Її математичне очікування одно:

Застосовуючи формулу Літтла (9), знайдемо середній час перебування заявки у системі:

Знайдемо середню кількість заявок у черзі. Будемо міркувати так: кількість заявок у черзі дорівнює кількості заявок у системі мінус кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням. Значить (за правилом складання математичних очікувань) середня кількість заявок у черзі L ОЧдорівнює середній кількості заявок у системі L СИСТмінус середня кількість заявок під обслуговуванням. Число заявок під обслуговуванням може бути або банкрутом (якщо канал вільний), або одиницею (якщо він зайнятий). Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює ймовірності того, що канал зайнятий P ЗАН. Очевидно, що:

Отже, середня кількість заявок під обслуговуванням дорівнює:

За формулою Літтла (9) знайдемо середній час перебування заявки у черзі.