Uy
Keling, kutish bilan bitta kanalli navbat tizimini ko'rib chiqaylik.
Biz xizmat ko'rsatish uchun kiruvchi so'rovlar oqimi l intensivligi bilan eng oddiy oqim deb faraz qilamiz.
Xizmat oqimining intensivligi m. Xizmat muddati eksponensial taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. Xizmat oqimi - bu hodisalarning eng oddiy Puasson oqimi. Kanal band boʻlganda olingan soʻrov navbatga qoʻyiladi va xizmat koʻrsatishni kutmoqda. Navbat hajmi cheklangan va undan ortig'ini sig'dira olmaydi deb taxmin qilamiz m ilovalar, ya'ni. CMO ga kelganda o'zini topgan dastur m +1 so'rovlar (m
navbatda kutish va biriga xizmat ko'rsatish) CMOni tark etadi.
(0‑1)
Ushbu tizimdagi jarayonni tavsiflovchi tenglamalar tizimi yechimga ega:
Birinchi ifodaning maxraji birinchi hadi 1 va maxraji r bo'lgan geometrik progressiya bo'lib, bu erdan olamiz. r da
(0‑8)
= 1 siz to'g'ridan-to'g'ri hisob-kitobga murojaat qilishingiz mumkin
Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni.
(0‑9)
Tizimdagi ilovalarning o'rtacha sonidan beriXizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni qayerda, keyin uni topish qoladi. Chunki faqat bitta kanal mavjud bo'lsa, xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni ehtimollar bilan 0 yoki 1 bo'lishi mumkin P 0 va P 1=1- P 0
(0‑10)
shunga ko'ra, qayerdan
(0‑11)
va tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni.
Navbatdagi ariza uchun oʻrtacha kutish vaqti
ya'ni navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti navbatdagi arizalarning o'rtacha sonining arizalar oqimining intensivligiga bo'linganiga teng.
Ilovaning tizimda qolish vaqti dasturning navbatda kutish vaqti va xizmat ko‘rsatish vaqtining yig‘indisidir. Agar tizim yuki 100% bo'lsa, =1/m, aks holda = q/m. Bu yerdan
(0‑13)
Ishning mazmuni.
Eksperimental asboblarni tayyorlash .
Umumiy qoidalarga muvofiq xuddi shunday amalga oshiriladi.
Analitik model yordamida hisoblash.
1. Microsoft Excel dasturida quyidagi jadvalni tayyorlang.
2. Jadvalning QS parametrlari ustunlariga qoida bo'yicha aniqlangan dastlabki ma'lumotlarni yozing:
m=1,2,3
(maksimal navbat uzunligi).
Har bir qiymat uchun Kanal band boʻlganda olingan soʻrov navbatga qoʻyiladi va xizmat koʻrsatishni kutmoqda. Navbat hajmi cheklangan va undan ortig'ini sig'dira olmaydi deb taxmin qilamiz quyidagi qiymatlar juftligi uchun QS ko'rsatkichlarining nazariy va eksperimental qiymatlarini topish kerak:
= <порядковый номер в списке группы>
3. Analitik model ko'rsatkichlari bilan ustunlarga tegishli formulalarni kiriting.
Simulyatsiya modeli bo'yicha tajriba.
1. Tegishli parametrning qiymatini 1 ga o'rnatib, eksponent ravishda taqsimlangan xizmat vaqti bilan ishga tushirish rejimini o'rnating.
2. Har bir kombinatsiya uchun Kanal band boʻlganda olingan soʻrov navbatga qoʻyiladi va xizmat koʻrsatishni kutmoqda. Navbat hajmi cheklangan va undan ortig'ini sig'dira olmaydi deb taxmin qilamiz , va modelni ishga tushiring.
3. Yugurish natijalarini jadvalga kiriting.
4. Jadvalning tegishli ustunlariga ko'rsatkichning o'rtacha qiymatini hisoblash uchun formulalarni kiriting P ochiq, q va A.
Natijalarni tahlil qilish .
1. Olingan natijalarni nazariy va eksperimental usullar bilan tahlil qilish, natijalarni bir-biri bilan solishtirish.
2. m=3 bo‘lganda, bog‘liqliklarni bitta diagrammaga chizing P ochiq nazariy va eksperimental ravishda olingan ma'lumotlardan.
QS parametrlarini optimallashtirish .
Navbatdagi joylar sonining hajmini optimallashtirish masalasini hal qiling Kanal band boʻlganda olingan soʻrov navbatga qoʻyiladi va xizmat koʻrsatishni kutmoqda. Navbat hajmi cheklangan va undan ortig'ini sig'dira olmaydi deb taxmin qilamiz o'rtacha xizmat muddati bo'lgan qurilma uchun = maksimal foyda olish nuqtai nazaridan. Muammoning shartlari sifatida quyidagilarni oling:
- 80 USD/soatga teng bitta arizaga xizmat ko'rsatishdan olingan daromad,
- bitta qurilmani saqlash narxi 1 kub/soatga teng.
1. Hisob-kitoblar uchun jadval yaratish tavsiya etiladi:
Birinchi ustun natural qatordagi raqamlarning qiymatlari bilan to'ldiriladi (1,2,3...).
Ikkinchi va uchinchi ustunlardagi barcha katakchalar va qiymatlar bilan to'ldiriladi.
0-bo'limdagi jadval ustunlari uchun formulalar to'rtinchidan to'qqizinchi ustunlar katakchalariga o'tkaziladi.
Daromad, Xarajat, Foyda bo'limlarining dastlabki ma'lumotlari bo'lgan ustunlarga qiymatlarni kiriting (yuqoriga qarang).
Daromad, Xarajat, Foyda bo'limlarining hisoblangan qiymatlari bo'lgan ustunlarga hisoblash formulalarini yozing:
- vaqt birligi uchun ilovalar soni
N r =A
- vaqt birligi uchun umumiy daromad
I S = I r *N r
- vaqt birligi uchun umumiy iste'mol
E S =E s + E q *(n-1)
- vaqt birligi uchun foyda
P = I S - E S
Qayerda
Ir - bitta arizadan olingan daromad,
E s - bitta qurilmaning ishlash qiymati,
Eq - navbatda turgan bir joyni ishlatish narxi.
P uchun grafiklar ochiq,
- Eng yaxshisini topish uchun ma'lumotlar bilan jadval m va m qiymati opt,
- vaqt birligiga nisbatan foyda grafigi m.
Xavfsizlik masalalari :
1) Bir kanalli cheklangan navbat QS modelining qisqacha tavsifini bering.
2) Qanday ko'rsatkichlar nosozliklar bilan bir kanalli QS ishlashini tavsiflaydi?
3) p ehtimolligi qanday hisoblanadi 0 ?
4) p ehtimolliklari qanday hisoblanadi men?
5) Ilovaga xizmat ko'rsatmaslik ehtimolini qanday topish mumkin?
6) Nisbiy tarmoqli kengligini qanday topish mumkin?
7) Mutlaq o'tkazuvchanlik nima?
8) Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni qanday hisoblanadi?
9) Cheklangan navbatga ega QS ga misollar keltiring.
Vazifalar.
1) Portda kemalarni tushirish uchun bitta yuk to'xtash joyi mavjud. Oqim tezligi kuniga 0,5 tashrif. Bir kema uchun o'rtacha tushirish vaqti 2 kun. Agar yuk tushirish uchun navbatda 3 ta kema bo'lsa, u holda kelgan kema tushirish uchun boshqa to'xtash joyiga yuboriladi. To'shakda ishlash ko'rsatkichlarini toping.
2) Temir yo'l vokzalining ma'lumot stoli soatiga 80 ta so'rov intensivligida telefon so'rovlarini qabul qiladi. Yordam xizmati operatori kiruvchi qo‘ng‘iroqqa o‘rtacha 0,7 daqiqada javob beradi. Agar operator band bo'lsa, mijoz "Javobni kuting" degan xabarni oladi, so'rov uzunligi 4 ta so'rovdan oshmaydi; Yordam stolining ishiga baho bering va uni qayta tashkil etish variantini bering
Rossiya Federatsiyasi Ta'lim federal agentligi
FGOU SPO "Perevozskiy qurilish kolleji"
Kurs ishi
“Matematik usullar” fanidan
mavzusida “Cheklangan kutish vaqti bilan SMO. Yopiq QS"
Kirish................................................................. ....... ................................................. ............. ....... 2
1. Navbat nazariyasi asoslari...................................... ...... ...... 3
1.1 Tasodifiy jarayon tushunchasi...................................... ......... ................... 3
1.2 Markov tasodifiy jarayon................................................. ...... ................ 4
1.3 Voqea oqimlari ................................................ ................................................................ ............. 6
1.4 Holat ehtimollari uchun Kolmogorov tenglamalari. Shtatlarning yakuniy ehtimoli................................................. .... ................................................. ............ ........ 9
1.5 Navbat nazariyasi muammolari...................................... ....... .. 13
1.6 Navbat tizimlarining tasnifi...................................... ..... 15
2. Kutish bilan navbatga turish tizimlari...................................... ...... 16
2.1 Kutish bilan bir kanalli QS................................................. ......... ......... 16
2.2 Kutish bilan ko'p kanalli QS...................................... ......... ......... 25
3. Yopiq QS................................................. ...... ................................................... ... 37
Muammoning yechimi.............................................. ..... ................................................... 45
Xulosa................................................. ................................................................ ...... .50
Adabiyotlar................................................. ....... ................................. 51
Ushbu kursda biz turli navbat tizimlari (QS) va navbat tarmoqlarini (Queuing) ko'rib chiqamiz.
Navbat tizimi (QS) deganda tizim resurslaridagi cheklovlar ostida so'rovlar oqimiga (xizmat talablari) samarali xizmat ko'rsatish uchun mo'ljallangan dinamik tizim tushuniladi.
QS modellari zamonaviy hisoblash tizimlarining alohida quyi tizimlarini tavsiflash uchun qulaydir, masalan, protsessor quyi tizimi - asosiy xotira, kirish-chiqish kanali va boshqalar. Hisoblash tizimi umuman olganda o'zaro bog'langan quyi tizimlar yig'indisi bo'lib, ularning o'zaro ta'siri ehtimollikdir. Hisoblash tizimiga kirishda ma'lum bir muammoni hal qilish uchun dastur hisoblash, tashqi xotira qurilmalari va kiritish-chiqarish qurilmalariga kirish bosqichlaridan o'tadi. Bunday bosqichlarning ma'lum bir ketma-ketligi bajarilgandan so'ng, ularning soni va davomiyligi dasturning murakkabligiga bog'liq bo'lib, so'rov xizmat ko'rsatilgan deb hisoblanadi va kompyuter tizimini tark etadi. Shunday qilib, bir butun sifatida hisoblash tizimi QS to'plami bilan ifodalanishi mumkin, ularning har biri alohida qurilma yoki tizimning bir qismi bo'lgan shunga o'xshash qurilmalar guruhining ishlash jarayonini aks ettiradi.
O'zaro bog'langan QSlar to'plami navbat tarmog'i (stokastik tarmoq) deb ataladi.
Boshlash uchun biz QS nazariyasi asoslarini ko'rib chiqamiz, keyin biz kutish va yopiq QS bilan QS bilan batafsil tarkib bilan tanishishga o'tamiz. Kurs amaliy qismni ham o'z ichiga oladi, unda biz nazariyani amaliyotda qanday qo'llashni batafsil o'rganamiz.
Navbat nazariyasi ehtimollar nazariyasining bo'limlaridan biridir. Bu nazariya ko'rib chiqadi ehtimolli muammolar va matematik modellar (bundan oldin biz deterministik matematik modellarni ko'rib chiqdik). Eslatib o‘tamiz:
Deterministik matematik model nuqtai nazardan ob'ekt (tizim, jarayon) xatti-harakatlarini aks ettiradi to'liq ishonch hozirgi va kelajakda.
Ehtimoliy matematik model ob'ekt (tizim, jarayon) xatti-harakatiga tasodifiy omillarning ta'sirini hisobga oladi va shuning uchun kelajakni ma'lum hodisalarning ehtimoli nuqtai nazaridan baholaydi.
Bular. Bu erda, masalan, o'yin nazariyasi muammolari ko'rib chiqiladi sharoitlarda noaniqlik .
Muammoga kiritilgan noaniq omillar tasodifiy o'zgaruvchilar (yoki tasodifiy funktsiyalar) bo'lsa, birinchi navbatda "stokastik noaniqlik" ni tavsiflovchi ba'zi tushunchalarni ko'rib chiqaylik, ularning ehtimollik xususiyatlari ma'lum yoki tajribadan olinishi mumkin. Bunday noaniqlik "qulay", "yaxshi" deb ham ataladi.
To'g'ri aytganda, tasodifiy buzilishlar har qanday jarayonga xosdir. "Tasodifiy bo'lmagan" jarayonga qaraganda tasodifiy jarayonga misollar keltirish osonroq. Hatto, masalan, soatni ishlatish jarayoni (bu qat'iy kalibrlangan ish - "soat kabi ishlaydi") tasodifiy o'zgarishlarga duchor bo'ladi (oldinga siljish, orqada qolish, to'xtash). Ammo bu buzilishlar ahamiyatsiz va bizni qiziqtiradigan parametrlarga kam ta'sir qilar ekan, biz ularni e'tiborsiz qoldirib, jarayonni deterministik, tasodifiy bo'lmagan deb hisoblashimiz mumkin.
Qandaydir tizim bo'lsin S(texnik qurilma, bunday qurilmalar guruhi, texnologik tizim - mashina, uchastka, ustaxona, korxona, sanoat va boshqalar). Tizimda S oqadi tasodifiy jarayon, agar u vaqt o'tishi bilan o'z holatini o'zgartirsa (bir holatdan ikkinchisiga o'tsa), bundan tashqari, oldindan noma'lum tasodifiy tarzda.
Misollar:
1. Tizim S– texnologik tizim (mashina uchastkasi). Mashinalar vaqti-vaqti bilan buziladi va ta'mirlanadi. Ushbu tizimda sodir bo'ladigan jarayon tasodifiydir.
2. Tizim S- ma'lum bir marshrut bo'ylab ma'lum balandlikda uchadigan samolyot. Bezovta qiluvchi omillar - ob-havo sharoiti, ekipajning xatolari va boshqalar, oqibatlar - chayqalishlar, parvozlar jadvalini buzish va boshqalar.
Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon deyiladi Markovskiy, agar har qanday vaqt uchun t Kelajakdagi jarayonning 0 ehtimollik xarakteristikalari faqat uning hozirgi holatiga bog'liq t 0 va tizim bu holatga qachon va qanday erishganiga bog'liq emas.
Tizim t 0 momentida ma'lum bir holatda bo'lsin S 0 . Biz tizimning hozirgi holatining xususiyatlarini va uning davomida sodir bo'lgan hamma narsani bilamiz t <t 0 (jarayon tarixi). Kelajakni bashorat qilish (bashorat qilish) mumkinmi, ya'ni. qachon nima bo'ladi t >t 0 ? Aniq emas, lekin kelajakda jarayonning ba'zi ehtimollik xususiyatlarini topish mumkin. Masalan, bir muncha vaqt o'tgach, tizim paydo bo'lishi ehtimoli S qodir bo'ladi S 1 yoki holatda qoladi S 0 va boshqalar.
Misol. Tizim S- havo janglarida qatnashuvchi samolyotlar guruhi. Mayli x- "qizil" samolyotlar soni, y- "ko'k" samolyotlar soni. Vaqtiga qadar t 0 omon qolgan (urib tushirilmagan) samolyotlar soni, mos ravishda - x 0 , y 0 . Bizni bir lahzada son jihatdan ustunlik “qizillar” tomonida bo'lishi ehtimoli qiziqtirmoqda. Bu ehtimollik o'sha paytda tizim qanday holatda bo'lganiga bog'liq t 0, va qachon va qanday ketma-ketlikda urib tushirilganlar hozirgacha vafot etgan t 0 samolyot.
Amalda, sof shaklda Markov jarayonlari odatda uchramaydi. Ammo "tarixdan oldingi" ta'sirini e'tiborsiz qoldiradigan jarayonlar mavjud. Va bunday jarayonlarni o'rganishda Markov modellaridan foydalanish mumkin (navbat nazariyasi Markov navbat tizimlarini hisobga olmaydi, lekin ularni tavsiflovchi matematik apparat ancha murakkab).
Operatsion tadqiqotlarda diskret holatlar va uzluksiz vaqtli Markov tasodifiy jarayonlari katta ahamiyatga ega.
Jarayon deyiladi diskret holat jarayoni, agar uning mumkin bo'lgan holatlari bo'lsa S 1 , S 2, ... oldindan aniqlanishi mumkin va tizimning holatdan holatga o'tishi deyarli bir zumda "sakrashda" sodir bo'ladi.
Jarayon deyiladi doimiy vaqt jarayoni, agar vaziyatdan holatga mumkin bo'lgan o'tish momentlari oldindan belgilanmagan bo'lsa, lekin noaniq, tasodifiy bo'lsa va har qanday vaqtda sodir bo'lishi mumkin.
Misol. Texnologik tizim (bo'lim) S ikkita mashinadan iborat bo'lib, ularning har biri tasodifiy bir vaqtda muvaffaqiyatsiz bo'lishi (ishlamay qolishi) mumkin, shundan so'ng qurilmani ta'mirlash darhol boshlanadi, bu ham noma'lum, tasodifiy vaqt davomida davom etadi. Quyidagi tizim holatlari mumkin:
S 0 - ikkala mashina ham ishlayapti;
S 1 - birinchi mashina ta'mirlanmoqda, ikkinchisi ishlamoqda;
S 2 - ikkinchi mashina ta'mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti;
S 3 - ikkala mashina ham ta'mirlanmoqda.
Tizim o'tishlari S davlatdan holatga deyarli bir zumda, ma'lum bir mashina ishlamay qolgan yoki ta'mirlash tugallangan tasodifiy daqiqalarda sodir bo'ladi.
Diskret holatlar bilan tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishda geometrik sxemadan foydalanish qulay - davlat grafigi. Grafikning uchlari tizimning holatidir. Grafik yoylari holatdan holatga o'tish mumkin. Bizning misolimiz uchun holat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.
Guruch. 1. Tizim holati grafigi
Eslatma. Davlatdan o'tish S 0 dyuym S 3 rasmda ko'rsatilmagan, chunki mashinalar bir-biridan mustaqil ravishda ishdan chiqadi deb taxmin qilinadi. Biz ikkala mashinaning bir vaqtning o'zida ishlamay qolishi ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz.
Voqealar oqimi- vaqtning tasodifiy daqiqalarida birin-ketin ketayotgan bir hil hodisalar ketma-ketligi.
Oldingi misolda, bu muvaffaqiyatsizliklar oqimi va qayta tiklash oqimi. Boshqa misollar: telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar oqimi, do'kondagi mijozlar oqimi va boshqalar.
Voqealar oqimi vizual tarzda vaqt o'qi bo'yicha bir qator nuqtalar bilan ifodalanishi mumkin O t- guruch. 2.
Guruch. 2. Vaqt o'qi bo'yicha voqealar oqimining tasviri
Har bir nuqtaning joylashuvi tasodifiy va bu erda oqimning faqat bitta amalga oshirilishi tasvirlangan.
Hodisa oqimining intensivligi ( ) vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni.
Keling, voqea oqimlarining ba'zi xususiyatlarini (turlarini) ko'rib chiqaylik.
Voqealar oqimi deyiladi statsionar, agar uning ehtimollik xususiyatlari vaqtga bog'liq bo'lmasa.
Xususan, statsionar oqimning intensivligi doimiydir. Hodisalar oqimi muqarrar ravishda kondensatsiyalar yoki siyraklanishlarga ega, lekin ular muntazam xarakterga ega emas va vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni doimiy bo'lib, vaqtga bog'liq emas.
Voqealar oqimi deyiladi oqibatlarsiz oqim, agar har qanday ikkita bir-birining ustiga tushmaydigan vaqt kesimi uchun va (2-rasmga qarang) ulardan biriga tushadigan hodisalar soni boshqasiga qancha hodisa tushishiga bog'liq bo'lmasa. Boshqacha qilib aytganda, bu oqimni tashkil etuvchi hodisalar vaqtning ma'lum bir nuqtalarida paydo bo'lishini anglatadi bir-biridan mustaqil va ularning har biri o'ziga xos sabablarga ko'ra yuzaga keladi.
Voqealar oqimi deyiladi oddiy, agar voqealar bir vaqtning o'zida bir nechta guruhlarda emas, balki birma-bir paydo bo'lsa.
Voqealar oqimi deyiladi eng oddiy (yoki statsionar Puasson), agar u bir vaqtning o'zida uchta xususiyatga ega bo'lsa:
1) statsionar;
2) oddiy;
3) hech qanday oqibatlarga olib kelmaydi.
Eng oddiy oqim eng oddiy matematik tavsifga ega. Oddiy taqsimot qonuni boshqa taqsimot qonunlari orasida qanday rol o'ynasa, u oqimlar orasida alohida rol o'ynaydi. Ya'ni, etarlicha ko'p miqdordagi mustaqil, statsionar va oddiy oqimlarni (intensivlik bo'yicha bir-biri bilan taqqoslanadigan) birlashtirganda, eng oddiyga yaqin oqim olinadi.
Intensivlik oralig'i bilan eng oddiy oqim uchun T qo'shni voqealar o'rtasida bir atalmish bor eksponensial taqsimot zichligi bilan:
ko'rsatkich qonunining parametri qayerda.
Tasodifiy o'zgaruvchi uchun T, eksponensial taqsimotga ega bo'lsa, matematik kutish parametrning o'zaro nisbati va standart og'ish matematik kutishga teng:
Diskret holatlar va uzluksiz vaqtli Markov jarayonlarini hisobga olgan holda, tizimning barcha o'tishlari taxmin qilinadi. S holatlardan holatga oddiy hodisalar oqimlari (chaqiriq oqimlari, nosozliklar oqimi, tiklash oqimlari va boshqalar) ta'sirida sodir bo'ladi. Agar barcha hodisa oqimlari tizimni uzatsa S holatdan eng oddiy holatga o'tsa, tizimda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi.
Shunday qilib, holatdagi tizimga oddiy hodisalar oqimi ta'sir qiladi. Ushbu oqimning birinchi hodisasi paydo bo'lishi bilanoq, tizim bir holatdan holatga "sakrab o'tadi" (o'q bo'ylab holat grafigida).
Aniqlik uchun tizim holati grafigida har bir yoy uchun tizimni shu yoy (o'q) bo'ylab harakatlantiruvchi hodisalar oqimining intensivligi ko'rsatilgan. - tizimni holatdan holatga o'tkazuvchi hodisalar oqimining intensivligi. Bunday grafik deyiladi belgilangan. Bizning misolimiz uchun etiketli grafik rasmda ko'rsatilgan. 3.
Guruch. 3. Belgilangan tizim holati grafigi
Ushbu rasmda - buzilish oqimining intensivligi; - tiklanish oqimining intensivligi.
Mashinani ta'mirlashning o'rtacha vaqti bitta mashina yoki ikkalasini bir vaqtning o'zida ta'mirlanishiga bog'liq emas deb hisoblaymiz. Bular. Har bir mashina alohida mutaxassis tomonidan ta'mirlanadi.
Tizim holatida bo'lsin S 0 . Davlatda S 1 birinchi mashinaning nosozliklari oqimi bilan tarjima qilingan. Uning intensivligi quyidagilarga teng:
birinchi mashinaning o'rtacha ishlamay qolgan vaqti qaerda.
Davlatdan S 1 dyuym S 0 tizim birinchi mashinaning "ta'mirlash tugallanishi" oqimi bilan uzatiladi. Uning intensivligi quyidagilarga teng:
birinchi mashina uchun o'rtacha ta'mirlash vaqti qayerda.
Tizimni grafikning barcha yoylari bo'ylab o'tkazadigan hodisa oqimlarining intensivligi xuddi shunday tarzda hisoblanadi. Bizning ixtiyorimizda tizim holatining yorliqli grafigi mavjud bo'lib, biz tuzamiz matematik model bu jarayondan.
Ko'rib chiqilayotgan tizimga ruxsat bering S-mumkin bo'lgan holatlar mavjud. th holatning ehtimoli - vaqtning momentida tizimning holatda bo'lish ehtimoli. Ko'rinib turibdiki, har qanday lahza uchun barcha holat ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
Vaqt funktsiyalari sifatida holatlarning barcha ehtimolini topish uchun tuzing va yeching Kolmogorov tenglamalari- noma'lum funktsiyalar holatlar ehtimoli bo'lgan tenglamaning maxsus turi. Bu tenglamalarni tuzish qoidasi bu yerda isbotsiz keltirilgan. Ammo uni tanishtirishdan oldin, keling, tushunchani tushuntirib beraylik holatning yakuniy ehtimoli .
Davlat ehtimoli bilan nima sodir bo'ladi? Ular qandaydir chegaralarga intiladilarmi? Agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va tizimning dastlabki holatiga bog'liq bo'lmasa, ular chaqiriladi yakuniy holat ehtimoli .
sistema holatlarining chekli soni bu yerda.
Yakuniy holat ehtimoli– bular endi o‘zgaruvchan miqdorlar (vaqt funksiyalari) emas, balki doimiy sonlardir. Ko'rinib turibdiki:
Yakuniy holat ehtimoli bu tizimning bu holatda qoladigan o'rtacha nisbiy vaqtidir.
Masalan, tizim S uchta davlatga ega S 1 , S 2 va S 3. Ularning yakuniy ehtimollari mos ravishda 0,2; 0,3 va 0,5. Demak, cheklovchi statsionar holatdagi tizim o‘z vaqtining o‘rtacha 2/10 qismini shtatda o‘tkazadi S 1, 3/10 - qodir S 2 va 5/10 - mumkin S 3 .
Kolmogorov tenglamalar tizimini tuzish qoidasi: tizimning har bir tenglamasida chap tomonda- ma'lum bir holatning yakuniy ehtimoli, barcha oqimlarning umumiy intensivligiga ko'paytiriladi, bu davlatdan olib boradi, A uning o'ng tomonida qismlar- barcha oqimlarning intensivlik mahsulotlari yig'indisi; kiritilgan - davlat, bu oqimlar kelgan shtatlarning ehtimollari bo'yicha.
Ushbu qoidadan foydalanib, biz tenglamalar tizimini yozamiz bizning misolimiz uchun :
.
To'rtta noma'lum to'rtta tenglamadan iborat bu tizim to'liq echilishi mumkin. Ammo bu tenglamalar bir hil (ular erkin atamaga ega emas) va shuning uchun ular noma'lumlarni faqat ixtiyoriy omilgacha aniqlaydilar. Biroq, siz normalizatsiya shartidan foydalanishingiz mumkin: 
va tizimni hal qilish uchun foydalaning. Bunday holda, tenglamalardan biri (har qanday) bekor qilinishi mumkin (boshqalarning natijasi sifatida).
Misolning davomi. Oqim intensivliklari teng bo'lsin: .
Biz to'rtinchi tenglamani bekor qilamiz va o'rniga normalizatsiya shartini qo'shamiz:
.
Bular. cheklovchi, statsionar rejimda tizim S o'rtacha 40% vaqt bir holatda o'tadi S 0 (har ikkala mashina ham ishlaydi), 20% - yaxshi holatda S 1 (birinchi mashina ta'mirlanmoqda, ikkinchisi ishlayapti), 27% - holatda S 2 (ikkinchi mashina ta'mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti), 13% - holatda S 3 (har ikkala mashina ham ta'mirlanmoqda). Ushbu yakuniy ehtimolliklarni bilish tizimning o'rtacha samaradorligini va ta'mirlash organlarining ish yukini baholashga yordam beradi.
Tizimga ruxsat bering S qodir S 0 (to'liq ishlaydigan) vaqt birligi uchun 8 an'anaviy birlik daromad keltiradi, qodir S 1 – daromad 3 shartli birlik, qodir S 2 – daromad 5 shartli birlik, qodir S 3 - daromad keltirmaydi. Keyin, cheklovchi, statsionar rejimda, vaqt birligi uchun o'rtacha daromad teng bo'ladi: an'anaviy birliklar.
1-mashina quyidagiga teng vaqtning bir qismida ta'mirlanadi: . 2-mashina quyidagiga teng vaqtning bir qismida ta'mirlanadi: . Turadi optimallashtirish muammosi. Garchi biz birinchi yoki ikkinchi mashinani (yoki ikkalasini) o'rtacha ta'mirlash vaqtini qisqartirishimiz mumkin bo'lsa-da, bu bizga ma'lum miqdorda xarajat qiladi. Savol shundaki, tezroq ta'mirlash bilan bog'liq oshgan daromad ta'mirlash xarajatlarini to'laydimi? Siz to'rtta noma'lumli to'rtta tenglama tizimini echishingiz kerak bo'ladi.
Navbat tizimlariga (QS) misollar: telefon stantsiyalari, ta'mirlash ustaxonalari, chiptalar, ma'lumot stollari, stanoklar va boshqa texnologik tizimlar, moslashuvchan ishlab chiqarish tizimlarini boshqarish tizimlari va boshqalar.
Har bir QS ma'lum miqdordagi xizmat ko'rsatish birliklaridan iborat bo'lib, ular chaqiriladi xizmat ko'rsatish kanallari(bu mashinalar, transport aravalari, robotlar, aloqa liniyalari, kassirlar, sotuvchilar va boshqalar). Har bir QS qandaydir xizmat ko'rsatish uchun mo'ljallangan ilovalar oqimi(talablar) vaqtning ba'zi tasodifiy daqiqalarida kelishi.
So'rovga xizmat ko'rsatish bir muncha vaqt, umuman olganda, tasodifiy vaqt davom etadi, shundan so'ng kanal bo'shatiladi va keyingi so'rovni qabul qilishga tayyor. Ilovalar oqimining tasodifiy tabiati va xizmat ko'rsatish vaqti ba'zi vaqtlarda QS kirishida haddan tashqari ko'p sonli ilovalar to'planishiga olib keladi (ular navbatga turishadi yoki QSni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradilar). Boshqa davrlarda tizim kam yuk bilan ishlaydi yoki butunlay bo'sh qoladi.
QS operatsiya jarayoni diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega tasodifiy jarayondir. QS holati ma'lum hodisalar ro'y berganda keskin o'zgaradi (yangi ilovaning kelishi, xizmat ko'rsatishning tugashi, kutishdan charchagan dastur navbatni tark etishi).
Navbat nazariyasi predmeti– QS ning berilgan ish sharoitlarini (kanallar soni, ularning unumdorligi, ishlash qoidalari, so‘rovlar oqimining tabiati) bizni qiziqtirgan xususiyatlar bilan bog‘lovchi matematik modellarni qurish – QS samaradorligi ko‘rsatkichlari. Ushbu ko'rsatkichlar CMO ning ilovalar oqimi bilan kurashish qobiliyatini tavsiflaydi. Ular quyidagilar bo'lishi mumkin: vaqt birligida QS tomonidan xizmat ko'rsatadigan ilovalarning o'rtacha soni; band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni; navbatdagi arizalarning o'rtacha soni; xizmat uchun o'rtacha kutish vaqti va boshqalar.
QS ishining matematik tahlili, agar bu ishning jarayoni Markovian bo'lsa, juda osonlashadi, ya'ni. tizimni shtatdan davlatga o'tkazadigan hodisalar oqimlari eng oddiy. Aks holda, jarayonning matematik tavsifi juda murakkablashadi va uni aniq analitik bog'liqliklarga olib kelish juda kamdan-kam hollarda bo'ladi. Amalda Markov bo'lmagan jarayonlar yaqinlashish bilan Markov jarayonlariga qisqartiriladi. Quyidagi matematik apparat Markov jarayonlarini tavsiflaydi.
Birinchi bo'lim (navbat mavjudligiga qarab):
1. Nosozliklar bilan QS;
2. Navbat bilan navbat.
QSda muvaffaqiyatsizliklar bilan barcha kanallar band bo'lgan vaqtda qabul qilingan ariza rad etiladi, QSni tark etadi va kelajakda xizmat ko'rsatilmaydi.
Navbat bilan SMOda barcha kanallar band bo'lgan vaqtda kelgan dastur ketmaydi, balki navbatda turadi va xizmat ko'rsatish imkoniyatini kutadi.
Navbatlar bilan QS qismlarga bo'linadi navbat qanday tashkil etilganiga qarab har xil turlarga bo'linadi - cheklangan yoki cheksiz. Cheklovlar ham navbatning uzunligi, ham kutish vaqti, "xizmat intizomi" bilan bog'liq bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, masalan, quyidagi QSlar ko'rib chiqiladi:
· Sabrsiz so'rovlar bilan CMO (navbat uzunligi va xizmat ko'rsatish muddati cheklangan);
· QS ustuvor xizmat bilan, ya'ni. ba'zi ilovalar navbatsiz qayta ishlanadi va hokazo.
Bundan tashqari, QS ochiq QS va yopiq QS larga bo'linadi.
Ochiq QSda so'rovlar oqimining xususiyatlari QS ning o'zi holatiga bog'liq emas (qancha kanallar band). Yopiq QSda- bog'liq. Misol uchun, agar bitta ishchi vaqti-vaqti bilan sozlashni talab qiladigan mashinalar guruhiga xizmat ko'rsatsa, u holda mashinalardan "talablar" oqimining intensivligi ularning qanchasi allaqachon ishlayotganiga va sozlashni kutayotganiga bog'liq.
SMO tasnifi yuqoridagi navlar bilan cheklanishdan uzoqdir, ammo bu etarli.
Keling, kutish bilan eng oddiy QSni ko'rib chiqaylik - intensivlik bilan so'rovlar oqimini qabul qiladigan yagona kanalli tizim (n - 1); xizmat intensivligi (ya'ni, o'rtacha uzluksiz band bo'lgan kanal har bir birlik (vaqt) uchun xizmat ko'rsatilgan so'rovlarni chiqaradi). Kanal band bo'lgan vaqtda olingan so'rov navbatga qo'yilgan va xizmatni kutmoqda.
Cheklangan navbat uzunligiga ega tizim. Keling, birinchi navbatda, navbatdagi joylar soni m soni bilan cheklangan deb hisoblaylik, ya'ni. agar ariza navbatda m-ilovalar mavjud bo'lgan vaqtda kelsa, u tizimni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradi. Kelajakda m ni cheksizlikka yo'naltirish orqali biz navbat uzunligi bo'yicha cheklovlarsiz bir kanalli QS xarakteristikalarini olamiz.
Biz QS holatini tizimdagi ilovalar soniga qarab raqamlaymiz (xizmat ko'rsatilayotgan va xizmat kutilayotgan):
Kanal bepul;
Kanal band, navbat yo'q;
Kanal band, bitta soʻrov navbatda;
Kanal band, k-1 ilovalari navbatda;
Kanal band, ilovalar navbatda.
GSP rasmda ko'rsatilgan. 4. Chapdan o'ngga strelkalar bo'ylab tizimga o'tadigan hodisa oqimlarining barcha intensivliklari teng va o'ngdan chapga - ga teng. Darhaqiqat, so'rovlar oqimi tizimni strelkalar bo'ylab chapdan o'ngga (so'rov kelishi bilanoq tizim keyingi holatga o'tadi), o'ngdan chapga - band bo'lgan kanalning "chiqishi" oqimini siljitadi. intensivlikka ega (keyingi so'rovga xizmat ko'rsatilishi bilan kanal bo'shab qoladi yoki navbatdagi ilovalar soni kamayadi).
Guruch. 4. Kutish bilan bitta kanalli QS
Shaklda ko'rsatilgan. 4 diagrammasi ko'payish va o'lim diagrammasi. Holatlarning cheklovchi ehtimoli uchun ifodalarni yozamiz:
(5)
yoki foydalanish::
(6)
(6) ning oxirgi qatori birinchi had 1 va maxraj p bilan geometrik progressiyani o'z ichiga oladi, biz undan olamiz:
(7)
Shu munosabat bilan cheklovchi ehtimollar quyidagi shaklni oladi:
(8).
(7) ifoda faqat uchun amal qiladi< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
QSning xususiyatlarini aniqlaymiz: ishlamay qolish ehtimoli, nisbiy o'tkazuvchanlik q, mutlaq o'tkazuvchanlik A, o'rtacha navbat uzunligi, tizim bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni, navbatda o'rtacha kutish vaqti, QSda ilova tomonidan sarflangan o'rtacha vaqt. .
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Shubhasiz, agar kanal band bo'lsa va navbatdagi barcha t-joylar band bo'lsa, ariza rad etiladi:
(9).
Nisbiy tarmoqli kengligi:
(10).
O'rtacha navbat uzunligi. Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini diskret tasodifiy o'zgaruvchining R-navbatdagi ilovalar sonining matematik kutilishi sifatida topamiz:
Ehtimollik bilan navbatda bitta ilova, ehtimol ikkita ilova bor, umuman, ehtimollik bilan navbatda k-1 ilovalari bor va hokazo, ulardan:
(11).
Chunki (11) dagi yig‘indini geometrik progressiya yig‘indisining hosilasi sifatida talqin qilish mumkin:
Ushbu iborani (11) ga almashtirib, (8) dan foydalanib, biz nihoyat quyidagilarni olamiz:
(12).
Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni. Keyinchalik, tizim bilan bog'liq bo'lgan so'rovlarning o'rtacha soni uchun formulani olamiz (navbatda turish va xizmat ko'rsatish). , xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni qayerda va k ma'lum bo'lganligi sababli, uni aniqlash qoladi. Faqat bitta kanal mavjud bo'lgani uchun xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni 0 (ehtimollik bilan ) yoki 1 (ehtimol 1 - ) bo'lishi mumkin, ulardan:
.
va QS bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni:
(13).
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti. Keling, uni belgilaymiz; agar ma'lum bir vaqtda tizimga so'rov tushsa, ehtimol xizmat ko'rsatish kanali band bo'lmaydi va u navbatda kutishga majbur bo'lmaydi (kutish vaqti nolga teng). Ehtimol, u ba'zi so'rovlar bajarilayotganda tizimga kiradi, lekin uning oldida navbat bo'lmaydi va so'rov ma'lum vaqt davomida xizmat ko'rsatish boshlanishini kutadi (xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqti). so'rov). Murojaat ko'rib chiqilgunga qadar navbatda boshqa ariza bo'lishi ehtimoli bor va o'rtacha kutish vaqti ga teng bo'ladi va hokazo.
Agar k=m+1 bo'lsa, ya'ni. yangi kelgan so'rov xizmat kanalini band deb topsa va navbatda m-so'rovlar paydo bo'lganda (buning ehtimoli), bu holda so'rov navbatda turmaydi (va xizmat ko'rsatilmaydi), shuning uchun kutish vaqti nolga teng. O'rtacha kutish vaqti:
bu yerda ehtimollar (8) o‘rniga iboralarni qo‘ysak, quyidagilarga erishamiz:
(14).
Bu erda (11), (12) (geometrik progressiyaning hosilasi), shuningdek (8) dan munosabatlardan foydalanamiz. Ushbu iborani (12) bilan taqqoslab shuni ta'kidlaymizki, boshqa so'z bilan aytganda, o'rtacha kutish vaqti navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonining ilovalar oqimining intensivligiga bo'linganiga teng.
(15).
Ilovaning tizimda qolishining o'rtacha vaqti. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini so'rov QSda qolish vaqti deb belgilaymiz, bu navbatdagi o'rtacha kutish vaqti va o'rtacha xizmat vaqti yig'indisidir. Agar tizim yuki 100% bo'lsa, aks holda:
.
Misol 1. Yoqilg'i quyish shoxobchasi (yoqilg'i quyish shoxobchasi) bitta xizmat ko'rsatish kanali (bir nasos) bo'lgan xizmat ko'rsatish stantsiyasidir.
Stansiyadagi maydon bir vaqtning o'zida yonilg'i quyish uchun uchtadan ko'p bo'lmagan mashinaga (m = 3) turishga imkon beradi. Navbatda allaqachon uchta mashina bo'lsa, stantsiyaga kelgan keyingi mashina navbatga qo'shilmaydi. Yoqilg'i quyish uchun kelgan avtomobillar oqimi intensivlikka ega = 1 (daqiqada avtomobil). Yoqilg'i quyish jarayoni o'rtacha 1,25 daqiqa davom etadi.
Belgilang:
muvaffaqiyatsizlik ehtimoli;
yoqilg'i quyish shoxobchalarining nisbiy va mutlaq quvvati;
yonilg'i quyish uchun kutayotgan avtomobillarning o'rtacha soni;
yoqilg'i quyish shoxobchasidagi avtomobillarning o'rtacha soni (shu jumladan, xizmat ko'rsatilayotganlar);
navbatdagi mashina uchun o'rtacha kutish vaqti;
avtomobil yoqilg'i quyish shoxobchasida (shu jumladan xizmat ko'rsatish) o'rtacha vaqt sarflaydi.
Boshqacha qilib aytganda, o'rtacha kutish vaqti navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonining arizalar oqimining intensivligiga bo'linganiga teng.
Ilovalar oqimining qisqargan intensivligini birinchi navbatda topamiz: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Formulalar bo'yicha (8):
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli 0,297.
QS ning nisbiy quvvati: q=1-=0,703.
QS ning mutlaq o'tkazuvchanligi: A==daqiqada 0,703 avtomobil.
Biz (12) formuladan foydalanib, navbatda turgan mashinalarning o'rtacha sonini topamiz:
bular. Yoqilg‘i quyish shoxobchasini to‘ldirish uchun navbatda turgan avtomobillarning o‘rtacha soni 1,56 tani tashkil qiladi.
Ushbu qiymatga xizmat ko'rsatilayotgan transport vositalarining o'rtacha sonini qo'shish:
biz yoqilg'i quyish shoxobchasi bilan bog'liq avtomobillarning o'rtacha sonini olamiz.
Formula (15) bo'yicha navbatda turgan avtomobilning o'rtacha kutish vaqti:
Ushbu qiymatga qo'shilgan holda, biz avtomobilning yoqilg'i quyish shoxobchasida o'tkazadigan o'rtacha vaqtini olamiz:
Cheksiz kutishga ega tizimlar. Bunday sistemalarda m ning qiymati cheklanmagan va shuning uchun avval olingan (5), (6) ifodalarda chegaraga o'tish orqali asosiy xarakteristikalar olinishi mumkin.
E'tibor bering, oxirgi formuladagi (6) maxraj geometrik progressiyaning cheksiz sonli hadlarining yig'indisidir. Progressiya cheksiz kamayib borayotganida bu summa yaqinlashadi, ya'ni. da<1.
Buni isbotlash mumkin<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Agar (8) munosabatlar quyidagi shaklni oladi:
(16).
Agar navbat uzunligi bo'yicha hech qanday cheklovlar bo'lmasa, tizimga kelgan har bir ilovaga xizmat ko'rsatiladi, shuning uchun q=1, 
.
Biz navbatdagi arizalarning o'rtacha sonini (12) dan olamiz:
(13) formula bo'yicha tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni:
.
O'rtacha kutish vaqti formuladan (14) olinadi:
.
Va nihoyat, ilova QSda qoladigan oʻrtacha vaqt:
Cheklangan navbat uzunligiga ega tizim. Keling, so'rovlar oqimini intensivlik bilan qabul qiladigan kutish bilan QS kanalini ko'rib chiqaylik; xizmat ko'rsatish intensivligi (bitta kanal uchun); navbatdagi joylar soni.
Tizim holatlari tizim bilan bog'liq so'rovlar soniga qarab raqamlangan:
navbat yo'q:
Barcha kanallar bepul;
Bir kanal band, qolganlari bepul;
-kanallar band, qolganlari esa yo'q;
Barcha kanallar band, bepul kanallar yo'q;
navbat bor:
Barcha n-kanallar band; bitta ariza navbatda turibdi;
Navbatdagi barcha n-kanallar, r-so'rovlar band;
Navbatdagi barcha n-kanallar, r-so'rovlar band.
GSP rasmda ko'rsatilgan. 17. Har bir strelka hodisa oqimlarining tegishli intensivliklari bilan belgilanadi. Chapdan o'ngga o'qlar bo'ylab tizim har doim bir xil so'rovlar oqimi bilan intensivlik bilan uzatiladi.
Guruch. 17. Kutish bilan ko'p kanalli QS
Grafik ko'payish va o'lim jarayonlari uchun odatiy bo'lib, ular uchun eritma ilgari olingan. Belgilanishdan foydalanib holatlarning cheklovchi ehtimolliklari ifodalarini yozamiz: (bu yerda maxrajli geometrik progressiya yig‘indisi ifodasidan foydalanamiz).
Shunday qilib, barcha davlat ehtimolliklari topildi.
Keling, tizim samaradorligining xususiyatlarini aniqlaylik.
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli. Agar navbatdagi barcha n-kanallar va barcha m-oʻrinlar band boʻlsa, kiruvchi soʻrov rad etiladi:
(18)
Nisbiy o'tkazish qobiliyati muvaffaqiyatsizlik ehtimolini bittaga to'ldiradi:
QS ning mutlaq o'tkazuvchanligi:
(19)
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni. Rad etilgan QS uchun u tizimdagi o'rtacha ilovalar soniga to'g'ri keldi. Navbatga ega QS uchun band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni tizimdagi ilovalarning o'rtacha soniga to'g'ri kelmaydi: oxirgi qiymat birinchisidan navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni bilan farq qiladi.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha sonini bilan belgilaymiz. Har bir band kanal vaqt birligi uchun o'rtacha A da'volariga xizmat qiladi va umuman QS vaqt birligi uchun o'rtacha A da'volariga xizmat qiladi. Bir-biriga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:
Navbatdagi so'rovlarning o'rtacha sonini to'g'ridan-to'g'ri diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sifatida hisoblash mumkin:
(20)
Bu erda yana (qavs ichidagi ifoda) geometrik progressiya yig'indisining hosilasi yuzaga keladi (yuqoriga qarang: (11), (12) - (14)), unga munosabatdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Tizimdagi o'rtacha ilovalar soni:
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti. Keling, yangi kelgan so'rov tizimni topishi va xizmat ko'rsatishni qancha vaqt kutishi kerak bo'lgan holatda farq qiladigan bir qator vaziyatlarni ko'rib chiqaylik.
Agar so'rov barcha kanallarni band deb topmasa, u umuman kutishga majbur bo'lmaydi (matematik kutishdagi mos keladigan shartlar nolga teng). Agar so'rov barcha n-kanallar band bo'lgan va navbat bo'lmagan vaqtda kelsa, u o'rtacha ga teng vaqtni kutishga to'g'ri keladi (chunki -kanallarning "chiqarish oqimi" ning intensivligiga ega). Agar so'rovda barcha kanallar band bo'lsa va uning oldida bitta so'rov navbatda turgan bo'lsa, u o'rtacha vaqt miqdorini kutishi kerak (oldidagi har bir so'rov uchun) va hokazo. Agar so'rov o'zini navbatda topsa - so'rovlar bo'lsa, u o'rtacha vaqtni kutishi kerak bo'ladi Agar yangi kelgan so'rov allaqachon navbatda m-so'rovlarni topsa, u umuman kutmaydi (lekin xizmat ko'rsatilmaydi). Ushbu qiymatlarning har birini mos keladigan ehtimollarga ko'paytirish orqali o'rtacha kutish vaqtini topamiz:
(21)
Kutish bilan bitta kanalli QS holatida bo'lgani kabi, biz ushbu ifoda o'rtacha navbat uzunligi (20) uchun ifodadan faqat omil bilan farq qilishini ta'kidlaymiz, ya'ni.
.
Tizimdagi so'rovning o'rtacha yashash vaqti, shuningdek, bitta kanalli QS uchun, o'rtacha kutish vaqtidan o'rtacha xizmat vaqtining nisbiy o'tkazuvchanlikka ko'paytirilishi bilan farqlanadi:
.
Cheksiz navbat uzunligiga ega tizimlar. Biz bir vaqtning o'zida m-so'rovdan ko'p bo'lmagan navbatda turishi mumkin bo'lgan kutish bilan QS kanalini ko'rib chiqdik.
Ilgari bo'lgani kabi, tizimlarni cheklovlarsiz tahlil qilishda, uchun olingan munosabatlarni hisobga olish kerak.
Formulalardan holatlar ehtimolini chegaraga (da) o'tish orqali olamiz. E'tibor bering, mos keladigan geometrik progressiyaning yig'indisi >1 da yaqinlashadi va ajraladi. Buni taxmin qilsak<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli, nisbiy va mutlaq o'tkazish qobiliyati. Har bir so'rovga ertami-kechmi xizmat ko'rsatilishi sababli QS o'tkazish qobiliyatining xususiyatlari quyidagilardan iborat bo'ladi:
Navbatdagi arizalarning o'rtacha soni (20) dan olinadi:
,
va o'rtacha kutish vaqti (21):
.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni, avvalgidek, mutlaq o'tkazuvchanlik orqali aniqlanadi:
.
QS bilan bog'liq ilovalarning o'rtacha soni navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni va xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni (band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni) sifatida aniqlanadi:
Misol 2. Ikki nasosli (n = 2) yoqilg'i quyish shoxobchasi =0,8 intensivlikdagi avtomobillar oqimiga xizmat qiladi (daqiqada avtomobil). Bir mashinaga o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqti:
Hududda boshqa yoqilg'i quyish shoxobchasi yo'q, shuning uchun yoqilg'i quyish shoxobchasi oldidagi avtomobillar qatori deyarli cheksiz o'sishi mumkin. QS ning xususiyatlarini toping.
Chunki<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
va hokazo.
QS A = = 0,8 ning mutlaq sig'imini xizmat intensivligi = 0,5 ga bo'lish orqali band bo'lgan kanallarning o'rtacha sonini topamiz:
Yoqilg'i quyish shoxobchasida navbat bo'lmasligi ehtimoli quyidagicha bo'ladi:
Navbatdagi avtomobillarning oʻrtacha soni:
Yoqilg'i quyish shoxobchalarida avtomashinalarning o'rtacha soni:
Navbatda oʻrtacha kutish vaqti:
Avtomobil yoqilg'i quyish shoxobchasida o'tkazadigan o'rtacha vaqt:
Cheklangan kutish vaqti bilan QS. Ilgari biz faqat navbat uzunligi (navbatda bir vaqtning o'zida m-so'rovlar soni) bilan cheklangan kutish tizimlarini ko'rib chiqdik. Bunday QSda navbatda o'sgan dastur xizmat ko'rsatishni kutmaguncha uni tark etmaydi. Amalda, QS ning boshqa turlari mavjud bo'lib, unda dastur biroz vaqt kutgandan so'ng navbatdan chiqib ketishi mumkin ("sabrsiz" ilovalar deb ataladi).
Kutish vaqtining cheklanishi tasodifiy o‘zgaruvchi deb faraz qilib, ushbu turdagi QSni ko‘rib chiqaylik.
Faraz qilaylik, navbatdagi o'rinlar soni cheklanmagan, ammo so'rovning navbatda turish vaqti o'rtacha qiymatga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir, shuning uchun navbatdagi har bir so'rov shunday bo'ladi. Puassonning o'ziga xos "g'amxo'rlik oqimi" intensivligi bilan:
Agar bu oqim Puasson bo'lsa, QSda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi. Buning uchun holat ehtimolini topamiz. Tizim holatlarining raqamlanishi tizimdagi ilovalar soni bilan bog'liq - xizmat ko'rsatilayotgan va navbatda turgan:
navbat yo'q:
Barcha kanallar bepul;
Bir kanal band;
Ikkita kanal band;
Barcha n-kanallar band;
navbat bor:
Barcha n-kanallar band, bitta so'rov navbatda;
Barcha n-kanallar band, r-so'rovlar navbatda va hokazo.
Tizimning holatlari va o'tishlari grafigi rasmda ko'rsatilgan. 23.
Guruch. 23. Cheklangan kutish vaqti bilan QS
Bu grafikni avvalgidek belgilaymiz; chapdan o'ngga olib boruvchi barcha o'qlar ilovalar oqimining intensivligini ko'rsatadi. Navbatsiz shtatlar uchun ulardan o'ngdan chapga yo'naltirilgan o'qlar, avvalgidek, barcha egallab olingan kanallarga xizmat ko'rsatadigan oqimning umumiy intensivligini ko'rsatadi. Navbatdagi shtatlarga kelsak, ulardan o'ngdan chapga yo'naltirilgan strelkalar barcha n-kanallarning xizmat ko'rsatish oqimining umumiy intensivligiga va navbatdan ketishlar oqimining mos keladigan intensivligiga ega bo'ladi. Agar navbatda r-ilovalar mavjud bo'lsa, u holda jo'nab ketish oqimining umumiy intensivligi ga teng bo'ladi.
Grafikdan ko'rinib turibdiki, ko'payish va o'lim naqshlari mavjud; Ushbu sxemadagi holatlarning cheklash ehtimoli uchun umumiy iboralar yordamida (qisqartirilgan belgilardan foydalanib, biz yozamiz:
(24)
Oldin ko'rib chiqilgan "bemor" so'rovlari bilan QS bilan solishtirganda, kutish cheklangan QSning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz.
Agar navbatning uzunligi cheklanmagan bo'lsa va so'rovlar "sabrli" bo'lsa (navbatni tark etmang), u holda statsionar chegara rejimi faqat holatda mavjud bo'ladi (tegishli cheksiz geometrik progressiya bilan jismoniy jihatdan cheksiz o'sishga mos keladi). navbatdagi).
Aksincha, "sabrsiz" so'rovlar ertami-kechmi navbatdan chiqadigan QSda, so'rovlar oqimining intensivligi pasayganidan qat'i nazar, har doim belgilangan xizmat ko'rsatish rejimiga erishiladi. Bu (24) formulaning maxrajidagi for qatori va ning har qanday ijobiy qiymatlari uchun yaqinlashishidan kelib chiqadi.
"Sabrsiz" so'rovlari bo'lgan QS uchun "muvaffaqiyatsizlik ehtimoli" tushunchasi mantiqqa to'g'ri kelmaydi - har bir so'rov navbatga tushadi, lekin xizmatni kutmasdan, muddatidan oldin ketishi mumkin.
Nisbiy o'tkazish qobiliyati, navbatdagi so'rovlarning o'rtacha soni. Bunday QS ning nisbiy quvvati q ni quyidagicha hisoblash mumkin. Shubhasiz, barcha arizalarga xizmat ko'rsatiladi, navbatdan muddatidan oldin chiqqanlardan tashqari. Navbatdan erta chiqadigan arizalarning o'rtacha sonini hisoblaylik. Buning uchun biz navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini hisoblaymiz:
Ushbu ilovalarning har biri intensivligi bilan "ketish oqimi" ga bo'ysunadi. Demak, navbatdagi o‘rtacha -murojaatlar sonidan o‘rtacha hisobda -murojaatlar xizmat ko‘rsatishni kutmasdan chiqib ketadi, -vaqt birligiga va jami vaqt birligiga, o‘rtacha -murojaatlarga xizmat ko‘rsatiladi. QS ning nisbiy sig'imi quyidagicha bo'ladi:
Biz hali ham band bo'lgan kanallarning o'rtacha sonini A mutlaq tarmoqli kengligini quyidagiga bo'lish orqali olamiz:
(26)
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni. Munosabatlar (26) cheksiz qatorni (25) yig'masdan navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini hisoblash imkonini beradi. (26) dan biz quyidagilarni olamiz:
va ushbu formulaga kiritilgan ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha sonini Z tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini sifatida topish mumkin, ehtimollik bilan 0, 1, 2,..., n qiymatlarini oladi:
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar (24) formulalarda chegaraga chiqsak (yoki bir xil bo'lsa, da), unda formulalar (22) olinadi, ya'ni "sabrsiz" ilovalar "sabrli" bo'ladi.
Hozirgacha biz kiruvchi oqim hech qanday tarzda chiquvchi oqim bilan bog'liq bo'lmagan tizimlarni ko'rib chiqdik. Bunday tizimlar ochiq tsikl deb ataladi. Ba'zi hollarda xizmat ko'rsatilgan so'rovlar kechikishdan keyin kirishda yana qabul qilinadi. Bunday QS lar yopiq deb ataladi. Berilgan hududga xizmat ko'rsatadigan klinika, mashinalar guruhiga biriktirilgan ishchilar jamoasi yopiq tizimlarga misol bo'la oladi.
Yopiq QSda bir xil cheklangan miqdordagi potentsial talablar aylanadi. Potentsial talab xizmat so'rovi sifatida amalga oshirilgunga qadar u kechikish blokida hisoblanadi. Amalga oshirish vaqtida u tizimga o'zi kiradi. Masalan, ishchilar bir guruh mashinalarga xizmat ko'rsatadilar. Har bir mashina potentsial talab bo'lib, u buzilgan paytda haqiqiyga aylanadi. Mashina ishlayotganda, u kechikish blokida va buzilgan paytdan boshlab ta'mirlash tugaguniga qadar tizimning o'zida bo'ladi. Har bir ishchi xizmat ko'rsatish kanalidir.
Mayli n- xizmat ko'rsatish kanallari soni; s- potentsial ilovalar soni, n <s , - har bir potentsial talab uchun ilovalar oqimining intensivligi, m - xizmat ko'rsatish intensivligi:
Tizimning ishlamay qolish ehtimoli formula bilan aniqlanadi
R
0
= 
.
Tizim holatlarining yakuniy ehtimoli:
Pk= da k
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni ushbu ehtimollar orqali ifodalanadi
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) yoki
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -...-P n-1 ).
Buning yordamida biz tizimning mutlaq o'tkazuvchanligini topamiz:
shuningdek, tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni
M=s- =s-.
1-misol. Muvaffaqiyatsiz uch kanalli QSni kiritish intensivlikdagi so'rovlar oqimini oladi. =daqiqada 4 ta soʻrov, bitta kanal boʻyicha soʻrovga xizmat koʻrsatish vaqti t obs =1/m =0,5 min. QS sig'imi nuqtai nazaridan, barcha uchta kanalni bir vaqtning o'zida xizmat ko'rsatish so'rovlariga majburlash foydalimi va o'rtacha xizmat ko'rsatish muddati uch baravarga qisqaradi? Bu arizaning CMOda o'tkazadigan o'rtacha vaqtiga qanday ta'sir qiladi?
Yechim. Formuladan foydalanib, uch kanalli QS ning ishlamay qolish ehtimolini topamiz
ρ = /m =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
P ochiq = P n ==
P ochiq = 0,21.
Nisbiy tizim o'tkazuvchanligi:
R obsl = 1-R ochiq 1-0,21=0,79.
Mutlaq tizim o'tkazuvchanligi:
A= P obsl 3,16.
Ishg'ol qilingan kanallarning o'rtacha soni quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:
1.58, xizmat ko'rsatish bilan band bo'lgan kanallar ulushi,
q = 0,53.
Ilovaning QSda qolishi o‘rtacha vaqti, arizani xizmatga qabul qilish ehtimoli sifatida, o‘rtacha xizmat vaqtiga ko‘paytiriladi: t SMO 0,395 min.
Barcha uchta kanalni bittaga birlashtirib, biz parametrlarga ega bitta kanalli tizimni olamiz μ= 6, ρ= 2/3. Bir kanalli tizim uchun ishlamay qolish ehtimoli:
R 0 = = =0,6,
muvaffaqiyatsizlik ehtimoli:
P ochiq =r P 0 = = 0,4,
nisbiy o'tkazish qobiliyati:
R obsl = 1-R ochiq =0,6,
mutlaq o'tkazish qobiliyati:
A=P obs =2,4.
t SMO =P obsl= =0,1 min.
Kanallarni bittaga birlashtirish natijasida tizimning o'tkazuvchanligi pasayib ketdi, chunki buzilish ehtimoli oshgan. Ilovaning tizimda o'tkazadigan o'rtacha vaqti kamaydi.
2-misol. Cheksiz navbatga ega uch kanalli QS ni kiritish intensivlikdagi so'rovlar oqimini oladi. =soatiga 4 ta ilova, bitta ilovaga xizmat koʻrsatish uchun oʻrtacha vaqt t=1/m=0,5 h. Tizimning ishlash ko'rsatkichlarini toping.
Ko'rib chiqilayotgan tizim uchun n =3, =4, m=1/0,5=2, r= /m=2, r/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini quyidagi formuladan foydalanib topamiz:
L
=
.
L = = .
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqtini formuladan foydalanib hisoblaymiz:
t= = 0,22 soat.
Ilovaning tizimda qolishi oʻrtacha vaqti:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
3-misol. Sartaroshxonada 3 ta sartarosh ishlaydi, kutish zalida 3 ta stul bor. Mijozlar oqimi intensivlikka ega =soatiga 12 mijoz. O'rtacha xizmat muddati t obsl =20 min. Tizimning nisbiy va mutlaq o'tkazuvchanligini, ishg'ol qilingan o'rindiqlarning o'rtacha sonini, navbatning o'rtacha uzunligini, mijozning sartaroshxonada o'tkazadigan o'rtacha vaqtini aniqlang.
Ushbu vazifa uchun n =3, Kanal band boʻlganda olingan soʻrov navbatga qoʻyiladi va xizmat koʻrsatishni kutmoqda. Navbat hajmi cheklangan va undan ortig'ini sig'dira olmaydi deb taxmin qilamiz =3, =12, μ =3, ρ =4, r/n=4/3. Ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Xizmatni rad etish ehtimoli formula bilan aniqlanadi
P ochiq =P n+m = .
P ochiq =Pn + m 0,307.
Nisbiy tizim sig'imi, ya'ni. xizmat ko'rsatish ehtimoli:
P obsl =1-P ochiq 1-0,307=0,693.
Mutlaq o'tkazish qobiliyati:
A= P obsl 12 .
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni:
.
Navbatning o'rtacha uzunligi quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:
L
=
L= 
1,56.
Navbatda xizmat ko‘rsatish uchun o‘rtacha kutish vaqti:
t= h.
CMOga murojaatlarning oʻrtacha soni:
M=L + .
Ilovaning CMOda qolishining o'rtacha vaqti:
T=M/ 0,36 soat
4-misol. Bir ishchi 4 ta mashinani boshqaradi. Har bir mashina intensivlik bilan ishlamay qoladi =soatiga 0,5 nosozlik, o'rtacha ta'mirlash vaqti t rem=1/m=0,8 soat tizimning o'tkazish qobiliyatini aniqlang.
Bu muammo yopiq QSni ko'rib chiqadi, μ =1,25, r=0,5/1,25=0,4. Ishchining ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
R
0
=
.
P
0
= 
.
Xodimning ishga joylashish ehtimoli R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = soatiga 0,85 mikron mashinalar.
Vazifa:
Ikki ishchi to'rtta mashinadan iborat guruhni boshqaradi. Ishlaydigan mashinaning to'xtashlari o'rtacha 30 daqiqadan so'ng sodir bo'ladi. O'rnatish vaqti o'rtacha 15 minut. Ishlash va sozlash vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi.
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushini va mashinaning o'rtacha ish vaqtini toping.
Quyidagi tizim uchun bir xil xususiyatlarni toping:
a) har bir ishchiga ikkita mashina ajratiladi;
b) ikkita ishchi har doim mashinaga birgalikda va ikki barobar intensivlik bilan xizmat qiladi;
c) yagona nosoz mashinaga bir vaqtning o'zida ikkala ishchi ham xizmat ko'rsatadi (ikki marta intensivlik bilan) va kamida bitta nosoz mashina paydo bo'lganda, ular alohida ishlay boshlaydilar, har biri bitta mashinaga xizmat qiladi (avval tizimni ishlab chiqarish jarayonlari nuqtai nazaridan tavsiflang). o'lim va tug'ilish).
Yechim:
S tizimining quyidagi holatlari mumkin:
S 0 - barcha mashinalar ishlaydi;
S 1 – 1 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 2 – 2 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari ishlamoqda;
S 3 – 3 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaroqli holatda;
S 4 – 4 dastgoh ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 5 – (1, 2) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 6 – (1, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 7 – (1, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 8 – (2, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 9 – (2, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari ish holatida;
S 10 – (3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, qolganlari yaxshi holatda;
S 11 – (1, 2, 3) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 4 ta mashina ishlamoqda;
S 12 – (1, 2, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 3 ta mashina ishlayapti;
S 13 – (1, 3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 2-mashina ishlayapti;
S 14 – (2, 3, 4) dastgohlar ta’mirlanmoqda, 1 ta mashina ishlamoqda;
S 15 - barcha mashinalar ta'mirlanadi.
Tizim holati grafigi...
Ushbu S tizimi yopiq tizimga misol bo'ladi, chunki har bir mashina potentsial talab bo'lib, uning buzilishi paytida haqiqiyga aylanadi. Mashina ishlayotganda, u kechikish blokida va buzilgan paytdan boshlab ta'mirlash tugaguniga qadar tizimning o'zida bo'ladi. Har bir ishchi xizmat ko'rsatish kanalidir.
Agar ishchi band bo'lsa, u vaqt birligi uchun m-mashinalarni o'rnatadi, tizim quvvati:
Javob:
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushi ≈ 0,09 ni tashkil qiladi.
Mashinaning o'rtacha ish vaqti ≈ 3,64.
a) Har bir ishchiga ikkita mashina ajratiladi.
Ishchining ishlamay qolish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Xodimning ishga joylashish ehtimoli:
Agar ishchi band bo'lsa, u vaqt birligi uchun m-mashinalarni o'rnatadi, tizim quvvati:
Javob:
Har bir ishchi uchun bo'sh vaqtning o'rtacha ulushi ≈ 0,62 ni tashkil qiladi.
Mashinaning o'rtacha ish vaqti ≈ 1,52.
b) Ikki ishchi har doim mashinaga birgalikda va ikki baravar intensivlik bilan xizmat qiladi.
c) Yagona nosoz mashinaga bir vaqtning o'zida ikkala ishchi xizmat ko'rsatadi (ikki marta intensivlik bilan) va kamida bitta nosoz mashina paydo bo'lganda, ular alohida ishlay boshlaydilar, har biri bitta mashinaga xizmat ko'rsatadi (avval tizimni ishlab chiqarish jarayonlari nuqtai nazaridan tavsiflang). o'lim va tug'ilish).
5 ta javobni taqqoslash:
Mashinalarda ishchilarni tashkil qilishning eng samarali usuli vazifaning dastlabki versiyasi bo'ladi.
Eng oddiy navbat tizimlariga (QS) misollar yuqorida muhokama qilingan. "Protozoa" atamasi "elementar" degani emas. Ushbu tizimlarning matematik modellari qo'llaniladi va amaliy hisob-kitoblarda muvaffaqiyatli qo'llaniladi.
Navbat tizimlarida qarorlar nazariyasini qo'llash imkoniyati quyidagi omillar bilan belgilanadi:
1. Tizimdagi ilovalar soni (bu QS deb hisoblanadi) juda katta (massiv) bo'lishi kerak.
2. QS kiritishda olingan barcha ilovalar bir xil turdagi bo'lishi kerak.
3. Formulalar yordamida hisoblash uchun arizalarni qabul qilish va ularni qayta ishlash intensivligini belgilovchi qonunlarni bilish kerak. Bundan tashqari, buyurtma oqimlari Puasson bo'lishi kerak.
4. QSning tuzilishi, ya'ni. kiruvchi talablar to'plami va arizani ko'rib chiqish ketma-ketligi qat'iy belgilanishi kerak.
5. Ob'ektlarni tizimdan chiqarib tashlash yoki ularni doimiy ishlov berish intensivligi bilan talablar sifatida tavsiflash kerak.
Yuqorida sanab o'tilgan cheklovlarga yana bittasini qo'shishimiz mumkin, bu matematik modelning o'lchami va murakkabligiga kuchli ta'sir qiladi.
6. Amaldagi ustuvorliklar soni minimal bo'lishi kerak. Ilovalarning ustuvorliklari doimiy bo'lishi kerak, ya'ni. ular QS ichida qayta ishlash jarayonida o'zgartira olmaydi.
Ish jarayonida asosiy maqsadga erishildi - o'quv fanining o'qituvchisi tomonidan qo'yilgan "Cheklangan kutish vaqti bilan QS" va "Yopiq QS" ning asosiy materiali o'rganildi. Olingan bilimlarni amaliyotda qo'llash bilan ham tanishdik, ya'ni. yoritilgan materialni birlashtirdi.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://inqilob..
5) Fomin G.P. Tijorat faoliyatida matematik usullar va modellar. M: Moliya va statistika, 2001 yil.
6) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. M: Oliy maktab, 2001 yil.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Tizimlarni modellashtirish. M: Oliy maktab, 1985 yil.
8) Lifshits A.L. QSni statistik modellashtirish. M., 1978 yil.
9) Ventzel E.S. Operatsion tadqiqotlar. M: Nauka, 1980 yil.
10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Ehtimollar nazariyasi va uning muhandislik dasturlari. M: Nauka, 1988 yil.
Navbat tizimining operatsiyalari yoki samaradorligi quyidagilardan iborat.uchun Muvaffaqiyatsiz QS:
uchun Cheksiz kutish bilan SMO mutlaq va nisbiy o'tkazish qobiliyati o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki har bir kiruvchi so'rov ertami-kechmi xizmat ko'rsatiladi. Bunday QS uchun muhim ko'rsatkichlar:
uchun QS aralash turi ko'rsatkichlarning ikkala guruhi ham qo'llaniladi: nisbiy va mutlaq o'tkazish qobiliyati, va kutish xususiyatlari.
Navbatga qo'yish operatsiyasining maqsadiga qarab, samaradorlik mezoni sifatida berilgan ko'rsatkichlarning istalgani (yoki ko'rsatkichlar to'plami) tanlanishi mumkin.
Analitik model QS - bu tizimning ishlashi paytidagi holatlarning ehtimolini aniqlash va kiruvchi oqim va xizmat ko'rsatish kanallarining ma'lum xususiyatlariga asoslanib ishlash ko'rsatkichlarini hisoblash imkonini beruvchi tenglamalar yoki formulalar to'plami.
Ixtiyoriy QS uchun umumiy analitik model mavjud emas. QS ning cheklangan miqdordagi maxsus holatlari uchun analitik modellar ishlab chiqilgan. Haqiqiy tizimlarni ko'proq yoki kamroq aniq aks ettiruvchi analitik modellar odatda murakkab va vizualizatsiya qilish qiyin.
QS ni analitik modellashtirish, agar QSda sodir bo'ladigan jarayonlar Markovian bo'lsa, juda osonlashadi (so'rovlar oqimi oddiy, xizmat ko'rsatish vaqtlari eksponent ravishda taqsimlanadi). Bunda QS dagi barcha jarayonlar oddiy differensial tenglamalar bilan, cheklovchi holatda esa statsionar holatlar uchun chiziqli algebraik tenglamalar bilan tasvirlanishi va ularni yechib, tanlangan samaradorlik ko'rsatkichlarini aniqlash mumkin.
Keling, ba'zi QS misollarini ko'rib chiqaylik.
2.5.1. Muvaffaqiyatsiz ko'p kanalli QS
2.5-misol. Uch nafar yo'l inspektori yuk mashinalari haydovchilarining yo'l varaqlarini tekshiradi. Agar kamida bitta inspektor bo'sh bo'lsa, o'tayotgan yuk mashinasi to'xtatiladi. Agar barcha inspektorlar band bo'lsa, yuk mashinasi to'xtamasdan o'tib ketadi. Yuk mashinalarining oqimi oddiy, tekshirish vaqti eksponent taqsimot bilan tasodifiy.
Bu holat nosozliklar (navbatsiz) bilan uch kanalli QS tomonidan modellashtirilishi mumkin. Tizim ochiq tsiklli, bir hil so'rovlar, bir fazali, mutlaqo ishonchli kanallarga ega.
Davlatlarning tavsifi:
Barcha inspektorlar bepul;
Bitta inspektor band;
Ikkita inspektor band;
Uch nafar inspektor band.
Tizim holati grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2.11.
Guruch. 2.11.
Grafikda: - yuk mashinasi oqimining intensivligi; - bitta transport inspektori tomonidan hujjatlarni tekshirishning intensivligi.
Simulyatsiya sinovdan o'tmaydigan transport vositalarining qismini aniqlash uchun amalga oshiriladi.
Yechim
Ehtimollikning talab qilinadigan qismi har uch nafar inspektorning ish bilan ta'minlanish ehtimoli hisoblanadi. Davlat grafigi odatiy "o'lim va ko'payish" sxemasini ifodalaganligi sababli, biz (2.2) bog'liqliklar yordamida topamiz.
Ushbu transport inspektori postining o'tkazish qobiliyatini tavsiflash mumkin nisbiy o'tkazish qobiliyati:
2.6-misol. Razvedka guruhining hisobotlarini qabul qilish va qayta ishlash uchun birlashmaning razvedka bo'limida uch nafar ofitserdan iborat guruh tayinlandi. Hisobotlar oqimining kutilayotgan intensivligi soatiga 15 ta hisobot. Bitta ofitser tomonidan bitta hisobotni qayta ishlash uchun o'rtacha vaqt. Har bir ofitser har qanday razvedka guruhidan hisobot olishi mumkin. Ozod qilingan ofitser olingan hisobotlarning oxirgisini qayta ishlaydi. Kiruvchi hisobotlar kamida 95% ehtimollik bilan qayta ishlanishi kerak.
Belgilangan uchta ofitserdan iborat tayinlangan jamoa topshirilgan vazifani bajarish uchun etarli yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
Bir guruh ofitserlar uchta kanaldan iborat muvaffaqiyatsizliklar bilan CMO sifatida ishlaydi.
Intensivlik bilan hisobotlar oqimi 
eng oddiy deb hisoblash mumkin, chunki bu bir nechta razvedka guruhlari jami. Xizmat intensivligi 
. Tarqatish qonuni noma'lum, ammo bu muhim emas, chunki nosozliklar bo'lgan tizimlar uchun bu o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkinligi ko'rsatilgan.
Holatlar tavsifi va QSning holat grafigi 2.5-misolda keltirilganlarga o'xshash bo'ladi.
Davlat grafigi "o'lim va ko'payish" sxemasi bo'lganligi sababli, davlatning cheklash ehtimoli uchun tayyor ifodalar mavjud:
Munosabat deyiladi ilovalar oqimining berilgan intensivligi. Uning jismoniy ma'nosi quyidagicha: qiymat bir so'rovga xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqti davomida QSga kelgan so'rovlarning o'rtacha sonini ifodalaydi.
Misolda 
.
Ko'rib chiqilayotgan QSda muvaffaqiyatsizlik uchta kanal ham band bo'lganda sodir bo'ladi, ya'ni. Keyin:
Chunki muvaffaqiyatsizlik ehtimoli hisobotlarni qayta ishlashda 34% dan ortiq (), keyin guruh xodimlarini ko'paytirish kerak. Keling, guruh tarkibini ikki baravar oshiraylik, ya'ni CMO endi oltita kanalga ega bo'ladi va hisoblab chiqamiz:
Shunday qilib, faqat olti nafar ofitserdan iborat guruh 95% ehtimollik bilan kiruvchi hisobotlarni qayta ishlay oladi.
2.5.2. Kutish bilan ko'p kanalli QS
2.7-misol. Daryoni kesib o'tish qismida 15 ta shunday o'tish moslamalari mavjud. O'tish joyiga keladigan asbob-uskunalar oqimi o'rtacha 1 birlik / min, bitta uskunani kesib o'tishning o'rtacha vaqti 10 minutni tashkil qiladi (o'tish vositasining qaytishi bilan birga).
O'tishning asosiy xususiyatlarini, shu jumladan jihozlar kelgandan so'ng darhol o'tish ehtimolini baholang.
Yechim
Mutlaq o'tkazuvchanlik, ya'ni o'tish joyiga yaqinlashadigan hamma narsa amalda darhol kesib o'tadi.
Amaldagi o'tish moslamalarining o'rtacha soni:
Paromdan foydalanish va ishlamay qolish stavkalari:
Misolni yechish uchun dastur ham ishlab chiqilgan. Uskunaning kesishuvga etib borishi uchun vaqt oralig'i va kesishish vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlangan deb taxmin qilinadi.
50 marta yugurishdan keyin kesishuvdan foydalanish darajasi deyarli bir xil: 
.
Maksimal navbat uzunligi 15 birlik, navbatda o'rtacha vaqt taxminan 10 daqiqa.
QS xizmatining maqsadi. Onlayn kalkulyator bitta kanalli QS ning quyidagi ko'rsatkichlarini hisoblash uchun mo'ljallangan:- kanalning ishdan chiqishi ehtimoli, bo'sh kanal ehtimoli, mutlaq o'tkazuvchanlik;
- nisbiy o'tkazuvchanlik, o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqti, kanalning o'rtacha uzilish vaqti.
Ko'rsatmalar. Bunday muammolarni onlayn hal qilish uchun QS modelini tanlang. Belgilang talab oqimining intensivligi l Va xizmat oqimining intensivligi m. Cheklangan navbat uzunligi bilan bitta kanalli QS uchun siz belgilashingiz mumkin navbat uzunligi m, va cheksiz navbatga ega bir kanalli QS uchun - navbatdagi ilovalar soni (bu ilovalarning navbatda bo'lish ehtimolini hisoblash uchun). misol yechimga qarang. . Olingan yechim Word faylida saqlanadi.
Bir kanalli navbat tizimlarining tasnifi
Misol № 1. Avtomobil yoqilg'i quyish shoxobchasi bor bitta yoqilg'i quyish shoxobchasi. Eng oddiy avtomobillar oqimi stansiyaga l=11 vagon/soat intensivlik bilan kiradi, deb taxmin qilinadi. So'rovga xizmat ko'rsatish vaqti tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u m=14 transport / soat parametrli eksponensial qonunga bo'ysunadi. Stansiyadagi avtomashinalarning o'rtacha sonini aniqlang.
Misol № 2. Bir nazorat guruhiga ega bo'lgan mashinalarni profilaktik tekshiruvdan o'tkazish uchun nuqta mavjud. Har bir mashinadagi nuqsonlarni tekshirish va aniqlash uchun o‘rtacha 0,4 soat vaqt ketadi. Ko‘rikdan o‘tkazish uchun kuniga o‘rtacha 328 ta avtomobil qabul qilinadi. So'rovlar va xizmatlar oqimi eng oddiy. Tekshiruv punktiga kelgan avtomobil bitta kanalni bo'shatib qo'ymasa, u tekshiruv punktini xizmat ko'rsatmasdan qoldiradi. Profilaktik tekshiruv punktining sharoitlari va texnik xususiyatlarini cheklash ehtimolini aniqlang.
Yechim. Bu erda a = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Ushbu ma'lumotlar kalkulyatorga kiritilishi kerak.
Amalda navbatga ega bo'lgan bir kanalli QS (bemorlarga xizmat ko'rsatuvchi shifokor, mashina buyruqlarini bajaruvchi protsessor) juda keng tarqalgan. Shuning uchun navbat bilan bitta kanalli QSni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.
Hech qanday cheklovlar qo'yilmaydigan (navbat uzunligiga, na kutish vaqtiga) navbat bilan bitta kanalli QS bo'lsin. Bu QS l intensivlikdagi ilovalar oqimini oladi; xizmat oqimi o'rtacha so'rov xizmat vaqti t haqida teskari intensivligi m ega. QS holatlarining yakuniy ehtimolliklarini, shuningdek uning samaradorligining xususiyatlarini topish kerak:
L SYST– tizimdagi so‘rovlarning o‘rtacha soni;
W TIZIMI– so‘rovning tizimda qolishi o‘rtacha vaqti;
L JUDA– navbatda turgan arizalarning o‘rtacha soni;
V JUDA– arizaning navbatda turishining o‘rtacha vaqti;
P ZAN- kanalning band bo'lish ehtimoli (kanal yuklanish darajasi).
Mutlaq o'tkazuvchanlik A va nisbiy Q ga kelsak, ularni hisoblashning hojati yo'q: navbat cheksiz bo'lganligi sababli, har bir so'rov ertami-kechmi xizmat ko'rsatiladi, shuning uchun xuddi shu sababga ko'ra.
Yechim. Tizimning holati, avvalgidek, QSdagi ilovalar soniga qarab raqamlanadi:
-S 0 - kanal bepul;
-S 1 – kanal band (so‘rovga xizmat qiladi), navbat yo‘q;
-S 2 – kanal band, bitta so‘rov navbatda;
-S k – kanal band, k-1 ilovalar navbatda turibdi.
Nazariy jihatdan davlatlar soni cheksiz (cheksiz). O'lim va ko'payish sxemasidagi yakuniy ehtimollik formulalari faqat cheklangan sonli holatlar uchun olingan, ammo biz ularni cheksiz sonli holatlar uchun ishlatamiz, deb taxmin qilamiz. Keyin formuladagi atamalar soni cheksiz bo'ladi. uchun ifodani olamiz p o:
(17) formuladagi qator geometrik progressiyadir. Biz bilamizki, qator yaqinlashadi - bu maxraj bilan cheksiz kamayib boruvchi progressiyadir. r. Qachonki qatorlar ajralib chiqsa (bu bilvosita, lekin qat'iy bo'lmasa ham, holatlarning yakuniy ehtimolini tasdiqlovchi dalildir) p o, p 1, …, p k,...faqat qachon mavjud bo'lsa). Keyin:
Keling, CMOga murojaatlarning o'rtacha sonini topaylik L SYST. Tasodifiy o'zgaruvchi Z - tizimdagi ilovalar soni - 0, 1, 2, ..., k, ... ehtimollik bilan mumkin bo'lgan qiymatlarga ega p o, p 1, …, p k,... Uning matematik kutilishi quyidagilarga teng:
Little formulasidan (9) foydalanib, so'rovning tizimda qolishi o'rtacha vaqtini topamiz:
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini topamiz. Biz shunday fikr yuritamiz: navbatdagi ilovalar soni tizimdagi ilovalar sonidan xizmat ko'rsatilayotgan ilovalar soniga teng. Bu (matematik taxminlarni qo'shish qoidasiga ko'ra) navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini anglatadi. L JUDA tizimdagi ilovalarning o'rtacha soniga teng L SYST xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni minus. Xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni nolga teng (agar kanal bo'sh bo'lsa) yoki bitta (agar u band bo'lsa) bo'lishi mumkin. Bunday tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi kanal band bo'lish ehtimoliga teng P ZAN. Ko'rinib turibdiki:
Shunday qilib, xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlarning o'rtacha soni:
Little formulasidan (9) foydalanib, biz ilovaning navbatda turgan o'rtacha vaqtini topamiz.
Yuklanmoqda...
