слайд 3
Математичне моделювання
це наближене опис якого-небудь класу явищ, виражене мовою якоїсь математичної теорії (за допомогою системи алгебраїчних рівнянь і нерівностей, диференціальних або інтегральних рівнянь, функцій, системи геометричних пропозицій, векторів і т.п.).
слайд 4
Класифікація моделей
Формальна класифікація моделей Формальна класифікація моделей грунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій: Лінійні або нелінійні моделі [; Зосереджені або розподілені системи; Детерміновані або стохастичні; Статичні або динамічні; Дискретні або безперервні. і так далі. Кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною, ... Природно, що можливі і змішані типи: в одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому - розподілені моделі і т. Д.
слайд 5
Класифікація за способом подання об'єкта Структурниеілі функціональні моделі Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм і механізмом функціонування. функціональні моделіне використовують таких подань і відбивають тільки зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. В їх граничному вираженні вони називаються також моделями «чорного ящика». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями «сірого ящика».
слайд 6
Змістовні і формальні моделі Практично всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. А фінальна математична конструкція називається формальною моделлю або просто математичною моделлю, отриманою в результаті формалізації даної змістовної моделі. Побудова змістовної моделі може проводитися за допомогою набору готових ідеалізацій, тобто дають готові структурні елементи для змістовного моделювання.
слайд 7
слайд 8
Тип 1: Гіпотеза (таке могло б бути)
Ці моделі «є пробне опис явища, причому автор або вірить в його можливість, або вважає навіть його істинним». Ніяка гіпотеза в науці не буває доведена раз і назавжди. Дуже чітко це сформулював Річард Фейнман: Якщо модель першого типу побудована, то це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але тільки тимчасовою паузою: статус моделі першого типу може бути тільки тимчасовим.
слайд 9
Тип 2: Феноменологическая модель (поводимося так, як якщо б ...)
Феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідомий і необхідно продовжити пошук «істинних механізмів». Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може трапитися так, що нові дані і теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність з моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені до другого.
слайд 10
Тип 3: Наближення (щось вважаємо дуже великим або дуже малим)
Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, то це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом в цьому випадку - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними.
слайд 11
Тип 4: Спрощення (опустимо для ясності деякі деталі)
У моделі типу 4 відкидаються деталі, які можуть помітно і не завжди контрольовано вплинути на результат. Одні і ті ж рівняння можуть служити моделлю типу 3 (наближення) або 4 (опустимо для ясності деякі деталі) - це залежить від явища, для вивчення якого використовується модель. Так, якщо моделі лінійного відгуку застосовуються при відсутності більш складних моделей, то це вже феноменологічні лінійні моделі.
слайд 12
Тип 5: Евристична модель (кількісного підтвердження немає, але модель сприяє більш глибокому проникненню в суть справи)
Евристична модель зберігає лише якісне подобу реальності і дає передбачення тільки «по порядку величини». Воно дає прості формули для коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, узгоджуються з реальністю по порядку величини.
слайд 13
Тип 6: Аналогія (врахуємо тільки деякі особливості)
Подоба, рівність відносин; схожість предметів, явищ, процесів, величин ..., в яких-небудь властивостях, а також пізнання з урахуванням тільки деяких особливостей.
слайд 14
Тип 7: Уявний експеримент (головне полягає в спростуванні можливості)
вид пізнавальної діяльності, в якій ключова для тієї чи іншої наукової теоріїситуація розігрується не в реальному експерименті, а в уяві. У деяких випадках уявний експеримент виявляє протиріччя теорії і «буденної свідомості», що далеко не завжди є свідченням невірності теорії
слайд 15
Тип 8: Демонстрація можливості (головне - показати внутрішню несуперечливість можливості)
Це теж уявні експерименти з уявними сутностями, що демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами і внутрішньо несуперечливо. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя. В основі змістовної класифікації - етапи, які передують математичного аналізу і обчислень. Вісім типів моделей по Р. Пайерлс суть вісім типів дослідницьких позицій при моделюванні.
слайд 16
Основні етапи математичного моделювання
1. Побудова моделі. На цьому етапі задається деякий «нематематичні» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процесі т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища і зв'язки між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються на мові математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.
слайд 17
2. Рішення математичної задачі, до якої призводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів і чисельних методів рішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю і за допустимий час. 3. Інтерпретація отриманих слідств з математичної моделі. Слідства, виведені з моделі на мові математики, інтерпретуються мовою, прийнятою в даній області.
слайд 18
4. Перевірка адекватності моделі. На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками з моделі в межах певної точності. 5. Модифікація моделі. На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була більш адекватною дійсності, або її спрощення заради досягнення практично прийнятного рішення.
слайд 19
При цьому необхідно дотримуватися таких вимог:
модель повинна адекватно відображати найбільш істотні (з точки зору певної постановки завдання) властивості об'єкта, відволікаючись від несуттєвих його властивостей; модель повинна мати певну область застосовності, обумовлену прийнятими при її побудові припущеннями; модель повинна дозволяти отримувати нові знання про досліджуваному об'єкті.
слайд 20
СПАСИБІ ЗА УВАГУ
Подивитися всі слайди
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
математичні моделі
05.05.17 Математичні моделі Основною мовою інформаційного моделювання в науці є мова математики. Моделі, побудовані з використанням математичних понять і формул, називаються математичними моделями. Математична модель - інформаційна модель, в якій параметри і залежності між ними виражені в математичній формі.
05.05.17 Наприклад, відоме рівняння S = vt, де S - відстань, v - швидкість t - час, являє собою модель рівномірного руху, виражену в математичній формі.
05.05.17 Розглядаючи фізичну систему: тіло масою m, що скочувалося по похилій площині з прискоренням a під впливом сили F, Ньютон отримав співвідношення F = mа. Це математична модель фізичної системи.
05.05.17 Метод моделювання дає можливість застосовувати математичний апарат до вирішення практичних завдань. Поняття числа, геометричної фігури, рівняння, є прикладами математичних моделей. До методу математичного моделювання в навчальному процесідоводиться вдаватися при вирішенні будь-якої задачі з практичним змістом. Щоб вирішити таке завдання математичними засобами, її необхідно спочатку перевести на мову математики (побудувати математичну модель). Математичне моделювання
05.05.17 При математичному моделюванні дослідження об'єкта здійснюється за допомогою вивчення моделі, сформульованої на мові математики. Приклад: потрібно визначити площу поверхні столу. Вимірюють довжину і ширину столу, а потім перемножують отримані числа. Це фактично означає, що реальний об'єкт - поверхня стола - замінюється абстрактною математичною моделлю прямокутником. Площа цього прямокутника і вважається шуканої. З усіх властивостей столу виділили три: форма поверхні (прямокутник) і довжини двох сторін. Чи не важливі ні колір столу, ні матеріал, з якого він зроблений, ні те, як він використовується. Припустивши, що поверхня стола - прямокутник, легко вказати вихідні дані і результат. Вони пов'язані співвідношенням S = ab.
05.05.17 Розглянемо приклад приведення вирішення конкретного завдання до математичної моделі. Через ілюмінатор затонулого корабля потрібно витягнути скриню з коштовностями. Дано деякі припущення про форми скрині і вікнах ілюмінатора і вихідні дані рішення задачі. Припущення: Иллюминатор має форму кола. Скриня має форму прямокутного паралелепіпеда. Вихідні дані: D - діаметр ілюмінатора; x - довжина скрині; y - ширина скрині; z - висота скрині. Кінцевий результат: Повідомлення: можна чи не можна витягнути.
05.05.17 Якщо, то скриня можна витягнути, а якщо, то не можна. Системний аналіз умови задачі виявив зв'язку між розміром ілюмінатора і розмірами скрині, враховуючи їх форми. Отримана в результаті аналізу інформація відобразилася в формулах і співвідношеннях між ними, так виникла математична модель. Математичною моделлю вирішення цього завдання є наступні залежності між вихідними даними і результатом:
05.05.17 Приклад 1: Обчислити кількість фарби для покриття підлоги в спортивному залі. Для вирішення завдання потрібно знати площу підлоги. Для виконання цього завдання вимірюють довжину, ширину статі і обчислюють його площа. Реальний об'єкт - підлогу залу - займається прямокутником, для якого площа є твором довжини на ширину. При покупці фарби з'ясовують, яку площу можна покрити вмістом однієї банки, і обчислюють необхідна кількістьбанок. Нехай A - довжина підлоги, B - ширина статі, S 1 - площа, яку можна покрити вмістом однієї банки, N - кількість банок. Площа статі обчислюємо за формулою S = A × B, а кількість банок, необхідних для фарбування залу, N = A × B / S 1.
05.05.17 Приклад 2: Через першу трубу басейн наповнюється за 30 годин, через другу трубу - за 20 годин. За скільки годин басейн наповниться через дві труби? Рішення: Позначимо час заповнення басейну через першу і другу трубу А і В відповідно. Приймемо за 1 весь обсяг басейну, шукане час позначимо через t. Так як через першу трубу басейн наповнюється за А годин, то 1 / А-частина басейну, наповнюється першою трубою за 1 годину; 1 / В - частина басейну, наповнюється другою трубою за 1 годину. Отже, швидкість наповнення басейну першої і другої трубами разом складе: 1 / А + 1 / В. Можна записати: (1 / А + 1 / В) t = 1. отримали математичну модель, що описує процес наповнення басейну з двох труб. Шукане час можна обчислити за формулою:
05.05.17 Приклад 3: На шосе розташовані пункти А і В, віддалені один від одного на 20 км. Мотоцикліст виїхав з пункту В в напрямку, протилежному А зі швидкістю 50 км / ч. Складемо математичну модель, що описує стан мотоцикліста щодо пункту А через t годин. За t годин мотоцикліст проїде 50 t км і буде знаходиться від А на відстані 50 t км + 20 км. Якщо позначити буквою s відстань (в кілометрах) мотоцикліста до пункту А, то залежність цієї відстані від часу руху можна виразити формулою: S = 50t + 20, де t> 0.
05.05.17 Перше число дорівнює x, а друге на 2,5 більше першого. Відомо, що 1/5 першого числа дорівнює 1/4 другого. Складіть математичні моделі даних ситуацій: У Миши x марок, а у Андрія в півтора разу більше. Якщо Міша віддасть Андрію 8 марок, то у Андрія стане марок удвічі більше, ніж залишиться у Мишка. У другому цеху працюють x людина, в першому - в 4 рази більше, ніж у другому, а в третьому - на 50 осіб більше, ніж у другому. Всього в трьох цехах заводу працюють 470 чоловік. Перевіримо: Математичної моделлю вирішення цього завдання є наступні залежності між вихідними даними і результатом: б ило у Мишка х марок; у Андрія 1,5х. Стало в Міші х-8, у Андрія 1,5х + 8. За умовою завдання 1,5х + 8 = 2 (х-8). Математичною моделлю вирішення цього завдання є наступні залежності між вихідними даними і результатом: у другому цеху працюють x людина, в першому - 4х, а в третьому - х + 50. х + 4х + х + 50 = 470. Математичною моделлю вирішення цього завдання є наступні залежності між вихідними даними і результатом: перше число х; друга Х + 2,5. За умовою завдання х / 5 = (х + 2,5) / 4.
05.05.17 Ось так зазвичай застосовується математика до реальному житті. Математичні моделі бувають не тільки алгебраїчні (у вигляді рівності зі змінними, як в розібраних вище прикладах), але і в іншому вигляді: табличні, графічні та інші. З іншими видами моделей ми познайомимося на наступному занятті.
05.05.17 Завдання додому: § 9 (стор. 54-58) №, 2, 4 (стор. 60) у зошиті
05.05.17 Спасибі за урок!
05.05.17 Джерела Інформатика та ІКТ: підручник для 8 класу http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графіки, схеми) http://images.yandex.ru (картинки)
алгоритмскладання математичної моделі:
- Скласти короткий запис умови задачі:
А) з'ясувати, скільки величин бере участь в завданні;
Б) виявити зв'язку між цими величинами.
2. Зробити малюнок до задачі (в задачах на рух або в задачах геометричного змісту) або таблицю.
3. Визначити за Х одну з величин (краще меншу величину).
4. З огляду на зв'язку, скласти математичну модель.
Задача1. (№ 86 (1)).
Квартира складається з 3 кімнат загальною площею 42 кв.м. Перша кімната в 2 рази менше другий, а друга - на 3 кв. м більше третьої. Яка площа кожної кімнати в цій квартирі?
Завдання 2. (№ 86 (2)).
За книгу, ручку і зошит Саша заплатив 11200 р. Ручка в 3 рази дорожче зошити і на 700 р. дешевше книги. Скільки коштує зошит?
Завдання 3. (№ 86 (3)).
Мотоцикліст проїхав відстань між двома містами, рівне
980 км, за 4 дні. У перший день він проїхав на 80 км менше, ніж у другий день, в третій день - половину відстані, пройденого за перші два дні, а в четвертий день - залишилися 140 км. Яка відстань проїхав мотоцикліст в третій день?
Завдання 4. (№ 86 (4))
Периметр чотирикутника дорівнює 46 дм. Перша його сторона в 2 рази менше другий і в 3 рази менше третьої сторони, а четверта сторона на 4 см більше першої сторони. Чому рівні довжини сторін цього чотирикутника?
Завдання 5. (№ 87)
Одне з чисел на 17 менше другого, а їх сума дорівнює 75. Знайти більше з цих чисел.
Завдання 6. (№ 99)
У трьох відділеннях концерту виступило 20 учасників. У другому відділенні виступило в 3 рази менше учасників, ніж у першому, а в третьому відділенні - на 5 учасників більше, ніж у другому. Скільки учасників концерту виступило в кожному відділенні?
Я вмію (чи ні):
уміння
бали
0 або 1
Виявляти число величин, що беруть участь в завданні
Виявляти зв'язки між величинами
Я розумію, що значить
В) «всього»
Я можу скласти математичну модель
Я можу скласти нову задачу по заданій математичної моделі
Домашнє завдання:
1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);
2) Скласти задачу до математичної моделі задачі
Література 1. Самарський А. А., Михайлов А. П. Математичне моделювання: Ідеї. Методи. Прімери.- М .: Наука, Волков Е. А. Чисельні методи. - М .: Наука, Турчак Л. І. Основи чисельних методів. - М .: Наука, Копченова Н. В., Марон І. А. Обчислювальна математика в прикладах і задачах. - М .: Наука, 1972.
Трохи історії від маніпуляції предметами до маніпуляцій поняттями про предмети заміна досліджуваного об'єкта, процесу або явища більш простим і доступним для дослідження еквівалентом неможливість врахувати всю сукупність факторів, що визначають властивості і поведінку об'єкта
Роль моделей Будівля - негарне, нетривке або не вписується в навколишній пейзаж Демонстрація систем кровообігу на натурі негуманна Напруження, наприклад в крилах, можуть виявитися занадто великі Збирати електричні ланцюги для вимірювань неекономічно
Зв'язок моделі з оригіналом Створення моделі передбачає збереження яких - то властивостей оригіналу, причому в різних моделях ці властивості можуть бути різними. Будівля з картону багато менше справжнього, але дозволяє судити про його зовнішньому вигляді; плакат робить зрозумілою систему кровообігу, хоча нічого спільного не має з органами і тканинами; макет літака не літає, але напруги в його корпусі відповідають умовам польоту.
Чому використовують моделі? 1.Модель доступніше для дослідження, ніж реальний об'єкт, 2.Ісследовать модель простіше і дешевше, ніж реальні об'єкти, 3.Некоторие об'єкти неможливо вивчати безпосередньо: поки неможливо, наприклад, побудувати пристрій для термоядерного синтезу або провести експерименти в надрах зірок, 4. неможливі експерименти з минулим, неприпустимі експерименти з економікою або соціальні експерименти
Призначення моделей 1. З допомогою моделі можна виявити найбільш істотні фактори, що формують властивості об'єкта. Оскільки модель відображає тільки деякі характеристики об'єкта - оригіналу, то, варіюючи набір цих характеристик в складі моделі, можна визначити ступінь впливу тих чи інших факторів на адекватність поведінки моделі
Модель потрібна: 1.Для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт: яка його структура, властивості, закони розвитку і взаємодії з навколишнім світом. 2. Для того, щоб навчитися управляти об'єктом або процесом і визначити найкращі способиуправління при заданих цілях і критеріях. 3. Для того, щоб прогнозувати поведінку об'єкта і оцінити наслідки різних способіві форм впливу на об'єкт (метеорологічні моделі, моделі розвитку біосфери).
Властивість правильної моделі Правильно побудована, хороша модельмає чудову властивість: її вивчення дозволяє отримати нові знання про об'єкт - оригіналі, незважаючи на те, що при створенні моделі використовувалися тільки деякі основні характеристики оригіналу
Матеріальне моделювання Модель відтворює основні геометричні, фізичні, динамічні і функціональні характеристики досліджуваного об'єкта, коли реальному об'єкту зіставляється його збільшена або зменшена копія, яка припускає дослідження в лабораторних умовах з подальшим перенесенням властивостей досліджуваних процесів і явищ з моделі на об'єкт на основі теорії подібності (планетарій, моделі будівель і апаратів і т. д.). Процес дослідження в такому випадку тісно пов'язаний з матеріальним впливом на модель, т. Е. Складається в натурному експерименті. Таким чином, матеріальне моделювання за своєю природою є експериментальним методом.
Типи ідеального моделювання Інтуїтивне - моделювання об'єктів, які чинять спротив формалізації або котрі мають потреби в ній. Життєвий досвід людини можна вважати його інтуїтивної моделлю навколишнього світу Знакове - моделювання, що використовує в якості моделей знакові перетворення різного виду: Схеми, графіки, креслення, формули і т. Д. І містить сукупність законів, за якими можна оперувати з елементами моделі
Математичне моделювання дослідження об'єкта здійснюють на основі моделі, сформульованої на мові математики і досліджуваної за допомогою тих чи інших математичних методів Математичне моделювання - це область науки, що займається моделюванням явищ природи, техніки, економічному та суспільному житті за допомогою математичного апарату і, в даний час, реалізує ці моделі за допомогою ЕОМ
Класифікація мат. моделей За призначенням: дескриптивні оптимізаційні імітаційні За характером рівнянь: лінійні нелінійні По обліку зміни системи в часі: динамічні статичні По властивості області визначення аргументів: безперервні дискретні За характером процесу: детерміновані стохастичні
Опис презентації по окремим слайдів:
1 слайд
Опис слайда:
2 слайд
Опис слайда:
Математична модель - математичне уявлення реальності, один з варіантів моделі, як системи, дослідження якої дозволяє отримувати інформацію про деяку іншу систему. Процес побудови і вивчення математичних моделей називається математичним моделюванням. Всі природні і громадські науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють об'єкт дослідження його математичною моделлю і потім вивчають останню. Зв'язок математичної моделі з реальністю здійснюється за допомогою ланцюжка гіпотез, ідеалізацій і спрощень. За допомогою математичних методів описується, як правило, ідеальний об'єкт, побудований на етапі змістовного моделювання. Загальні відомості
3 слайд
Опис слайда:
Ніяке визначення не може в повному обсязі охопити реально існуючу діяльність по математичному моделюванню. Незважаючи на це, визначення корисні тим, що в них робиться спроба виділити найбільш істотні риси. За Ляпунову, математичне моделювання - це опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам цікавий для нас об'єкт, а деяка допоміжна штучна або природна система (модель), що знаходиться в деякому об'єктивному відповідно до пізнаваним об'єктом, здатна заміщати його в певних відносинах і дає при її дослідженні, в кінцевому рахунку, інформацію про сам моделюється об'єкті. В інших варіантах, математична модель визначається як об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу, як «" еквівалент "об'єкта, що відображає в математичній формі найважливіші його властивості - закони, яким він підпорядковується, зв'язку, властиві складовим його частинам», як систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того і іншого, дослідження яких засобами математики має відповісти на поставлені питання про властивості деякої сукупності властивостей об'єкта реального світу, як сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, притаманні досліджуваному процесу, об'єкту або системі. визначення
4 слайд
Опис слайда:
Формальна класифікація моделей грунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій: Лінійні або нелінійні моделі; Зосереджені або розподілені системи; Детерміновані або стохастичні; Статичні або динамічні; Дискретні або безперервні і так далі. Кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною, ... Природно, що можливі і змішані типи: в одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому - розподілені моделі і т. Д. Формальна класифікація моделей
5 слайд
Опис слайда:
Поряд з формальною класифікацією, моделі розрізняються за способом подання об'єкта: Структурні або функціональні моделі. Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм і механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких подань і відбивають тільки зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. В їх граничному вираженні вони називаються також моделями «чорного ящика». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями «сірого ящика». Математичні моделі складних систем можна розділити на три типи: Моделі типу чорний ящик (феноменологічні), Моделі типу сірий ящик (суміш феноменологических і механістичних моделей), Моделі типу білий ящик (механістичні, аксіоматичні). Схематичне представлення моделей типу чорний ящик, сірий ящик і білий ящик Класифікація за способом подання об'єкта
6 слайд
Опис слайда:
Практично всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. Усталеної термінології тут немає, і інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель, умоглядна модель або предмодель. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлю або просто математичною моделлю, отриманою в результаті формалізації даної змістовної моделі (предмоделі). Побудова змістовної моделі може проводитися за допомогою набору готових ідеалізацій, як в механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища і т. П. Дають готові структурні елементи для змістовного моделювання. Однак в областях знання, де не існує повністю завершених формалізованих теорій (передній край фізики, біології, економіки, соціології, психології, і більшості інших областей), створення змістовних моделей різко ускладнюється. Змістовні і формальні моделі
7 слайд
Опис слайда:
В роботі Пайерлса дана класифікація математичних моделей, що використовуються у фізиці і, ширше, в природничих науках. У книзі А. Н. Горбаня і Р. Г. Хлебопроса ця класифікація проаналізована і розширена. Ця класифікація сфокусована, в першу чергу, на етапі побудови змістовної моделі. Гіпотеза Моделі першого типу - гіпотези ( «таке могло б бути»), «є пробне опис явища, причому автор або вірить в його можливість, або вважає навіть його істинним». За Пайерлс це, наприклад, модель Сонячної системи по Птолемею і модель Коперника (вдосконалена Кеплером), модель атома Резерфорда і модель Великого Вибуху. Моделі-гіпотези в науці не можуть бути доведені раз і назавжди, можна лише говорити про їх спростування або неопроверженіі в результаті експерименту. Якщо модель першого типу побудована, то це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але тільки тимчасовою паузою: статус моделі першого типу може бути тільки тимчасовим. Феноменологічна модель Другий тип - феноменологічна модель ( «поводимося так, як якщо б ...»), містить механізм для опису явища, хоча цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями і накопиченим знанням про об'єкт . Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідомий, і необхідно продовжити пошук «істинних механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплорода і кваркової моделі елементарних частинок. Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може трапитися так, що нові дані і теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно нове знання може поступово прийти в суперечність з моделями-гіпотезами першого типу, і ті можуть бути переведені до другого. Змістовна класифікація моделей
8 слайд
Опис слайда:
Так, кваркова модель поступово переходить в розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з ходом історії перейшов в перший тип. А ось моделі ефіру пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою. Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайерлс виділяє три типи спрощень в моделюванні. Наближення Третій тип моделей - наближення ( «щось вважаємо дуже великим або дуже малим»). Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, то це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом в цьому випадку - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад- закон Ома. Якщо ми використовуємо модель ідеального газу для опису досить розріджених газів, то це - модель типу 3 (наближення). При більш високій щільності газу теж корисно уявляти собі більш просту ситуацію з ідеальним газом для якісного розуміння і оцінок, але тоді це вже тип 4. Спрощення Четвертий тип - спрощення ( «опустимо для ясності деякі деталі»), в такий відкидаються деталі, які можуть помітно і не завжди контрольовано вплинути на результат. Одні і ті ж рівняння можуть служити моделлю типу 3 (наближення) або 4 (опустимо для ясності деякі деталі) - це залежить від явища, для вивчення якого використовується модель. Так, якщо моделі лінійного відгуку застосовуються при відсутності більш складних моделей (тобто не проводиться лінеаризація нелінійних рівнянь, а просто шукаються лінійні рівняння, що описують об'єкт), то це вже феноменологічні лінійні моделі, і відносяться вони до наступного типу 4 (всі нелінійні деталі « для ясності »опускаємо). Приклади: застосування моделі ідеального газу до неідеальному, рівняння стану Ван-дер-Ваальса, більшість моделей фізики твердого тіла, Рідин і ядерної фізики. Шлях від мікроопис до властивостей тіл (або середовищ), які з значної частини частинок, Змістовна класифікація моделей (продовження)
9 слайд
Опис слайда:
дуже довгий. Доводиться відкидати багато деталей. Це призводить до моделей четвертого типу. Евристична модель П'ятий тип - евристична модель ( «кількісного підтвердження немає, але модель сприяє більш глибокому проникненню в суть справи»), така модель зберігає лише якісне подобу реальності і дає передбачення тільки «по порядку величини». Типовий приклад - наближення середньої довжини вільного пробігу в кінетичної теорії. Воно дає прості формули для коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, узгоджуються з реальністю по порядку величини. Але при побудові нової фізики далеко не відразу виходить модель, що дає хоча б якісне опис об'єкта - модель п'ятого типу. У цьому випадку часто використовують модель за аналогією, яка відображатиме дійсність хоч в який-небудь межі. Аналогія Тип шостий - модель-аналогія ( «врахуємо тільки деякі особливості»). Пайерлс наводить історію використання аналогій в першій статті Гейзенберга про природу ядерних сил. Уявний експеримент Сьомий тип моделей - уявний експеримент ( «головне полягає в спростуванні можливості»). Такий тип моделювання часто використовувався Ейнштейном, зокрема, один з таких експериментів привів до побудови спеціальної теорії відносності. Припустимо, що в класичній фізиці ми рухаємося за пучком зі швидкістю світла. Ми будемо спостерігати періодично змінюється в просторі і постійне в часі електромагнітне поле. Згідно рівнянням Максвелла, цього бути не може. Звідси Ейнштейн уклав: або закони природи змінюються при зміні системи відліку, або швидкість світла не залежить від системи відліку, і вибрав другий варіант. Демонстрація можливості Восьмий тип - демонстрація можливості ( «головне - показати внутрішню несуперечливість можливості»), такого роду моделі теж уявні експерименти з уявними сутностями, що демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами і Змістовна класифікація моделей (продовження)
10 слайд
Опис слайда:
внутрішньо несуперечливо. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя. Один з найзнаменитіших таких експериментів - геометрія Лобачевського. (Лобачевський називав її «уявною геометрією».) Інший приклад - масове виробництво формально-кінетичних моделей хімічних і біологічних коливань, автохвиль. Парадокс Ейнштейна - Подільського - Розена був задуманий як уявний експеримент для демонстрації суперечливості квантової механіки, але незапланованим чином з часом перетворився на модель 8 типу - демонстрацію можливості квантової телепортації інформації. В основі змістовної класифікації - етапи, які передують математичного аналізу і обчислень. Вісім типів моделей по Пайерлс суть вісім типів дослідницьких позицій при моделюванні. Змістовна класифікація моделей (продовження)
11 слайд
Опис слайда:
12 слайд
Опис слайда:
фактично марною. Найчастіше більш проста модель дозволяє краще і глибше дослідити реальну систему, чим складніша (і, формально, «більш правильна»). Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеким від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія ( «врахуємо тільки деякі особливості»). Приклад (продовження)
13 слайд
Опис слайда:
14 слайд
Опис слайда:
Найважливіші математичні моделі зазвичай володіють важливою властивістю універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однією і тією ж математичною моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, а й інші коливальні процеси, часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини в U-подібному посудині або зміну сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, які висловлюються математичними моделями в різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення « загальної теоріїсистем ». універсальність моделей
15 слайд
Опис слайда:
Існує безліч завдань, пов'язаних з математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему модельованого об'єкта, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється в систему пластин і більш складних тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються як несуттєві, проводяться розрахунки, порівнюються з вимірюваннями, модель уточнюється, і так далі. Однак для розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи. Традиційно виділяють два основні класи задач, пов'язаних з математичними моделями: прямі і зворотні. Пряма задача: структура моделі і все її параметри вважаються відомими, Головна задача- провести дослідження моделі для вилучення корисного знання про об'єкт. Яку статичне навантаження витримає міст? Як він буде реагувати на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдат, або на проходження поїзда на різної швидкості), Як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флатера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильної прямої задачі (завдання правильного питання) вимагає спеціального майстерності. Якщо не задані правильні питання, То міст може обрушитися, навіть якщо була побудована хороша модель для його поведінки. Так, в 1879 р в Великобританії обрушився металевий залізничний міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про постійно дмуть в тих місцях вітрах. І через півтора року він впав. У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже проста і зводиться до явного вирішення цього рівняння. Зворотній завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних Пряма і зворотна задачі математичного моделювання
Завантаження ...
